Lavoro a più mani…
Tartaglia
Schema per costruire il Triangolo
1
1
2
1
1
1
1
3
4
1
1
3
6
4
1
All’ inizio e alla fine di ogni riga c’ è sempre 1
Inizia con le due righe superiori che sono 1 e 1 – 1
Per trovare i numeri nella riga seguente, somma i due numeri
( es. 1+1=2 );
1+2= 3
1+3=4
3+3=6
2+1= 3
3+1=4
A cura di Mgio Melis
Il triangolo presenta una
simmetria assiale.
E ‘evidenziata la proprietà
commutativa dell’ addizione
La simmetria nel colore è
perfetta
1+3= 4
3
1
4
3
3+1= 4
1
4
Mgio Melis
Sequenza dei numeri naturali
Numeri dispari
Numeri tetraedrici
Potenze di 2
Potenze di 11
Numeri quadrati
Il momento dell’’esplorazione ……
Numeri esagonali
Il triangolo aritmetico è ricco di
modelli.
Multipli di 2
Il fiore: un altro modello
Scopriamone alcuni …
Numeri di Fibonacci
Numeri primi e multipli
Numeri triangolari
Tartaglia e Sierpinski
Mgio Melis
Potenze
di
11
Se costruiamo le potenze successive di 11, troviamo che:
(11)0 =
(11)1 =
(11)2 =
(11)3 =
(11)4 =
1
11
121
1331
14641
1
1
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
Sommando i prodotti parziali della moltiplicazione (con moltiplicatore
11), si eseguono le stesse addizioni che occorrono per costruire le
righe del triangolo di Tartaglia.
Nel caso di (11)5, questo è impedito dal fatto che nella somma dei
prodotti parziali va tenuto conto del riporto; se, però, scriviamo le
potenze di 11 in forma polinomiale, si ritrovano sempre i coefficienti
binomiali del triangolo di Tartaglia.
A cura di Ivana Niccolai
Esempi
11)3=1331=
1*(10)3+3*(10)2+3*(10)1+1*(10)0
(11)4=14641=
1*(10)4+4*(10)3+6*(10)2+4*(10)1+1*(10)0
(11)5=161051=
=
1*(10)5+5*(10)4+10*(10)3+10*(10)2+5*(10)1+1*(10)0
(11)6=1771561=
=
1*(10)6+6*(10)5+15*(10)4+20*(10)3+15*(10)2+6*(10)1+1*(10)0
ecc.
A cura di Ivana Niccolai
Il triangolo è usato soprattutto in algebra e
probabilità.
Una interessante presentazione di Ivana Niccolai, con il
contributo di Dino Liberatore e
una splendida poesia di
Grazia Raffa & Ivana Niccolai, visionabile
cliccando qui
Mgio Melis
Ode al triangolo di
Pascal-TARTAGLIA-Cardano
(di Grazia Raffa e Ivana Niccolai)
Nei suoi calcoli non sbaglia:
come mente non tartaglia;
questo genio alquanto vale
anche in … geometria frattale!
Il suo triangolo usiamo
pure in algebra e troviamo
coefficienti di potenza
del binomio, in tale scienza,
A cura di Ivana Niccolai
1/4
Ode al triangolo di
Pascal-TARTAGLIA-Cardano
nonché in combinatoria,
che arricchisce la sua gloria;
qui son le combinazioni
a formar le condizioni
di assestarsi in modo tale
atto al triangolo speciale.
A cura di Ivana Niccolai
2/4
Ode al triangolo di
Pascal-TARTAGLIA-Cardano
E’ sicuro che – comunque –
da lì si procede al dunque
e possiam anche ammirare
quanto Gauss già seppe fare:
distribuendo alla gaussiana
vedo aspetto di campana,
con palline incanalando
la suddetta vien, giocando;
A cura di Ivana Niccolai
3/4
Ode al triangolo di
Pascal-TARTAGLIA-Cardano
Questo triangolo si trova
in qualsiasi campo, o prova;
lo lodiamo con diletto
ritenendolo perfetto.
A cura di Ivana Niccolai
4/4
Le prime righe del triangolo di Tartaglia
in…combinatoria
Ogni combinazione è
sempre uguale alla
somma delle due
combinazioni che si
trovano
immediatamente
sopra...
0
0
1
0
0
0
2
0
3
0
4
0
A cura di Ivana Niccolai
5
0
2
1
2
2
3
1
4
1
5
1
1
1
3
2
4
2
5
2
3
3
4
3
5
3
4
4
5
4
5
5
Precisazioni
1/2
Se si usa il triangolo di Tartaglia in combinatoria, si può scrivere:
n
p per indicare il numero delle disposizioni di n oggetti
distinti a p a p, dove:
n
p
== [n*(n-1)*(n-2)*…*(n-p+1)]/p! = n!/[p!*(n-p)!]
A cura di Ivana Niccolai
Precisazioni
0
0
2/2
= 1, per il principio di permanenza delle proprietà formali.
Nel libro «GIOCANDO CON L’INFINITO – Matematica per
tutti », di Rozsa Péter, a cura di Corrado Mangione, Prima
edizione italiana: aprile 1973, si afferma: “C'è un'unica maniera di
ritrarre la mano senza aver preso nulla da una sacca vuota, quindi
possiamo considerare 1 il numero delle combinazioni di zero
elementi a partire da zero elementi“.
A cura di Ivana Niccolai
Esempi
1/2
Quanti modi abbiamo di disporre 6 oggetti a 4
a 4?
Sono tanti quanti sono i modi di disporne 5 a 3
a 3 più i modi di disporne 5 a 4 a 4
Infatti:
15 = 10 + 5
A cura di Ivana Niccolai
Esempi
2/2
Quanti modi abbiamo di disporre 7 oggetti a 3 a
3?
Sono tanti quanti sono i modi di disporne 6 a 2 a
2 più i modi di disporne 6 a 3 a 3.
Infatti:
35 = 15 + 20
A cura di Ivana Niccolai
Il gioco del soldatino
A cura di Ivana Niccolai
Spiegazione del gioco del soldatino
In A si sistema un soldatino; si lancia una
moneta: se viene testa, il soldatino va in basso
a destra (cioè in C), se viene croce va in basso
a sinistra (cioè in B) e così via.
A cura di Ivana Niccolai
Domande relative al gioco del
soldatino
1)Quante strade portano in B? Quante in C?
Quante in E? Ecc.
2)In quali caselle finali sarà bene scommettere
che il soldatino andrà a finire?
A cura di Ivana Niccolai
Risposte
1) Osservando il numero delle strade che conducono
nelle varie caselle, contrassegnate da una lettera
dell’alfabeto, si arriva al triangolo di PascalTartaglia-Cardano.
2) Tale triangolo fornisce, qui, una distribuzione
casuale del tipo “a campana”.
A cura di Ivana Niccolai
La tavola di Galton (o quinconce)
I
II
III
IV
V
VI
Quinconce (deriva dal latino quincunx, quincuncis) :
genericamente, nell’antica Roma, frazione di 5/12
dell’unità.
A cura di Ivana Niccolai
Quinconce di 5 righe di bulloni
Ho considerato 32 palline di vetro e il quinconce
di 5 righe di bulloni, bulloni ben distanziati tra
loro, in modo uniforme e righe così suddivise:
I riga : 1 bullone
II riga: 2 bulloni
III riga: 3 bulloni
IV riga: 4 bulloni
V riga: 5 bulloni
A cura di Ivana Niccolai
Come si costruisce
Materiale occorrente:
1) Cartone di una scatola da scarpe e palline di vetro
2) Bulloni da sistemare secondo la disposizione data dal
triangolo di Pascal-Tartaglia-Cardano
3) Due alette di cartone da mettere sul retro, perché possa stare
inclinata
4) Coperchio della scatola (in cui sistemare, poi, la tavola di
Galton)
5) Stuzzicadenti da posizionare,opportunamente, in fondo, per
delimitare le vie di uscita
A cura di Ivana Niccolai
Come si gioca
Si fanno partire, una alla volta, le palline di vetro dalla
posizione 1 del vertice in alto: esse si distribuiranno,
nei vari scomparti delimitati dagli stuzzicadenti, in
numero maggiore là dove è più probabile arrivare…
Le palline stesse formeranno la “curva di Gauss, a
campana”
A cura di Ivana Niccolai
La sistemazione delle 32 palline
Facendo cadere, a una a una, 32 palline ci si aspetta una
distribuzione di tali palline nelle seguenti cassette (delimitate
dagli stuzzicadenti):
I cassetta:
1 pallina
II cassetta: 5 palline
III cassetta: 10 palline
IV cassetta: 10 palline
V cassetta: 5 palline
VI cassetta: 1 pallina
Si nota che 1 – 5 – 10 – 10 – 5 – 1 sono i valori che si rintracciano
facilmente nel triangolo di Pascal-Tartaglia-Cardano
A cura di Ivana Niccolai
Una tavola di Galton a sei righe di prismi
esagonali
1/2
Nella figura, a
sinistra, è
schematizzata, in
assonometria, la
versione più
diffusa della
tavola di Galton
A cura di Ivana Niccolai, con il contributo di Dino Liberatore
Una tavola di Galton a sei righe di prismi
esagonali
1/2
I bulloni, fissati su un pannello di base, sono sostituiti da prismi
esagonali di legno e tutti uguali tra loro. Ponendo nell’imbuto
superiore varie biglie, queste scendono nei vari scomparti
sottostanti (data la pendenza della base inferiore) e, una volta
scese, si distribuiscono seguendo l’andamento della curva di
Gauss.
Nell’immagine, che si trova nella diapositiva seguente, vengono
visualizzati tutti i possibili percorsi che le biglie possono seguire
fino alla quarta riga di esagoni (ed è semplice ritrovare il noto
“triangolo di Tartaglia”!)
A cura di Ivana Niccolai, con il contributo di Dino Liberatore
Tutti i percorsi possibili delle biglie fino alla quarta
riga…
A cura di Ivana Niccolai, con il contributo di Dino Liberatore
Apparecchio di Bittering
1/2
Nella figura a sinistra è
schematizzata, in
assonometria, la
versione più diffusa
dell’apparecchio di
Bittering
A cura di Ivana Niccolai, con il contributo di Dino Liberatore
Apparecchio di Bittering
2/2
Il materiale per la sua costruzione può essere compensato o legno e
occorrono biglie, o pallini di piombo, che inizialmente vengono
disposti nello scomparto superiore centrale. Inclinando una prima
volta l’apparecchio, questi vanno a occupare i due scomparti
centrali e sottostanti a quello di partenza, distribuendosi in essi
uniformemente. Si prosegue così di seguito fino a quando i pallini
avranno occupato tutti gli scomparti superiori: a questo punto si
può constatare facilmente che la distribuzione finale delle biglie è
“a campana”, simile a quella ottenuta con la tavola di Galton.
A cura di Ivana Niccolai, con il contributo di Dino Liberatore
Le prime tre fasi di tutti i possibili
percorsi delle biglie con le relative
probabilità
A cura di Ivana Niccolai, con il contributo di Dino Liberatore
Il triangolo di Pascal-Tartaglia-Cardano
in algebra
coefficienti:
(x+y)0=1
1
coefficienti:
(x+y)1=1x+1y
1
1
coeff.:
(x+y)2=1x2+2xy+1y2
1 2 1
coeff.:
(x+y)3=1x3+3x2y+3xy2+1y3
1 3
3 1
(x+y)4=1x4+4x3y+6x2y2+4xy3+1y4 coeff.:
1 4 6
4 1
Ecc.
TORNA
A cura di Ivana Niccolai
e “ Effetto Tartaruga”…
Considerando multipli (in giallo) e non multipli (scuri) dei
numeri da 2 a 28 e osservando le prime 165 linee del nostro
famigerato triangolo, ecco che cosa si ottiene:
Giorgio Pietrocola
“I numeri contengono segreti che vale la pena scoprire!” diceva Pitagora ai
suoi allievi
Colorando le celle del triangolo, i bambini hanno fatto altre
scoperte!!
Mgio Melis
M di 8
Multipli di 4
1
Confrontando il modello dei multipli
di 8 con quello dei multipli di 4 si nota
che sono molto differenti.
1
1
“Tutti i multipli di 8 sono anche
multipli di 4.
6
1
1
1
5
7
21
8
9
10
28
45
20
84
120
21
56
70
1
1
Mgio Melis
1
10
45
84
120
4
20
1
6
15
35
70
1
5
10
35
56
1
1
3
10
21
36
1
8
1
6
15
28
8
9
1
5
7
1
28
1
Multipli di 8
2
4
6
1
7
1
3
1
1
1
9
84
36
126 126
1
Multipli
di
4
10
45
210 252 210 120
1
1
1
6
15
1
I multipli di 4 non sono
necessariamente multipli di 8”.
1
5
35
35
56
36
4
10
10
15
1
3
6
4
1
1
2
3
1
1
1
1
1
21
56
1
7
28
1
8
1
9
84
36
126 126
1
Multipli
di
4
10
45
210 252 210 120
1
1
M di 3
1
1
1
1
1
1
10
36
45
84
120
20
70
1
5
6
1
21
56
sono anche multipli di 9
1
15
35
35
56
4
10
10
21
1
3
6
15
28
8
9
1
5
7
1
3
Alcuni multipli di 3
1
2
4
6
1
1
1
7
1
28
1
8
9
84
36
126 126
1
10
45
210 252 210 120
1
1
1
1
1
Un numero divisibile per 9
1
1
è divisibile anche per 3
7
1
1
10
21
36
45
84
120
20
70
1
5
1
6
15
35
35
56
4
10
10
15
28
8
9
1
5
1
3
6
4
6
1
1
Mgio Melis
3
1
M di 9
1
2
21
56
1
7
28
1
8
1
9
84
36
126 126
1
10
45
210 252 210 120
1
6
6
36
6
84
120
84
36
126
126
120
252
210
210
Multipli di 6
Se un numero è multiplo di
2 e di 3, allora è multiplo di
6
M di 3
3
3
6
M di 2
2
6
4
4
10
10
6
15
21
6
6
15
36
45
84
120
6
21
28
8
9
20
126
210
84
126
252
210
9
36
120
45
36
10
84
120
56
70
56
126
210
84
126
252
28
210
8
36
120
10
Mgio Melis
Multipli di 10
Se un numero è multiplo di 2 e di 5
è anche multiplo di 10
M di 2
2
6
4
4
10
5
10
10
6
M di 5
20
20
15
6
10
35
28
8
36
10
84
120
56
70
56
126
210
84
126
252
28
15
35
70
8
36
10
10
120
210
5
45
210
210
120
120
45
10
1
1
1
1
3
1
1
1
6
1
7
1
1
1
10
28
8
9
1
21
36
45
84
120
20
70
1
5
1
6
15
35
35
56
4
10
10
15
1
3
6
4
5
1
2
21
56
1
7
28
1
8
1
9
84
36
126 126
1
10
45
210 252 210 120
1
Mgio Melis
E’ certo! Non abbiamo scoperto tutti i segreti che questo meraviglioso triangolo
nasconde.
La ricerca continua ed è aperta ai contributi e alla curiosità cognitiva di
ognuno.
Sento anche di dire che questa esperienza di lavoro collaborativo con due
colleghi che conosco solo ‘virtualmente’
- e che ho imparato a stimare e ad apprezzare mi ha sicuramente arricchita.
Ivana
Giorgio
Vi ringrazio!
Maria Giovanna