I numeri
celebri
Dai numeri naturali ai numeri
complessi
13/09/2004
A cura di Ivana Niccolai
1
Un tentativo…genealogico
L’albero dei numeri, liberamente tratto dal libro
“I numeri celebri” di Luciano Cresci,
rappresenta un tentativo di indicare
schematicamente soltanto le principali
suddivisioni dei numeri, senza alcuna pretesa di
esaustività, anzi sono stati trascurati “rametti”
vari, per evitare di complicare la raffigurazione.
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2
Precisazioni
Ogni diramazione, visibile nell’albero dei
numeri (che compare nella seconda
diapositiva), rappresenta un sottoinsieme
proprio della diramazione precedente.
 Ipotizzo sicuramente futuri sviluppi
nell’ambito della ricerca matematica, grazie ai
quali potranno sorgere nuove diramazioni…

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3
I numeri naturali N

Sono i numeri interi positivi.
 Zero è un numero naturale?
A tale domanda, Mario Ferrari, dell’Università
di Pavia, risponderebbe che c’è il diritto di
libertà. Noi lo collochiamo tra i numeri
naturali, ma chi non è d’accordo è libero di
non collocarlo. Georg Cantor ha affermato:
“L’essenza della matematica è la libertà”.
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4
I numeri cardinali



L’insieme dei numeri naturali è un insieme infinito: il
numero cardinale di tale insieme non è un intero
naturale e si dice “numero transfinito”; la potenza
dell’insieme dei numeri naturali si dice “potenza del
numerabile”, o semplicemente si dice che l’insieme
dei numeri naturali è numerabile.
Un insieme si dice finito se il suo numero cardinale è
un numero naturale, altrimenti si dice infinito.
Il numero cardinale, o potenza di un insieme A, è la
classe degli insiemi che possono essere posti in
corrispondenza biunivoca con A.
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5
Esempio

Quando si considera, ad esempio, il numero
naturale 9, s’intende un insieme composto da
9 elementi e 9 rappresenta la “cardinalità”
dell’insieme 9.
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6
Numeri tranfiniti
Il numero cardinale dell’insieme dei numeri
naturali è un numero transfinito.
 Cantor stabilì di chiamare aleph 0 il numero
cardinale dell’insieme costituito da un’infinità
di elementi che possano essere contati.

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7
Com’è possibile numerare un
insieme infinito? (1/3)
Il termine “numerabile” è dovuto al fatto che,
se un insieme qualunque A è numerabile,
stabilendo una corrispondenza biunivoca tra
A e l’insieme dei numeri naturali, si possono
numerare gli elementi di A.
 Consideriamo, ad esempio, l’insieme A
formato da tutti i numeri quadrati: 1, 4,
9,16…Essi possono essere messi in
corrispondenza biunivoca con i numeri
naturali:
1
2
3
4 …
1
4
9
16 …

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8
Com’è possibile numerare un
insieme infinito? (2/3)

Qualunque sia il numero quadrato, esisterà
sempre uno e un solo numero naturale
corrispondente: quindi i numeri quadrati si
possono numerare alla stessa stregua dei
numeri naturali.
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9
Com’è possibile numerare un
insieme infinito? (3/3)
Perciò, anche l’insieme dei numeri quadrati,
che è un sottoinsieme dei numeri naturali, ha
lo stesso numero cardinale dell’insieme di
questi ultimi.
 Se ne deduce che un insieme infinito può
essere messo in corrispondenza biunivoca
con un suo sottinsieme, cioè con una sua
“parte”.

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10
I numeri ordinali transfiniti

Si dice numero ordinale il numero associato a
un insieme ordinato che caratterizza, oltre
alla quantità degli elementi che lo
compongono, anche l’ordine in cui gli
elementi sono disposti.
 E’ Georg Cantor (1845-1918) ad aver esteso
all’infinito anche gli ordinali, creando così i
numeri ordinali transfiniti.
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11
Primo principio

Sono due i principi che presiedono alla
generazione degli ordinali
 Il primo principio è il seguente:
di ogni ordinale a si può fare il successore,
indicato con a + 1
 Indicando con 0 il più piccolo ordinale e
applicando ripetutamente tale principio, si
ottiene una successione di ordinali:
0, 1, 2, 3,…,n…
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12
Il numero omega

Georg Cantor aggiunge il numero omega
(ω) definendolo così: “Un nuovo numero, che
indichiamo con omega,…, che possiamo
immaginare come il limite a cui tendono i
numeri n, che cioè deve essere dichiarato
superiore a ogni numero n.”
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13
Secondo principio

Il numero ω supera la successione infinita
degli ordinali finiti e termina, quindi, con un
numero infinito, o transfinito.
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14
Applicazione del primo
principio

Applicando il primo principio,che presiede alla
generazione degli ordinali, otteniamo la
successione:
0,1, 2, 3,…,n,…, ω, ω+1, ω+2…,ω+n…
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15
Applicazione del secondo
principio

Passando al secondo principio che presiede
alla generazione degli ordinali, si ottiene:
lim (ω +n), che si indica con ω+ω = ω*2

Si dice ω*2 e non 2*ω, in quanto negli
ordinali transfiniti le proprietà commutative
usuali dell’aritmetica non sono più valide.
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16
Spiegazione (1/2)

Se sommo un numero finito, per esempio 1, a
un numero infinito come ω, il risultato sarà
ancora ω; mentre se sommo 1 non a ω, ma
partendo da ω, ho ω +1. Quindi la proprietà
commutativa non è più valida.
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17
Spiegazione (2/2)

Se si considera 2*ω, cioè ω coppie
dell’ordinale 2, poste bene ordinate una dietro
l’altra, si ottiene un insieme ordinato il cui
numero ordinale è ω.
Se, invece, si considera un ordinale costituito
da due ω, uno dietro l’altro, si ottiene
l’ordinale ω + ω, che si indica con ω*2
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18
I numeri primi

Un numero naturale p>1 è primo se ha
esattamente due divisori
 I primi numeri della serie sono: 2, 3, 5, 7,
11…
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19
I numeri composti

Un numero naturale p è composto se ha più
di due divisori.
 Un record appartiene al numero 7560, che
vanta ben 64 fattori divisori e, nell’ambito di
tutti i numeri fino a 10.000, il suo record è
imbattuto, anche se eguagliato da 9240.
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20
I numeri fattoriali

Sono contrassegnati dal punto esclamativo: n
fattoriale si scrive n!
 Il simbolo fu introdotto nel 1808 in Germania
da Christian Kramp, a significare lo stupore
per la rapidità con cui il fattoriale di n cresce
al crescere di n.
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21
I numeri perfetti

Un numero si dice perfetto se è uguale alla
somma dei suoi divisori, inclusa l’unità, ma
escluso il numero stesso
 6 e 28, ad esempio, sono numeri perfetti,
perché:
6 = 1 + 2 + 3
 28 = 1 + 2 + 4 + 7 +14
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22
I numeri poligonali

Il nome di questi numeri poligonali deriva
dalle disposizioni di punti che sono state
studiate almeno fin dai tempi di Pitagora
(circa 540 a.C.)
 Tali numeri comprendono: i numeri triangolari,
i numeri quadrati, i numeri pentagonali, ecc.
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23
I numeri triangolari

Sono esprimibili mediante la formula:
n*(n+1)/2

Quindi i primi numeri
della serie sono:
1, 3, 6, 10, 15, 21…
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24
I numeri quadrati

Ogni numero quadrato n2 è la
somma di due numeri triangolari
successivi.

Esempi rispettivamente con
n=4; n=5; n=6 :
 42 = 16 = 6 + 10
 52 = 25 = 10 + 15
 62 = 36 = 15 + 21
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25
I numeri pentagonali

Sono dati dalla formula:
n*(3n – 1)/2
 I primi numeri della serie sono:
1, 5, 12, 22, 35…
 Ogni numero pentagonale può
essere ottenuto dalla somma
di tre numeri triangolari:
5 = 1 + 1 + 3
 12 = 3 + 3 + 6
 22 = 6 + 6 + 10
 Ecc.
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26
Numeri esagonali e numeri
eptagonali

I numeri esagonali sono dati dalla formula:
n*(2n – 1)
 I primi numeri della serie sono: 1, 6, 15, 28,
45…

I numeri eptagonali sono dati dalla formula:
n*(5n – 3)/2
 I primi numeri della serie sono: 1, 7, 18, 34…
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27
I primi numeri della serie dei
numeri esagonali ed
eptagonali
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28
I numeri interi relativi Z

I numeri naturali costituiscono un
sottoinsieme proprio di un insieme più
generale, che è quello dei numeri interi
relativi, cioè dei numeri contraddistinti dal
segno positivo o negativo.
 Anche l’insieme dei numeri interi relativi è
numerabile.
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29
I numeri razionali Q (1/2)

I numeri razionali si compongono di una parte
intera e di una parte decimale, il periodo,
formato da un numero finito di cifre, che si
ripete indefinitamente. Se il periodo è 0, il
numero decimale si dice limitato,(e il periodo
non si scrive); se il periodo è diverso da 0, il
numero si dice illimitato periodico.
 I numeri razionali sono esprimibili mediante
un rapporto di interi, quindi mediante frazioni.
 L’insieme dei numeri razionali è numerabile.
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30
I numeri razionali Q (2/2)

La potenza dell’insieme dei numeri razionali è
ancora “numerabile”, è cioè la stessa
dell’insieme dei naturali. (Come è stato
dimostrato da Georg Cantor, i due insiemi si
possono contare e possono, quindi, essere
messi in corrispondenza biunivoca).
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31
I numeri irrazionali (1/2)

I numeri irrazionali sono numeri non interi e
non esprimibili mediante un rapporto di interi.
 La scoperta dell’esistenza di grandezze tra
loro non confrontabili numericamente, cioè
incommensurabili, sconvolse i pilastri
concettuali della scuola pitagorica, che
riteneva i numeri interi come “misura di tutte
le cose”. I pitagorici si resero conto che il
rapporto tra il lato di un quadrato e la sua
diagonale non può essere espresso da
numeri interi.
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32
I numeri irrazionali (2/2)

Il rapporto tra la diagonale d di un quadrato e
il suo lato a, cioè d/a vale V2, che non è
esprimibile come rapporto di due numeri
interi.
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33
I numeri reali R (1/2)

I numeri razionali e irrazionali costituiscono
nel loro insieme i numeri reali.
 Un numero reale x si dice algebrico se è
soluzione di un’equazione del tipo:
anxn + an-1xn-1+ ... + a1x + a0 = 0
dove ogni aj (j = 1,...,n)è un intero
 Un numero reale non algebrico si dice
trascendente e necessariamente esso è un
numero irrazionale.
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34
I numeri reali R (2/2)


Georg Cantor (1845-1918) ha dimostrato che sono i
numeri irrazionali trascendenti, presenti in numero
infinito in qualsiasi intervallo prefissato, a conferire ai
reali la “densità” necessaria per generare una
potenza maggiore del numerabile; quindi l’insieme
dei numeri reali non è più numerabile. La presenza
dei numeri irrazionali trascendenti nel corpo dei
numeri reali fa sì che la potenza del loro insieme sia
la potenza del continuo, maggiore della potenza del
numerabile.
La cardinalità dell’insieme dei numeri reali è espressa
dal numero cardinale aleph 1.
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35
I numeri trascendenti (1/2)

Il numero trascendente non è un numero
algebrico, quindi non è soluzione di
un’equazione algebrica con coefficienti
razionali e con un numero finito di termini.
 Nel 1873 Charles Hermite (1822-1901) ha
dimostrato che il numero e, base dei logaritmi
naturali,definito come
e=lim(n) (1+1/n)n
non poteva essere la soluzione di alcuna
equazione algebrica a coefficienti razionali.
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36
I numeri trascendenti (2/2)

Nel 1882 è stato Carl Ferdinand
Lindermann (1852-1939) a raggiungere la
prova che anche π è trascendente: infatti non
può essere il risultato di un’equazione
algebrica.
 Aleph-uno è la potenza di Infinito associata
ai numeri irrazionali trascendenti.
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37
SCHEMA di sintesi, relativo ai
NUMERI REALI
Aleph-zero
Naturali
Aleph- zero
Numeri
reali
Aleph-zero
Razionali
Aleph-uno
Non interi
Aleph-zero
Aleph-uno
Irrazionali
Algebrici
Aleph-uno
Trascendenti
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38
I numeri complessi C (1/2)

E’ stato C.F.Gauss (1777-1855) a coniare il termine
“numeri complessi” per quei numeri a coppia
a+bi
dove a e b sono numeri reali, e i= V-1 si definisce
unità immaginaria.
 Essendo i = V-1, ne consegue che
 i2 = (V-1) * (V-1) = -1
 i3 = i2 * i = -1 * i = - i

a + bi e a – bi si dicono numeri complessi coniugati; il
loro prodotto è uguale a
(a + bi)(a – bi)=a2 + b2
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39
I numeri complessi C (2/2)

L’insieme dei numeri complessi può essere
pensato sia come un’estensione dei reali, sia
come un’estensione degli immaginari e
raccoglie le proprietà caratteristiche degli uni
e degli altri (inoltre rende possibile
l’esecuzione dell’operazione di radice, senza
restrizioni).
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40
I numeri infinitesimi e iperreali
(1/4)

E’ stato l’americano Abraham Robinson
(1918-1974) a sviluppare negli anni sessanta
la non-standard analysis che introduce, a
fianco dei numeri reali, i numeri iperreali,
comprendenti anche i numeri infinitesimi.
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41
I numeri infinitesimi e iperreali
(2/4)

Alcune informazioni base saranno sufficienti per
introdurre l’innovativa impostazione di A. Robinson.
Si parte dagli infinitesimi: un infinitesimo (limitandoci
ai positivi) è un numero maggiore di zero e inferiore a
qualsiasi numero reale positivo. Rispetto a Leibniz,
secondo il quale gli infinitesimi erano delle variabili,
Robinson attribuisce agli epsilon la dignità di numeri
ben determinati: “la categoria dei numeri iperreali
è l’insieme dei reali e degli infinitesimi”. Gli
infinitesimi vengono, così, “promossi” a numeri veri e
propri e si può parlare di due numeri iperreali
infinitamente vicini se la loro differenza è
rappresentata da un numero infinitesimo.
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42
I numeri infinitesimi e iperreali
3/4

Un numero iperreale finito ha la forma
a+
dove a è un consueto numero reale ed  un
infinitesimo.
 Intorno a un numero iperreale a finito esiste
un “alone” di numeri infinitesimi, che
costituiscono l’insieme dei numeri a+. Tale
insieme viene detto, in omaggio a Leibniz,
monade ed è indicato con µ(a).
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43
I numeri infinitesimi e iperreali
4/4

Per i numeri iperreali valgono le stesse
operazioni dei reali; ma il cosiddetto assioma
di Archimede (che afferma: “Dato un numero
reale a, esiste un numero intero n tale che na
è maggiore di qualsiasi altro numero reale
b.”) nell’analisi non–standard deve essere
abbandonato.
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44
I numeri immaginari I (1/3)

Fu Raffaele Bombelli (sec. XVI) a fornire per
primo l’idea di pensare a un’unità
immaginaria detta i, tale che il suo quadrato
fosse l’unità negativa, cioè i2 = - 1. Bombelli
fornì anche regole algoritmiche su tale entità.
Ancora nel 1702 Leibniz esplicitava, forse,
l’imbarazzo dei matematici riguardo a questa
idea «assurda» di un quadrato negativo, dal
momento che egli scriveva a proposito del
numero immaginario: “Miracolo dell’analisi,
mostro del mondo ideale, quasi anfibio tra
essere e non essere”.
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45
I numeri immaginari I (2/3)

Un numero immaginario è il prodotto tra un
numero reale e l’unità immaginaria.
Ad esempio: i, 6i, (8/5)i, sono tutti numeri
immaginari.
 Anche 0 si può pensare come 0i, quindi come
numero immaginario.
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46
I numeri immaginari I (3/3)

Per comprendere l’entità di tali numeri,
analizziamo i rispettivi quadrati dei numeri
che sono stati scelti ad esempio:
 (6i)2 = 36*(-1) = - 36
 (ì*8/5)2 = i2*64/25 = (-1)*64/25 = -(64/25)
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47
Operazioni elementari in I

In I si possono anche definire le solite
operazioni elementari. Basterà trattare i come
se fosse una qualsiasi lettera e dunque
applicare le regole scolastiche del calcolo
letterale, non dimenticando che i2= -1
 Esempi:
 Addizione: 6i + 7i = 13i
 Sottrazione: 6i – 7i = - i
 Moltiplicazione: 6i*3i = 18i2 = -18
 Divisione: 6i / 3i = 2
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48
I quaternioni (1/2)

L’estensione a una terza dimensione delle
proprietà peculiari del piano complesso
impegnarono a lungo l’irlandese William
Rowan Hamilton (1805-1865): il passaggio
dai numeri complessi a+ib a terne
ipercomplesse a+ib+jc, essendo i e j
operatori simili, eluse per oltre dieci anni i
suoi tentativi, non per l’operazione di somma,
facile, ma per la moltiplicazione.
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49
I quaternioni (2/2)


Nel 1843 ebbe l’illuminazione, mentre passeggiava
con la moglie: doveva usare quaterne numeriche
a+bi+cj+dk
invece di terne, con a, b,c,d numeri reali e i, j, k
aventi la stessa proprietà di i, cioè: i2=j2=k2=-1 e,
sacrificando la proprietà commutativa della
moltiplicazione, fare inoltre: ij = k, ma ji = -k e ki = j e
ik = -j
Le quattro unità 1, i, j, k e le loro opposte –1, -i, -j, -k
formano un gruppo dell’ottavo ordine non
commutativo, detto gruppo dei quaternioni.
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50
Ottetti o numeri di Carley

Sulla scia di Hamilton (che fu il primo a presentare
un lavoro completo sui quaternioni), è fiorita tutta una
serie di nuove algebre, tra cui l’algebra di Arthur
Cayley (1821 – 1895), brillante studente a
Cambridge, che formulò una teoria con 7 radici
immaginarie di –1, creando così
un’ algebra di numeri a otto dimensioni. Tali
numeri, chiamati ottetti o numeri di Cayley, sono
utilizzati nello studio di spazi a n dimensioni.
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51