Lunghezza della circonferenza
e area del cerchio
De Berardinis Floriana-Dea
La lunghezza della circonferenza
L’area del cerchio
Consideriamo la serie infinita di poligoni
regolari, dai più piccoli a quelli con un
numero di lati via via crescente ed
immaginiamoli inscritti in un cerchio
(figura a lato).
E’ evidente che se consideriamo un poligono
regolare con un numero elevatissimo di
lati, otterremo un poligono il cui contorno
arriverà a coincidere con la circonferenza, il
cui apotema sarà congruente al raggio e la
cui superficie sarà la superficie del cerchio.
Possiamo quindi considerare il cerchio
come un poligono con infiniti lati, ciascuno
infinitamente piccolo e possiamo calcolarne
l’area in modo analogo a quella di un poligono regolare.
Quindi:
avremo:
pa
A
2
e poiché per il cerchio abbiamo:
Cr
A
2
In definitiva, quindi:
p  C  2r
e
2r  r
A
 r 2
2
A  r
ar
2
Il rapporto tra l’area di un cerchio e il quadrato del suo raggio è costante
e tale costante è π.
L’area di un cerchio si ottiene moltiplicando il quadrato della misura del
raggio per π.
In sintesi:
Lunghezza di
un arco di
circonferenza
L’ampiezza degli angoli
al centro e la lunghezza
degli archi corrispondenti
sono grandezze
direttamente proporzionali,
per cui ricordando che
all’angolo al centro di
ampiezza 360° corrisponde
tutta la circonferenza,
possiamo ricavare le relazioni
qui a lato:
Area
del settore circolare
L’ampiezza degli angoli
al centro e l’area del
settore circolare
corrispondente
sono grandezze
direttamente proporzionali,
per cui, ricordando che
all’angolo al centro di
ampiezza 360° corrisponde
l’area di tutto il cerchio,
possiamo ricavare le relazioni
qui a lato: