Sessione ordinaria 18-06-2015/ Seconda prova scritta – Liceo Scientifico QUESTIONARIO Quesito n.7 Area di un poligono regolare inscritto in un cerchio e limite 7. Detta A(n) l’area del poligono regolare di n lati inscritto in un cerchio C di raggio r, verificare che n 2 A(n) r 2 sen e calcolarne il limite per n. 2 n Risoluzione Facciamo riferimento alla Figura 1. La corda P1P2 sia il lato del poligono regolare di n lati inscritto nella circonferenza di raggio r e centro O, con n3. Congiungendo gli estremi P1, P2 con il centro O si ottiene un triangolo isoscele il cui angolo nel vertice O ha ampiezza 2/n radianti. Conduciamo l’altezza OH1 del triangolo relativa alla base P1P2; l’angolo acuto =H1OP2 ha ampiezza /n. Dal triangolo rettangolo H1OP2 deduciamo che H1 P2 OP2 sen r sen ; n n OH1 OP2 cos r cos . n n Possiamo calcolare l’area del triangolo P1OP2. Figura 1 S POP 1 2 1 1 PP 2 H1P2 OH1 H1P2 OH1 r 2 sen cos 1 2 OH1 2 2 n n L’area A(n) del poligono regolare di n lati inscritto sarà n volte l’area del triangolo P1OP2, perciò risulta A n n r 2 sen cos . n n Ricordando la formula di duplicazione sen 2 2sen cos possiamo scrivere ancora A n n 2 n 2 r 2sen cos r 2 sen 2 n n 2 n Studio del limite Osserviamo che 2 2 2 sen sen sen n 2 n lim r 2 n r 2 lim n 2 lim r lim r 2 sen n n n 2 2 2 2 n n n n n 2 y , se n allora y 0 e ricordando il limite notevole Con n Luigi Lecci: www.matematicaescuola.it Pagina 1 Sessione ordinaria 18-06-2015/ Seconda prova scritta – Liceo Scientifico senx 1 , con x espresso in radianti, possiamo scrivere x 0 x 2 sen n r 2 lim seny r 2 1 r 2 r 2 lim y 0 n 2 y n lim Conclusione L’area del poligono regolare di n lati inscritto nel cerchio di raggio r al tendere ad infinito del numero dei lati tende al valore dell’area del cerchio in cui è inscritto. Luigi Lecci: www.matematicaescuola.it Pagina 2