Quesito 7
Detta A(n) l’area del poligono regolare di n lati inscritto in un cerchio C di raggio r, verificare che
𝐴(𝑛) =
e calcolarne il limite per 𝑛 → +∞.
𝑛 2
2𝜋
𝑟 sin
2
𝑛
Svolgimento
Consideriamo un poligono regolare inscritto in un cerchio di raggio r. Per fissare le idee
consideriamo l’ettagono di figura.
Se dal centro del cerchio tracciamo i raggi passanti per i sette vertici otteniamo sette triangoli
isosceli formati dal lato dell’ettagono e da due raggi ciascuno.
L’angolo di ciascun triangolo isoscele che si oppone al lato del poligono vale:
2π
𝑛
dove n è il numero di lati del poligono.
Troviamo l’area di un triangolo. Dalla trigonometria sappiamo che l’altezza del triangolo è data da:
2𝜋
𝜋
= 𝑟 cos
2𝑛
𝑛
mentre la base, uguale al lato del poligono inscritto, vale:
ℎ = 𝑟 cos
𝑙 = 2𝑟 sin
2𝜋
𝜋
= 2𝑟 sin
2𝑛
𝑛
l’area di un triangolo, allora, è data da:
1
1
𝜋
𝜋 1
𝜋
𝜋
𝐴𝑇 = ℎ𝑙 = 𝑟 cos 2𝑟 sin = 𝑟 2 (2 cos sin )
2
2
𝑛
𝑛 2
𝑛
𝑛
ma:
𝜋
𝜋
2𝜋
1
2 cos sin = sin
𝑛
𝑛
𝑛
1
Infatti sin(𝛼 + 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 + sin 𝛽 cos 𝛼
1
quindi:
1
2𝜋
𝐴𝑇 = 𝑟 2 sin
2
𝑛
Il poligono è composto da n triangoli tutti uguali perché è regolare. Ma allora possiamo scrivere
l’area del poligono:
𝐴𝑃 = 𝑛𝐴𝑇 =
𝑛 2
2𝜋
𝑟 sin
2
𝑛
Calcoliamo adesso il limite richiesto:
𝑛 2
2𝜋
𝑟 sin
=
𝑛→+∞ 2
𝑛
lim
Moltiplichiamo e dividiamo per
2𝜋
𝑛
2𝜋 𝑛 2
2𝜋
2𝜋
𝑟
sin
sin
𝑛 = lim π𝑟 2
𝑛 =
= lim 𝑛 2
2𝜋
2𝜋
𝑛→+∞
𝑛→+∞
𝑛
𝑛
Ricordando che:
sin 𝑥
=1
𝑥→+∞ 𝑥
lim
Si trova:
= π𝑟 2
Quindi l’area del poligono inscritto si avvicina all’area del cerchio quando il numero di lati
aumenta.
D’altra parte quando il numero di lati è infinito il poligono diventa un cerchio.
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Matilde Consales
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