SPUGNA DI MENGER
(Si ringrazia Giorgio Pietrocola per i suggerimenti stimolanti forniti nel forum del Tartapelago)
09/01/2006
A cura di Ivana Niccolai
Animazione dei primi stadi della
costruzione della spugna di Menger
Si sottolinea che l’immagine, rappresentante il quarto stadio della costruzione della spugna di Menger, è stata tratta dal libro:
“Il turista matematico” di Ivars Peterson
A cura di Ivana Niccolai
La spugna di Menger
(Filastrocca di Grazia Raffa e di Ivana Niccolai)
Noi con altre ci laviamo,
perché alla pelle teniamo;
certo, quella su indicata
è una spugna martoriata.
Se costruirla vogliamo,
un bel cubo noi prendiamo,
in ventisette cubetti
va diviso, e son perfetti,
A cura di Ivana Niccolai
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La spugna di Menger
(Filastrocca di Grazia Raffa e di Ivana Niccolai)
e poi ne togliamo sette,
ché Menger ce lo permette:
sei, al centro di ogni faccia,
più un cubetto (che non ghiaccia!)
che del cubo è nel centro
e si trova proprio dentro.
Ora tal procedimento
si ripete, a cuor contento,
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La spugna di Menger
(Filastrocca di Grazia Raffa e di Ivana Niccolai)
per ognuno dei cubetti,
or sono venti e perfetti.
Essi poi van suddivisi
(qui possiamo andare in crisi):
questo metodo seguito
porta verso l’infinito…
Pur se a volte si “mugugna”
Mengeriana abbiam la spugna!
A cura di Ivana Niccolai
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Uno stesso procedimento che si
ripete in tre dimensioni diverse 1/2
Per costruire l’ “insieme di Cantor” si prende un segmento di retta, lo si divide in tre parti
uguali e si toglie la sezione centrale; tale procedimento si ripete in ciascuna delle due parti
rimaste e, poi, continua a essere ripetuto…
Lo stesso procedimento si può applicare a un quadrato, dividendo ogni lato in tre parti
uguali e togliendo il quadrato centrale; si continua, poi, a ripetere tale procedimento,
ottenendo il “tappeto di Sierpinski”.
La medesima operazione può essere applicata a un cubo, dividendo ogni spigolo in tre
parti uguali e togliendo i cubetti centrali (i sei che stanno, ognuno, nel centro di ogni
faccia + il cubetto interno, al centro del cubo); si continua, poi, a ripetere tale
procedimento, ottenendo la “spugna di Menger”.”
A cura di Ivana Niccolai
Uno stesso procedimento che si
ripete in tre dimensioni diverse 2/2
A cura di Ivana Niccolai
Tabella relativa ai primi stadi di costruzione
della spugna di Menger
Stadio della costruzione
Immagine
Osservazione
Stadio 0
Misura dello spigolo = 1
Stadio 1
Lo stadio 1 presenta 20 copie (fattore
di riduzione: 1/3) dello stadio 0
Stadio 2
Lo stadio 2 presenta 20 copie (fattore
di riduzione: 1/3) dello stadio 1
Stadio 3
Lo stadio 3 presenta 20 copie (fattore
di riduzione: 1/3) dello stadio 2
Stadio 4
Lo stadio 4 presenta 20 copie (fattore
di riduzione: 1/3) dello stadio 3
A cura di Ivana Niccolai
Alcune precisazioni conclusive
La spugna di Menger è l’analogo, in tre dimensioni, del tappeto
di
Sierpinski
Per costruirla si parte da un cubo, lo si suddivide in 27 cubetti e si tolgono 7
cubetti; tale procedimento si ripete in ognuno dei 20 cubi rimasti…
La relazione tra il numero di oggetti prodotti, n, il fattore di riduzione, f, e la
mono-bidimensionalità… è espressa dalla formula :
n=(1/f)d
Nella spugna di Menger la dimensione frattale si calcola nel modo seguente:
n = 20
f = 1/3
20 = 3d
d = 2,7266833028…
A cura di Ivana Niccolai