Unità Didattica “Lunghezza della circonferenza ed area del cerchio”
Scuola di Specializzazione per l’Insegnamento
Secondario della Toscana
(sede di Firenze)
VIII Ciclo
II Anno
Indirizzo Fisico-Informatico-Matematico
Unità Didattica
“Lunghezza della circonferenza ed area del cerchio”
Specializzando:
Andrea Giotti
Anno Accademico 2007/2008
1
Unità Didattica “Lunghezza della circonferenza ed area del cerchio”
Indice
Introduzione
p. 3
Lezione 1 – Determinazione sperimentale delle relazioni
p. 5
Lezione 2 – Breve storia di π
p. 7
Lezione 3 – Dimostrazione delle relazioni e stima del valore di π
p. 10
Lezione 3.1 – Collegamento con il metodo originale di Archimede
p. 16
Lezione 3.2 – Altre considerazioni
p. 18
Lezione 4 – Esercitazione in laboratorio
p. 20
Lezione 5 – Verifica
p. 21
Lezione 6 – Correzione della verifica
p. 22
Bibliografia e sitografia
p. 23
2
Unità Didattica “Lunghezza della circonferenza ed area del cerchio”
Introduzione
In questa sezione si elencano schematicamente le principali caratteristiche di questa unità didattica:
●
Titolo: Il titolo di questa unità didattica è “Lunghezza della circonferenza ed area del cerchio”.
●
Disciplina di appartenenza: La disciplina a cui appartiene questa unità didattica è la geometria
sintetica e questa si inquadra all'interno del programma di matematica per la scuola superiore.
●
Classe di riferimento: Questa unità didattica è stata pensata per gli alunni di una classe terza
superiore di un liceo o istituto tecnico.
●
Prerequisiti: Si assume che gli alunni a cui è destinata questa unità didattica siano dotati di
alcune nozioni di geometria elementare (quali le definizioni di circonferenza e cerchio, i
concetti di perimetro e di area, la formula per calcolare l'area di un triangolo e le definizioni di
poligono regolare inscritto e circoscritto), già in possesso delle basi della goniometria (in
particolare delle funzioni seno, coseno e tangente) e capaci di utilizzare proficuamente un
tabellone elettronico ed un programma di geometria interattiva. L'ulteriore conoscenza
dell'identità goniometrica fondamentale, delle formule goniometriche di duplicazione e del
concetto di successione con i relativi teoremi di convergenza non è strettamente indispensabile
ma consente alcuni approfondimenti sul tema trattato.
●
Collocazione: Questa unità didattica potrebbe essere collocata nel primo quadrimestre del terzo
anno, subito dopo l'introduzione delle funzioni goniometriche necessarie alle dimostrazioni che
contiene.
●
Obiettivo: L'obiettivo di questa unità didattica è quello di presentare e giustificare, sia
matematicamente che storicamente, le formule che consentono di determinare la lunghezza di
una circonferenza e l'area di un cerchio a partire dal loro raggio, con particolare attenzione al
significato ed alle proprietà della costante π. Operativamente, mira a trasmettere la capacità di
ricavare una qualunque grandezza geometrica relativa al cerchio (tra la lunghezza della sua
circonferenza, la sua area ed il suo raggio o diametro) a partire da una qualunque altra, nonché
di discutere le ragioni per cui queste grandezze possono essere determinate solo
approssimativamente.
●
Metodologie: I metodi didattici impiegati consistono in lezioni frontali, lezioni dialogiche,
3
Unità Didattica “Lunghezza della circonferenza ed area del cerchio”
esperimenti pratici, lavori di gruppo, utilizzo di strumenti informatici.
●
Contenuti: I contenuti di questa unità didattica sono costituiti dalle formule che consentono di
determinare la lunghezza di una circonferenza e l'area di un cerchio a partire dal loro raggio,
dalla storia dei corrispondenti problemi (rettificazione della circonferenza e quadratura del
cerchio) dall'antichità ad oggi, dalle proprietà della costante π, dalla dimostrazione delle
suddette formule e dalla conseguente stima del valore della costante π mediante un metodo
simile a quello utilizzato da Archimede.
●
Risorse necessarie: Le risorse di cui questa unità didattica necessita sono il libro di testo,
alcune fotocopie, una lavagna, gessetti e pennarelli colorati, vari oggetti a sezione circolare, un
metro flessibile o filo inestensibile, un metro rigido, un compasso, alcuni fogli di vario spessore
e materiale (come linoleum, compensato, cartone pressato, plexiglas), un seghetto, una bilancia
di precisione, un laboratorio dotato di computer individuali con installati un tabellone
elettronico (quali Excel, OpenOffice Calc o Gnumeric) ed un programma di geometria
interattiva (quali Cabri o GeoGebra).
●
Struttura: Questa unità didattica richiede complessivamente un tempo stimato di sette ore ed è
articolata in sei lezioni di approssimativamente un'ora ciascuna, eccetto la terza a cui ne sono
dedicate due, secondo la seguente scaletta:
1. Determinazione sperimentale delle relazioni (1 ora)
2. Breve storia di π (1 ora)
3. Dimostrazione delle relazioni e stima del valore di π (2 ore)
4. Esercitazione in laboratorio (1 ora)
5. Verifica (1 ora)
6. Correzione della verifica (1 ora)
4
Unità Didattica “Lunghezza della circonferenza ed area del cerchio”
Lezione 1 – Determinazione sperimentale delle relazioni
Per determinare il legame esistente tra il raggio di un cerchio, la lunghezza della sua circonferenza e
l'area della sua superficie può essere seguito un approccio sperimentale:
●
Per quanto riguarda la lunghezza di una circonferenza (l), è possibile misurarla direttamente
utilizzando un metro flessibile (ad esempio da sarto) o indirettamente mediante un qualunque
filo inestensibile, da avvolgere attorno ad un oggetto con sezione circolare e successivamente
distendere in modo da poterne determinare la lunghezza confrontandolo con un metro rigido.
Questo procedimento prende il nome di rettificazione1 ed il suo risultato deve essere poi
confrontato con il diametro dell'oggetto considerato (2r): le coppie di valori (diametro,
circonferenza) così misurate per oggetti di varia dimensione vengono raccolte in una tabella e
disegnate come punti di un grafico in modo da evidenziare la relazione lineare che li lega (l =
2πr). Una media dei rapporti tra le circonferenze ed i diametri misurati costituisce inoltre una
prima stima del valore della costante π.
●
Per quanto riguarda l'area di una superficie circolare (A), è possibile misurare una quantità ad
essa proporzionale pesando con una bilancia di precisione un cerchio di ugual dimensione
ritagliato da un foglio di spessore costante e materiale omogeneo utilizzando un seghetto. Il
risultato di questo procedimento deve essere poi confrontato con il peso di un quadrato,
ritagliato dal medesimo foglio, il cui lato sia lungo quanto il raggio del cerchio considerato (r) e
la cui area sia dunque pari al suo quadrato (r2): le coppie di valori (peso del quadrato, peso del
cerchio) così misurate per fogli di vario spessore e materiale (come linoleum, compensato,
cartone pressato, plexiglas) vengono raccolte in una tabella e disegnate come punti di un grafico
in modo da evidenziare la relazione lineare che li lega (A = πr2). Una media dei rapporti tra i
pesi misurati per queste due figure costituisce inoltre una seconda stima del valore della
costante π, da confrontare con la precedente.
La scelta di procedere sperimentalmente dovrebbe favorire l'acquisizione da parte degli alunni di una
1 Questo metodo è documentato già nella Bibbia, relativamente alla costruzione di una vasca metallica circolare per il
tempio di re Salomone a Gerusalemme. Nel testo il π è implicitamente assunto uguale a 3.
5
Unità Didattica “Lunghezza della circonferenza ed area del cerchio”
sensibilità quantitativa relativamente alle grandezze che compaiono nelle relazioni in oggetto, oltre a
stimolare la loro curiosità attraverso un approccio diverso da quello della più tradizionale lezione
frontale. L'utilizzo di un tabellone elettronico può poi essere d'aiuto per evidenziare, anche
graficamente, l'esistenza di queste relazioni. Agli alunni viene poi chiesto di utilizzare i valori raccolti
per estrapolare nuove stime della lunghezza della circonferenza e dell'area del cerchio al variare del suo
raggio (ad esempio quando questo raddoppia, triplica, si dimezza, ecc.) fino alla scrittura esplicita delle
espressioni algebriche che definiscono queste relazioni. Una volta che gli alunni abbiano intuita
l'esistenza della costante π è opportuno fornirne una definizione rigorosa, tra le varie possibili vengono
qui preferite quelle che la definiscono come “la lunghezza della circonferenza di diametro unitario”
oppure “l'area del cerchio di raggio unitario”. Assieme a queste definizioni può essere proposta anche
una stima del valore della costante stessa più precisa di quelle ricavate sperimentalmente:
π = 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592...
Agli alunni viene infine spiegato come le relazioni da loro ricavate sperimentalmente possano essere
oggi dimostrate in modo rigoroso facendo uso del calcolo integrale, sfortunatamente utilizzato ad un
livello più elevato rispetto a quello che di solito viene raggiunto in una scuola superiore. Per
giustificare quelle stesse relazioni verrà quindi impiegata una tecnica che appartiene alla storia della
matematica.
6
Unità Didattica “Lunghezza della circonferenza ed area del cerchio”
Lezione 2 – Breve storia di π
Il problema della quadratura del cerchio, cioè quello di costruire un quadrato di area uguale a quella di
un cerchio assegnato, compare per la prima volta in un testo egiziano datato attorno al 1650 a.C., detto
Papiro di Rhind, dove lo scriba Ahmes propose una stima del valore della costante π, fissandola uguale
a 256 / 81 (circa 3.1605):
“Togli 1 / 9 ad un diametro e costruisci un quadrato sulla parte che ne rimane;
questo quadrato ha la stessa area del cerchio.”
Si deve poi attendere il 434 a.C., quando il filosofo greco Anassagora di Clazomene si pose l'obiettivo
di risolvere lo stesso problema usando solo riga e compasso, seguito nel 430 a.C. da Antifonte il sofista
e Brisone di Eraclea che inventarono il metodo di esaustione, consistente nell'inscrivere nel cerchio
poligoni con un numero sempre più elevato di lati. Contemporaneamente Ippocrate di Chio dimostrò la
proporzionalità tra l'area del cerchio ed il quadrato del raggio, mentre la dimostrazione di questa stessa
proprietà riportata negli “Elementi” di Euclide, anch'essa basata sul metodo di esaustione, è attribuita a
Eudosso di Cnido (408 – 355 a.C.). Successivamente, Archimede (287 – 212 a.C.) si dedicò al
problema in questione nel libro “La misura del cerchio”, enunciando i seguenti teoremi:
1. “Il cerchio è equivalente ad un triangolo che ha per base la lunghezza della circonferenza e per
altezza il raggio.”
2. “Il cerchio è equivalente approssimativamente a 11 / 14 di un quadrato che ha come lato il
diametro del cerchio.”
3. “La lunghezza della circonferenza è compresa tra 3 + 1 / 7 e 3 + 10 / 71 volte il diametro.”
La stima della costante π fatta da Archimede per calcolare l'area del cerchio è dunque pari a 22 / 7
(circa 3.1429), mentre quella utilizzata per calcolare la lunghezza della circonferenza risulta compresa
tra 223 / 71 e 22 / 7 (cioè mediamente uguale a circa 3.1419). Il procedimento utilizzato da Archimede
combina al metodo di esaustione quello di compressione, consistente nel circoscrivere al cerchio
poligoni con un numero sempre più elevato di lati, e viene approfondito nella seconda parte della terza
7
Unità Didattica “Lunghezza della circonferenza ed area del cerchio”
lezione.
La storia seguente è ricca di figure che hanno migliorato le precedenti stime del valore della costante π,
tra queste possiamo ricordare il matematico cinese Liu Hui che nel 263 d.C. lo stimò pari a 3.141014,
suggerendo 157 / 50 (3.14) come buona approssimazione, poi il matematico ed astronomo cinese Zu
Chongzhi che nel quinto secolo propose come stima l'intervallo compreso fra 3.1415926 e 3.1415927
assieme all'approssimazione razionale 355 / 113, che è la migliore possibile con meno di cinque cifre in
numeratore e denominatore, infine il matematico ed astronomo iraniano Ghyath ad-din Jamshid
Kashani (1350 – 1439) che determinò le prime 9 cifre in base 60 di π, equivalenti a 16 cifre in base
decimale. In tempi più recenti è doveroso ricordare Ludolph van Ceulen, che nel 1610 ne calcolò le
prime 35 cifre, seguito da Jurij Vega che ne produsse ben 136 nel 1794. Con l'avvento del calcolo
automatico la stima di π è divenuto terreno di confronto per le prestazioni matematiche dei computer,
dalle 2037 cifre determinate nel 1948 da George Rietwiesner, John von Neumann e Nicholas
Constantine Metropolis utilizzando per 70 ore l'ENIAC, il primo computer elettronico, alle
1241100000000 cifre (oltre 1200 miliardi) calcolate nel 2002 da Yasumasa Kanada utilizzando per 600
ore un supercomputer parallelo della Hitachi con 64 nodi ed un terabyte di memoria centrale. Questi
reiterati tentativi, distribuiti in oltre tremilacinquecento anni di storia, riportano alla mente i versi del
Paradiso di Dante relativi al problema della quadratura del cerchio:
“Qual è 'l geometra che tutto s'affige
per misurar lo cerchio, e non ritrova,
pensando, quel principio ond'elli indige...”
La scelta della lettera greca π per indicare la costante di Archimede, detta anche costante di Ludolph, è
di William Jones nel 1706, ma diviene uno standard solo dopo essere stata adottata dal grande
matematico Leonhard Euler (1707 – 1783) nella sua “Introductio in analysis infinitorum” del 1748.
Successivamente l'illusione di poter prima o poi esaurire le cifre di π viene infranta da Johann Heinrich
Lambert nel 1761, quando egli dimostra l'irrazionalità di questa costante, cioè l'impossibilità di
esprimerla esattamente attraverso un rapporto di interi come era stato tentato più volte da Ahmes in poi.
Cade infine il sogno greco della quadratura con riga e compasso grazie a Ferdinand von Lindemann,
che dimostra nel 1882 la trascendenza di π, cioè il fatto che questa costante non è soluzione di alcuna
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Unità Didattica “Lunghezza della circonferenza ed area del cerchio”
equazione algebrica a coefficienti razionali e non appartiene dunque al campo dei numeri costruibili
con riga e compasso.
Queste brevi note vengono fotocopiate e consegnate agli alunni ad integrazione del loro libro di testo.
Si può poi chiedere loro di compiere una ricerca più approfondita attraverso il Web, segnalando ad
esempio come il sito “Wikipedia” offra una storia assai dettagliata della costante π, oltre ad una breve
introduzione al metodo di esaustione. I risultati più interessanti di questa ricerca possono essere
discussi in classe e costituire una stimolante introduzione alla lezione successiva.
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Unità Didattica “Lunghezza della circonferenza ed area del cerchio”
Lezione 3 – Dimostrazione delle relazioni e stima del valore di π
Il procedimento qui proposto è una variante di quello utilizzato da Archimede (metodi di esaustione e
di compressione) per la stima della lunghezza di una circonferenza. Analogamente al metodo di
Archimede, questo fa uso di poligoni regolari inscritti e circoscritti con un numero di lati sempre più
grande, ma a differenza di esso passa attraverso la determinazione delle loro aree anziché dei loro
perimetri. Questa scelta dipende dal fatto che risulta evidente come l'area di una figura geometrica
inclusa in una seconda figura sia minore o al più uguale rispetto all'area della seconda figura (postulato
di De Zolt2), mentre una simile proprietà non vale in generale per i loro perimetri. La determinazione
delle condizioni sotto cui questa disuguaglianza possa valere anche sui perimetri è un problema
complesso3 e non sembra corretto presentare come intuitivo il fatto che questo avvenga nel caso
particolare della circonferenza studiata da Archimede.
Assegnata una qualunque circonferenza di raggio r, si considerano dunque coppie di poligoni regolari
con un ugual numero n di lati, di cui uno inscritto e l'altro circoscritto ad essa, scelti in modo tale che
ogni lato di quello inscritto sia parallelo al lato corrispondente di quello circoscritto.
I poligoni costituenti ognuna di queste coppie vengono suddivisi in un numero n di triangoli uguali tra
loro, ognuno dei quali con un vertice nel centro della circonferenza e gli altri due vertici coincidenti
con altrettanti vertici consecutivi del poligono suddiviso. Le grandezze caratteristiche ognuno di questi
triangoli sono evidenziate nella seguente figura.
2 “Una superficie non può essere equivalente ad una sua parte.” (Bergamini, Trifone, Zagnoli; Zanichelli) oppure “Una
superficie è prevalente ad una sua parte.”, cioè ha maggiore estensione di una sua parte (Cateni, Fortini; Le Monnier) o
più precisamente “Una superficie finita è prevalente ad ogni sua parte.” (Melzi, Tonolini; Minerva Italica).
3 La convessità delle figure in gioco è condizione sufficiente ma non necessaria.
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Unità Didattica “Lunghezza della circonferenza ed area del cerchio”
O
α
r
h
M
h'
N
P
R
Q
b
b'
S
I triangoli derivanti dalla suddivisione del poligono inscritto hanno base PQ di lunghezza b ed altezza
OM di lunghezza h, mentre quelli derivanti dalla suddivisione del poligono circoscritto hanno base RS
di lunghezza b' ed altezza ON di lunghezza h'. I triangoli derivanti dalla suddivisione del poligono
inscritto condividono con quelli derivanti dalla suddivisione del poligono circoscritto un angolo al
centro della circonferenza POQ = ROS di misura α, valore che dipende da n secondo la formula:
α=
360 °
, n≥3
n
Applicando le definizioni di seno e coseno ai triangoli derivanti dalla suddivisione del poligono
inscritto è possibile calcolare i valori di b e h in funzione di r e α, secondo:


b=2r sin
α
2
h=r cos
α
2
Indicando poi con S l'area del poligono inscritto, questa sarà pari a n volte quella del singolo triangolo
derivante dalla sua suddivisione, risultando dunque uguale a:
S=n
bh
2
Sostituendo i valori di b, h e α nella formula precedente si ottiene quindi:
S=n r 2 sin
   
180 °
180 °
cos
n
n
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Unità Didattica “Lunghezza della circonferenza ed area del cerchio”
Analogamente, applicando la definizione di tangente ai triangoli derivanti dalla suddivisione del
poligono circoscritto è possibile calcolare i valori di b' e h' in funzione di r e α, secondo:
b ' =2r tan

α
2
h '=r
Indicando poi con S' l'area del poligono circoscritto, questa sarà pari a n volte quella del singolo
triangolo derivante dalla sua suddivisione, risultando dunque uguale a:
S ' =n
b ' h'
2
Sostituendo i valori di b', h' e α nella formula precedente si ottiene quindi:
S ' =n r 2 tan
 
180°
n
Dato che la funzione tangente è uguale al rapporto tra le funzioni seno e coseno e ricordando che
quest'ultima è compresa tra zero ed uno quando il suo argomento è un angolo appartenente al primo
quadrante, valgono le relazioni:
sin
       
180°
180 °
180°
180 °
cos
≤sin
≤tan
n
n
n
n
da cui deriva la disuguaglianza:
S≤S '
Si ricorda poi che il poligono inscritto è incluso nel cerchio assegnato, mentre il cerchio è incluso nel
poligono circoscritto. Questo significa che tutti i punti del poligono inscritto appartengono al cerchio,
mentre tutti i punti del cerchio appartengono al poligono circoscritto. Indicando con A l'area del
cerchio, per il postulato di De Zolt valgono allora le ulteriori disuguaglianze:
S≤ A≤S '
Esplicitando le espressioni di S e S' si ottengono così una minorazione ed una maggiorazione che
consentono di stimare A a partire da n e r, secondo:
n r 2 sin
   
 
180°
180°
180°
cos
≤A≤n r 2 tan
n
n
n
Fissato n, queste disuguaglianze confermano la dipendenza quadratica di A da r, secondo la formula
precedentemente individuata per via sperimentale:
A=π r 2
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Unità Didattica “Lunghezza della circonferenza ed area del cerchio”
Dividendo tutti i termini di queste disuguaglianze per il quadrato di r, si ottiene infine una stima del
valore della costante π:
n sin
   
 
180 °
180 °
180°
cos
≤π≤n tan
n
n
n
Nella tabella seguente sono riportati gli estremi dell'intervallo di questa stima (Min e Max) al variare
del numero n dei lati dei poligoni inscritti e circoscritti (Lati).
Lati
3
4
5
6
7
8
9
10
12
16
24
32
48
64
96
Min
1.299
2.000
2.378
2.598
2.736
2.828
2.893
2.939
3.000
3.061
3.106
3.121
3.133
3.137
3.139
Max
5.196
4.000
3.633
3.464
3.371
3.314
3.276
3.249
3.215
3.183
3.160
3.152
3.146
3.144
3.143
Si nota come l'intervallo si restringe al crescere di n. Infatti i due estremi dell'intervallo costituiscono
due successioni convergenti a π, in quanto la distanza tra di essi può essere resa piccola a piacere. Una
stima di questa distanza può essere ricavata utilizzando l'identità goniometrica fondamentale:
sin 2 θcos2 θ=1
Considerando l'intervallo di variazione della funzione coseno per i valori ammissibili di n si ottiene:
 
 
180 °
n
∣S '−S∣
180°
=n
≤2 nsin 3
2
n
r
180 °
cos
n
sin 3
 
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Unità Didattica “Lunghezza della circonferenza ed area del cerchio”
Questa disuguaglianza consente di stimare l'errore commesso durante l'approssimazione ma il suo
studio analitico può risultare problematico per gli alunni della classe per cui è stata progettata questa
unità didattica, quindi si suggerisce di affrontarlo da un punto di vista esclusivamente numerico. Quello
che deve essere comunque sottolineato è che i valori delle due successioni precedentemente individuate
costituiscono due insiemi contigui4 di cui π è l'elemento separatore5.
L'analisi fin qui effettuata può essere ulteriormente approfondita in modo da dimostrare queste ultime
due affermazioni se gli alunni hanno qualche familiarità con i teoremi che garantiscono la convergenza
di una successione e conoscono le formule goniometriche di duplicazione:
sin 2 θ=2sin θ cosθ
2
2
cos2 θ=cos θ−sin θ
Si possono allora considerare le due successioni costituite dalle aree dei poligoni inscritti e circoscritti
che si ottengono iniziando con una coppia di poligoni aventi un qualunque numero n0 di lati e
raddoppiando questo valore ad ogni passo k, secondo:
k
n=2 n0 , k≥0, n0≥3
Applicando le precedenti formule assieme all'identità goniometrica fondamentale ai rapporti tra i valori
assunti in due passi consecutivi dagli elementi di queste due successioni e considerando l'intervallo di
variazione delle funzioni seno e tangente per i valori ammissibili di k e n0 si ottengono le stime:
S k1
=
S k
1
 
 
180°
1−2 sin k1
2 n0
≥1
2
S ' k1
180°
=1−tan 2 k1 ≤1
S '  k
2 n0
da cui gli ordinamenti:
S k ≤S k1≤S ' 0
S 0≤S '  k1≤S ' k 
Dato che ogni successione monotona crescente e superiormente limitata (o monotona decrescente ed
inferiormente limitata) converge, entrambe le successioni considerate convergono. Resta da dimostrare
4 Due sottoinsiemi separati di numeri reali (cioè tali che tutti gli elementi del primo insieme precedono tutti gli elementi
del secondo) che ammettono un unico elemento separatore sono detti “contigui”.
5 Un numero reale compreso tra tutti gli elementi del primo insieme e tutti gli elementi del secondo si dice “elemento
separatore”.
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Unità Didattica “Lunghezza della circonferenza ed area del cerchio”
che esse convergono allo stesso valore, ma questo può essere fatto valutando i rapporti tra i valori
assunti in due passi consecutivi dalle differenze tra gli elementi corrispondenti delle successioni stesse
e considerando l'intervallo di variazione delle funzioni coseno e tangente per i valori ammissibili di k e
n0, in modo da ricavare la stima:
∣S 'k 1−S k1∣
=
∣S ' k−S k ∣
 
 
1−tan 2
4 cos2
180°
2k1 n0
180 °
2k1 n0
≤
1
3
da cui si può concludere:
∣S 'k −S k ∣≤
1
∣S '0−S0∣
3k
Scegliendo un numero di passo k sufficientemente grande la differenza tra le aree dei poligoni
circoscritti e quelle dei poligoni inscritti può essere resa piccola a piacere. La successione delle
differenze tende dunque a zero e questo implica l'unicità dell'elemento a cui convergono le due
successioni di partenza.
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Unità Didattica “Lunghezza della circonferenza ed area del cerchio”
Lezione 3.1 – Collegamento con il metodo originale di Archimede
Per determinare con un metodo analogo la lunghezza l della circonferenza è opportuno indicare con p il
perimetro del poligono inscritto e con p' il perimetro di quello circoscritto. Mantenendo gli stessi
simboli precedentemente introdotti, valgono allora le relazioni:
p=n b
p'=n b '
Sostituendo le espressioni precedentemente ricavate per b e b' in queste relazioni si ottiene:
p=2 n r sin
 
 
p'=2 n r tan
180°
n
180 °
n
Per le considerazioni precedentemente svolte sull'ordinamento di queste funzioni goniometriche,
quando il loro argomento è un angolo appartenente al primo quadrante vale la disuguaglianza:
p≤p '
Postulando6 allora le ulteriori disuguaglianze:
p≤l≤ p '
si giunge alla stima:
2 nr sin
 
 
180°
180 °
≤l≤2n r tan
n
n
che conferma la dipendenza lineare di l da r, secondo la formula precedentemente individuata per via
sperimentale:
l=2 π r
Si può allora concludere che:
n sin
 
 
180 °
180°
≤π≤n tan
n
n
Si ottengono così nuovamente due successioni di valori che minorano e maggiorano la costante π che si
cerca di stimare ed in particolare la successione maggiorante coincide con quella già ricavata per le
aree dei poligoni circoscritti.
6 Questo può apparire arbitrario ma anche Archimede fece qualcosa di simile, come spiegato nel seguito.
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Unità Didattica “Lunghezza della circonferenza ed area del cerchio”
Lati
3
4
5
6
7
8
9
10
12
16
24
32
48
64
96
Min
2.598
2.828
2.939
3.000
3.037
3.061
3.078
3.090
3.106
3.121
3.133
3.137
3.139
3.140
3.141
Max
5.196
4.000
3.633
3.464
3.371
3.314
3.276
3.249
3.215
3.183
3.160
3.152
3.146
3.144
3.143
Archimede ottenne la sua stima partendo da esagoni regolari (n = 6) e raddoppiandone ad ogni passo il
numero di lati fino a giungere ad un poligono con n = 96. Le sue dimostrazioni sono meno generali di
quelle qui proposte ed assai più complesse perché non sfruttano le funzioni goniometriche, che
all'epoca non erano disponibili. Inoltre esse si basano su di un postulato non particolarmente intuitivo
che stabilisce, in presenza di una coppia di curve convesse con gli estremi in comune, la maggior
lunghezza della più esterna rispetto alla più interna7 e risulta del tutto equivalente alle disuguaglianze
sui perimetri dei poligoni:
p≤l≤ p '
Come nel caso della stima dell'area del cerchio, anche in questo caso è possibile approfondire l'analisi
sulle successioni attraverso l'uso delle formule di duplicazione, compito che può essere svolto
attraverso passaggi analoghi a quelli del caso precedente e che viene lasciato come esercizio per casa.
7 “Se due linee hanno gli stessi estremi e sono convesse, e se la prima di esse è compresa tra la seconda e la retta che ha
gli stessi estremi, allora la prima è più corta della seconda.” (secondo postulato del primo libro della “Sfera e cilindro” di
Archimede).
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Unità Didattica “Lunghezza della circonferenza ed area del cerchio”
Lezione 3.2 – Altre considerazioni
1. Se si sceglie di considerare la circonferenza come indistinguibile da un poligono convesso con
un numero elevatissimo di lati, esiste un percorso che consente di dimostrare le disuguaglianze
postulate nella sezione precedente. Si osserva infatti che, per un qualsiasi poligono, la
lunghezza di ogni lato è minore della somma di tutti gli altri lati, osservazione che può essere
dimostrata tracciando un opportuno sottoinsieme delle diagonali del poligono che lo
suddividano in triangoli ed applicando ripetutamente la disuguaglianza triangolare 8 a questi
ultimi. Considerando allora due poligoni convessi contenuti l'uno nell'altro, si può suddividere
in poligoni la figura che resta togliendo quello più interno da quello più esterno, in modo che
ognuno dei poligoni frutto della suddivisione abbia un lato o parte di esso in comune con il
poligono più interno, mentre la restante parte del perimetro in comune con quello più esterno.
Applicando allora la precedente osservazione ad ognuno di questi nuovi poligoni, si può
concludere che il perimetro di un qualsiasi poligono convesso è maggiore del perimetro di un
qualunque altro poligono convesso che sia contenuto in esso. La ragione per cui questo
ragionamento non è stato introdotto precedentemente è il fatto che, a stretto rigore, la
circonferenza non è una poligonale, mentre la disuguaglianza equivalente sui poligoni che la
approssimano era già stata ricavata per via goniometrica.
2. Un modo alternativo per riproporre rigorosamente il metodo di Archimede agli alunni è quello
di definire la lunghezza di una circonferenza come elemento separatore tra i perimetri di tutti i
possibili poligoni regolari inscritti e circoscritti alla circonferenza stessa. Questo percorso non è
stato seguito nella presente unità didattica perché suggerisce l'idea che la circonferenza richieda
una definizione della sua lunghezza diversa da quella di una qualsiasi altra curva, oppure lascia
da dimostrare la compatibilità di questa definizione con le altre possibili definizioni di
lunghezza di una curva, obiettivo che richiede un'applicazione non banale del calcolo integrale
e perciò esula certamente da questa unità didattica.
3. Una volta determinata la formula per calcolare l'area del cerchio, un ulteriore modo per
giungere ad una espressione della lunghezza della sua circonferenza è attraverso il teorema di
Archimede che stabilisce l'equivalenza tra un cerchio ed un triangolo che abbia base pari alla
8 “In ogni triangolo ciascun lato è minore della somma degli altri due.” (Melzi, Tonolini; Minerva Italica).
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Unità Didattica “Lunghezza della circonferenza ed area del cerchio”
lunghezza della sua circonferenza ed altezza pari al suo raggio, secondo:
2
πr =
lr
2
da cui la ben nota relazione:
l=2 π r
Questo teorema è interessante perché garantisce che le stime della costante π derivanti dai due
procedimenti precedentemente illustrati conducono allo stesso valore. La sua dimostrazione, pur
ricorrendo per due volte alla tecnica per assurdo, è in teoria affrontabile con gli strumenti
disponibili agli alunni di una scuola superiore. Tuttavia, oltre ad essere abbastanza complessa,
anch'essa sfrutta il postulato precedentemente citato e non aggiungerebbe dunque molto a
quanto già discusso. Per questa ragione essa non viene inclusa nella presente unità didattica.
Le due tabelle mostrate nella lezione corrente vengono fotocopiate e consegnate agli alunni ad
integrazione del loro libro di testo. La lezione successiva insegnerà loro come realizzarne di analoghe.
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Unità Didattica “Lunghezza della circonferenza ed area del cerchio”
Lezione 4 – Esercitazione in laboratorio
Gli alunni, che sono stati condotti in laboratorio, vengono divisi in gruppi composti da un massimo di
tre persone a cui vengono assegnati i seguenti compiti:
1. Utilizzando un tabellone elettronico (quali Excel, OpenOffice Calc o Gnumeric) realizzare due
tabelle analoghe a quelle mostrate nella lezione 3:
●
Produrre una prima tabella contenente approssimazioni di π derivanti dalla stima della
lunghezza della circonferenza di diametro unitario.
●
Produrre una seconda tabella contenente approssimazioni di π derivanti dalla stima dell'area
del cerchio di raggio unitario.
2. Utilizzando un programma di geometria interattiva (quali Cabri o GeoGebra) realizzare le
costruzioni geometriche descritte nella lezione 3:
●
Costruire una serie di poligoni regolari con numero di lati variabile.
●
Inscrivere in ciascuno di questi poligoni una circonferenza.
●
Costruire una seconda serie di poligoni regolari, a loro volta inscritti nelle circonferenze
stesse, con numero di lati uguale a quello del corrispondente poligono circoscritto.
●
Misurare i perimetri e le aree di tutti questi poligoni con gli appositi strumenti e rapportarli
rispettivamente ai diametri ed ai quadrati dei raggi delle circonferenze corrispondenti
utilizzando la calcolatrice integrata nel programma.
3. Confrontare i rapporti misurati con le righe appropriate delle tabelle precedentemente prodotte.
Il docente supervisiona il corretto svolgimento dell'esercitazione, aiutando gli alunni in difficoltà e
fornendo, su richiesta, tutti i chiarimenti del caso. Gli alunni sono incoraggiati a collaborare e
confrontare i risultati ottenuti individualmente.
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Unità Didattica “Lunghezza della circonferenza ed area del cerchio”
Lezione 5 – Verifica
Agli alunni viene assegnato il seguente test individuale, da svolgere autonomamente in un'ora di tempo:
1. Calcolare i valori, approssimati alla seconda cifra decimale, del perimetro l e dell'area A di un
cerchio con raggio uguale a 5. [Soluzione: l = 31.42, A = 78.54]
2. Data una circonferenza di raggio r fatta di filo di ferro, supposto inestensibile, si suddivide
quello stesso filo in tre parti uguali che vengono utilizzate per costruire altrettante circonferenze
più piccole di raggio r'. Quanto vale r' rispetto a r? [Soluzione: r' = r / 3]
3. Una certa quantità di impasto per pizza viene utilizzata per produrre una pizza circolare di
raggio r, mentre una pari quantità viene utilizzata per produrre quattro pizzette circolari più
piccole, uguali tra loro e di raggio r'. Quanto vale r' rispetto a r? [Soluzione: r' = r / 2]
4. Dato un cerchio di cartone di raggio r, si ritaglia da esso un cerchio concentrico più piccolo, di
raggio r', con area pari a quella della corona circolare che resta dal cerchio più grande una volta
rimosso il cerchio più piccolo. Quanto vale r' rispetto a r? [Soluzione: r' = r / √2]
5. Dati un cerchio ed un quadrato di ugual perimetro, in che rapporto stanno le loro aree?
[Soluzione: π / 4]
6. La lunghezza della circonferenza è approssimata con maggior precisione dal perimetro del
quadrato inscritto o da quello del quadrato circoscritto? [Soluzione: dal perimetro del quadrato
inscritto]
7. L'area del cerchio è approssimata con maggior precisione dall'area del quadrato inscritto o da
quella del quadrato circoscritto? [Soluzione: dall'area del quadrato circoscritto]
8. La costante π è fisica, matematica o frutto di una convenzione? [Soluzione: matematica]
9. La costante π è un numero razionale o irrazionale? Cosa comporta questo fatto? [Soluzione:
irrazionale; questo comporta che non è possibile esprimerlo come rapporto di interi o
rappresentarlo con un numero finito di cifre]
10. La costante π è un numero algebrico o trascendente? Cosa comporta questo fatto? [Soluzione:
trascendente; questo comporta che non è possibile esprimerlo come combinazione di un numero
finito di razionali e delle loro radici o costruire con riga e compasso un poligono equivalente ad
un cerchio assegnato]
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Unità Didattica “Lunghezza della circonferenza ed area del cerchio”
Lezione 6 – Correzione della verifica
Ad ogni domanda del precedente test la cui risposta sia corretta e completa viene assegnato un punto,
ad ogni domanda con risposta corretta ma incompleta viene assegnato mezzo punto mentre alle
domande prive di risposta o con risposta sbagliata vengono assegnati zero punti. Il totale, compreso tra
zero e dieci punti, viene incrementato di uno dopo essere stato moltiplicato per 0.9 ed il risultato può
essere utilizzato a fini di valutazione, con la soglia di sufficienza fissata a sei punti. Le risposte corrette
vengono proposte alla classe e le ragioni degli errori più comuni discusse assieme agli alunni che li
hanno commessi.
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Unità Didattica “Lunghezza della circonferenza ed area del cerchio”
Bibliografia e sitografia
Bibliografia:
●
G. Melzi, L. Tonolini, Il metodo della geometria 1, Minerva Italica, Bergamo, 1993
●
M. Bergamini, A. Trifone, A. Zagnoli, Matematica per moduli 2, Zanichelli, Bologna,
2003
●
M. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi, Lineamenti di matematica 4, Ghisetti e Corvi,
Milano, 2001
●
E. Giusti, Analisi matematica 1, Boringhieri, Torino, 1983
Sitografia:
●
it.wikipedia.org
●
web.math.unifi.it
●
www.polito.it
●
siba2.unile.it
●
www.unipv.it
●
www.dm.uniba.it
●
umi.dm.unibo.it
●
www.liceovoltacomo.it
●
lnx.matematicamente.it
●
www.innovamatica.it
●
www.vialattea.net
●
web.tiscalinet.it
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