IL PROBLEMA ISOPERIMETRICO PER I POLIGONI
a) Fra tutti i poligoni di n lati, isoperimetrici, quello regolare ha area massima
b) L’area di un poligono regolare , mantenendo fisso il perimetro,cresce con il
numero dei suoi lati
Al tendere di n all’infinito, l’area del poligono regolare di n lati tende all’area
del cerchio isoperimetrico
a) La figura seguente suggerisce il ragionamento da seguire e da generalizzare.
I triangoli CDE e CGE hanno uguale perimetro ma il primo ,isoscele, ha area
maggiore
Pertanto il poligono regolare ABCDE ha lo stesso numero di lati e lo stesso
perimetro del poligono irregolare ABCGE, ma ha area maggiore.
b)
METODO SINTETICO
Dato un poligono regolare di n lati e di perimetro 2p, è possibile costruire un
poligono di n+1 lati, non regolare, isoperimetrico e di area maggiore.
La costruzione è suggerita dalla figura seguente.
Il pentagono regolare ABCDE ha perimetro 15 e area 15,48 ( valore approssimato)
Siano
 M il punto medio del lato DE
 MFA un triangolo isoscele
isoperimetrico al triangolo MEA e
di area maggiore
 MPC un triangolo isoscele
isoperimetrico al triangolo MDC e
di area maggiore
Si ottiene così l’esagono irregolare
ABCPMF isoperimetrico al
pentagono ma di area maggiore.
Poiché l’area dell’esagono irregolare è minore di quella dell’esagono regolare
isoperimetrico, possiamo affermare che, nell’insieme dei poligoni regolari
isoperimetrici, l’area cresce al crescere del numero dei lati
METODO ANALITICO
Fissato un valore P = 2p del perimetro esprimiamo il
valore dell’area di un poligono regolare in funzione
del numero n dei lati.
Congiungendo il centro del poligono con i vertici, si
ottengono n triangoli isosceli di base
altezza
e
=
L’area del poligono è pertanto
La successione che compare al denominatore è decrescente, e tende, al tendere di n
all’infinito, al valore π,
come si può verificare osservandone il grafico eseguito mediante Geogebra
L’area del poligono regolare cresce all’aumentare del numero dei lati e , al tendere
di n all’infinito, tende al valore
isoperimetrico ( di raggio )
che è proprio uguale all’area del cerchio