Circoscrivere a una data circonferenza il triangolo isoscele di area minima.
Soluzione 1
Posto CO  x
x   r ,  
con
si ha: CH  x  r

x2  r 2 : r ;
x2  r 2 .

Dai triangoli rettangoli simili BCH
x  r  : BH 
CD 
e CDO
BH 
si ha: CH : BH  CD : DO ;
x  r   r
x2  r 2
La funzione da rendere minima è:
x  r   r  x  r  ;
1
S ( x )   AB  CH  BH  CH 
2
x2  r 2
Agli estremi x  0
S (x)  r 
x  r 2
x2  r 2
x   il triangolo degenera
e
in un rettangolo indefinito di area infinita.
2x
2
2  x  r   x 2  r 2  x  r  
S I x   r 
 x 2  r 2 


2  x  r   x  r
2
r 
x2  r 2
x  r   2  x 2  r 2   x  r   x 
x

2
2  x2  r 2 

2

x  r  x

2
x2  r 2
 r
2
 r 2  x2  r 2

2
2  x  r   x 2  r 2  x  r   x
x2  r 2
x2  r 2
 r
 r

x  r   2 x 2  2 r 2  x 2  r
x  r   x  r   x 2  r 2
x

r
x
2
 r x  2r 2
x  r  

x2  r 2
.
La derivata prima S I x   0 per:
r
x
2
2

x r
2
 r x  2r
x  r  
2
2
0;
x2  r x  2r 2  0 ;
x1,2 
r  r  8r
2
2

r  3r

2
r  3r
 r
2
r  3r
 2r
2
La soluzione x  r non è accettabile perché non appartiene all’intervallo  r ,   .
Essendo:
S (2r)  r 
2 r  r 2
2
( 2r )  r
lim r 
x r
x  r 2
x2  r 2
2
 r
9r 2
3r
9 2
r  3 3r 2
3


 
Il minimo assoluto è m  3 3 r 2
assunto nel punto x  2 r
2
lim r 
x 
x  r 
x2  r 2
Per x  2 r si ha:
AB  2 3 r
 
CH  x  r  2 r  r  3 r
Essendo AB  BC  AC  2 3 r
Matematica
2
BC  CH  BH
2

BH 
3 r 2  
3r

2
x  r   r
x2  r 2

2 r  r   r
( 2 r )2  r 2

3r 2
 3r.
3r
 9 r 2  3 r 2  12 r 2  2 3 r .
 il triangolo di area minima è equilatero.
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1
Soluzione 2
Posto CE  x
x   0 ,  
con
x  r 2  r 2
CD 
si ha: CH  x  2 r
x2  r 2  2r x  r 2 


x2  2r x

Dai triangoli rettangoli simili BCH
e CDO
x  2 r  : BH 
BH 
x 2  2r x : r ;
e
si ha: CH : BH  CD : DO ;
x
x  2 r   r
x 2  2r x
La funzione da rendere minima è:
1
 AB  CH 
2
S (x) 
Agli estremi x  0
x  2 r   r  x  2 r 
2

x  2r x
x   il triangolo degenera in un rettangolo indefinito.
e
2 x  2r
2
2  x  2 r   x  x  2 r   x  2 r  
S I x   r 
2  x  x  2 r 
x  x  2 r 
x  2 r 2  x  r 
x  x  2 r 
x  x  2 r 
2
2
 r
2 x  x  2 r   x  2 r   x  r 
x x  2 r   x  x  2 r 
 r
x  2 r   x  r  
x  x  x  2 r 
x  r  
r
S x   0 ;
I
x  x  2 r 
r

 r
x  x  2 r 
x  x  2 r 
0 ;
x2

2
2  x  2 r   x  x  2 r   x  2 r   x  r 
x  x  2 r 
 r

x  x  2 r 
2  x  2 r   x  x  2 r  
 r
x  2 r 2 .
x  x  2 r 
S (x) r 
x  2 r 2  2 x  x  r 
x x  2 r   x  x  2 r 
 r
x  2 r   x  r   x  x  2 r 
x  x  x  2 r 
x  r  
x  x  2 r   0 ;
x  2 r   x  r 
x  x  x  2 r 
 r
x  r  

x  x  2 r 
.
x2
xr 0
xr
x 0
x0
x  2r  0
x  2 r  DS ( x )
 DS ( x )
Essendo:
x  2 r 2 r  r  2 r 2
x  x  2 r 
r  r  2 r 
2
x  2 r   
x  x  2 r 
x  2 r 2  
x  x  2 r 
S (r)  r 
lim r 
x 0
lim r 
x 
Pertanto: CE  r ;
BC 
2
CH  3 r ;
2
CH  BH 
3 r 2  
 r
9r 2
 3 3r 2
3r

assunto nel punto x  r
AB  2  BH  2 
3r

2
Il minimo assoluto è m  3 3 r 2
2 r  r   r
r 2  2r  r
2
3r 2
3r 2
2
3r
 2 3r .
3
 9 r 2  3 r 2  12 r 2  2 3 r .
Avendo dimostrato che AB  BC  AC  2 3 r , si può quindi concludere che:
“fra tutti i triangoli isosceli circoscritti a una data circonferenza, il triangolo di area minima è quello equilatero”.
Matematica
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2
Soluzione 3

Posto BCH  x


x   0, 
2

con
r
1  sen x
r
;
sen x
sen x
CH  r 

CD 
e CDO
BH 
x
r
cos x
r 
tg x
sen x
si ha: CH : BH  CD : DO ;
1  sen x
cos x
: BH  r 
:r
sen x
sen x
r
r
sen x

Dai triangoli simili BCH
r
si ha: CO 
da cui:
1  sen x
r
1  sen x sen x
1  sen x
sen x
r 

r 
.
cos x
sen x
cos x
cos x
r
sen x
La funzione da rendere minima è:
S (x) 
1
1  sen x
1  sen x
 AB  CH  BH  CH  r 
r 
2
cos x
sen x
Agli estremi x  0
S I x   r 2 
e
S (x)  r2 
sen x  cos x
.
x   il triangolo degenera in un rettangolo indefinito.
2  (1  sen x )  cos x  sen x  cos x  (1  sen x )2  (cos 2 x  sen 2 x )

sen 2 x  cos 2 x


r2 
(1  sen x )  2  sen x  cos 2 x  (1  sen x )  (cos 2 x  sen 2 x )

sen 2 x  cos 2 x
r2 
(1  sen x )  2  sen x  (1  sen 2 x )  (1  sen x )  (1  sen 2 x  sen 2 x )

sen 2 x  (1  sen 2 x )
r2 
(1  sen x )  2 sen x  2 sen 3 x  (1  sen x )  (1  2 sen 2 x )

sen 2 x  (1  sen x )  (1  sen x )
r2 
2 sen x  2 sen 3 x  1  2 sen 2 x  sen x  2 sen 3 x

sen 2 x  (1  sen x )
Raccogliendo (1+ sen x) si ha:
Trasformando in sen x si ha:



S I x   0 ;
1  sen x 2

r2 
2 sen 2 x  sen x  1
.
sen 2 x  (1  sen x )
sen x  1
2 sen 2 x  sen x  1
r2 
0;
sen 2 x  1  sen x 
2 sen 2 x  sen x  1  0 ;
sen x 
1
2
3
  DS ( x )
2

x
6
x
Essendo:
2


1  sen 
 
6
S    r2  
r2


6
 
sen  cos
6
6
lim r 2 
1  sen x 2
2
1

9
1  
2

 r 2  4  3 3r 2
1
3
3

2 2
4
 
Il min assoluto è m  3 3 r 2

assunto nel punto x 
sen x  cos x
1  sen x 2  
lim  r 2 
sen x  cos x
 
x  
x 0

6
2



Pertanto A  B  C 
Matematica

3

il triangolo di area minima è equilatero.
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3
Soluzione 4
Posto CE  x
x  0 ,   
con
x  r 2  r 2
CD 
si ha: CH  x  2 r
x2  r 2  2r x  r 2 


e
x2  2r x

Dai triangoli rettangoli simili BCH
e CDO
x  2 r  : BH 
BH 
x 2  2r x : r ;
si ha: CH : BH  CD : DO ;
x
x  2 r   r
x 2  2r x
La funzione da rendere minima è:
S x  
1
 AB  CH  BH  CH 
2
Agli estremi x  0
x  2 r   r  x  2 r 
2
x  2 r 2 .
x  x  2 r 
 r
x  2r x
x   il triangolo degenera in un rettangolo indefinito.
e
2 x  2r
2
2  x  2 r   x  x  2 r   x  2 r  
S I x   r 
2  x  x  2 r 
x  x  2 r 
x  2 r 2  x  r 
x  x  2 r 
x  x  2 r 
2
2  x  2 r   x  x  2 r   x  2 r   x  r 
x  x  2 r 
 r

x  x  2 r 
2  x  2 r   x  x  2 r  
 r
2
2
 r
2 x  x  2 r   x  2 r   x  r 
x x  2 r   x  x  2 r 
 r
x  2 r   x  r  
x  x  x  2 r 
x  x  2 r 
S x   0 ;
S I x   0 ;
r
 r
x  x  2 r 
x  r  
r
I

x  x  2 r 
0 ;
x2
x  r  
r

x  2 r 2  2 x  x  r 
x x  2 r   x  x  2 r 
 r
x  2 r   x  r   x  x  2 r 
x  x  x  2 r 
x  r  
 r
x  x  2 r   0 ;
x  x  2 r 
0 ;
x2
x  2 r   x  r 
x  x  x  2 r 
x  r  

x  x  2 r 
.
x2
xr 0
xr
x 0
x0
x  2r  0
x  2 r  DS ( x )
 DS ( x )
r
0
NO
xr 0
xr
x  x  2 r   0
x  2 r ; x  0
x2  0
x0

S I x 
+
S x 
Il punto di minimo si ha per: x  r .
Pertanto: CE  r ;
CH  3 r ;
AB  2  BH  2 
2 r  r   r
2
2
r  2r  r
BC 
2
2
CH  BH 
3 r 2  
3r

2
3r 2
3r
2
2
3r
 2 3r .
3
 9 r 2  3 r 2  12 r 2  2 3 r .
Avendo dimostrato che AB  BC  AC  2 3 r , si può quindi concludere che:
fra tutti i triangoli isosceli circoscritti a una data circonferenza, il triangolo di area minima è quello equilatero.
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Soluzione 5

Posto BCH  x
CO 
r
;
sen x
 
x   0, 
si ha:
 2
r
1  sen x
CH  r 
r
;
sen x
sen x
con

CD 
r
cos x
r 
tg x
sen x

Dai triangoli simili BCH
r
x
e CDO
si ha: CH : BH  CD : DO ;
1  sen x
cos x
: BH  r 
:r ;
sen x
sen x
r
BH 
1  sen x
r
1  sen x sen x
1  sen x
sen x
r 

r 
.
cos x
sen x
cos x
cos x
r
sen x
La funzione da rendere minima è:
2
S x  
1  sen x  .
1
1  sen x
1  sen x
 AB  CH  BH  CH  r 
r 
 r2 
2
cos x
sen x
sen x  cos x
Agli estremi x  0
S I x   r 2 
e
x   il triangolo degenera in un rettangolo indefinito.
2  (1  sen x )  cos x  sen x  cos x  (1  sen x )2  (cos 2 x  sen 2 x )

sen 2 x  cos 2 x


r2 
(1  sen x )  2  sen x  cos 2 x  (1  sen x )  (cos 2 x  sen 2 x )

sen 2 x  cos 2 x
r2 
(1  sen x )  2  sen x  (1  sen 2 x )  (1  sen x )  (1  sen 2 x  sen 2 x )

sen 2 x  (1  sen 2 x )
r2 
(1  sen x )  2 sen x  2 sen 3 x  (1  sen x )  (1  2 sen 2 x )

sen 2 x  (1  sen x )  (1  sen x )
r2 
2 sen x  2 sen 3 x  1  2 sen 2 x  sen x  2 sen 3 x

sen 2 x  (1  sen x )


r2 
2 sen 2 x  sen x  1
.
sen 2 x  (1  sen x )
sen x  1
2
S I x   0 ;
r2 
2 sen x  sen x  1
0;
sen 2 x  1  sen x 
r2 
1  sen x  0
2 sen 2 x  sen x  1  0 ;
2 sen 2 x  sen x  1
0 ;
sen 2 x  1  sen x 
2 sen 2 x  sen x  1  0
sen 2 x  0
Trasformando in sen x si ha:


S I x   0 ;
Raccogliendo (1+ sen x) si ha:

 30
6
1
2

6
0

5
x 
6
6
0  x 

x
2
Il punto di minimo si ha per: x 
sen x 
3
  DS ( x )
2

x
6
x

2
NO
NO

S I x 
+
S x 


BCH  30


ACB  60
Pertanto, fra tutti i triangoli isosceli circoscritti a una data circonferenza, il triangolo di area minima è quello equilatero.
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