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DIFFRAZIONE ATTRAVERSO DUE FENDITURE
Consideriamo due fenditure, simmetriche rispetto ad un’origine O, di larghezza b e spaziate in modo che i
loro centri si trovino a distanza ±d/2 da O.
Se c è la dimensione della zona compresa fra le due fenditure, potremo dire che
d =cb
c c
d −b d b
ds∈ , b =
,
2 2
2
2
[
][
]
Riprendendo il formalismo utilizzato per la singola fenditura, dovremo integrare il contributo dell’elemento
ds fra (d-b)/2 e (d+b)/2.
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dy=
a ds
[ 2 cos  ks sin θ  sin  ωt−kx  ]
x
d b
2a
y=
sin  ωt−kx 
x
y=
y=
∫
2
cos  ks sin θ  ds
d −b
[
2
sin  ks sin θ 
2a
sin  ωt−kx 
x
k sin θ
[ 
]
d b
2
d −b
2
 
2a
d b
d−b
sin  ωt −kx  sin k
sin θ −sin k
sin θ
xk sin θ
2
2
]
Sapendo che:
sin  AB −sin  A−B =2 cos A sin B
possiamo scrivere:
y=

 
2a
d
b
sin  ωt−kx  2 cos k sin θ sin k sin θ
xk sin θ
2
2
e dopo aver posto
b
π
β=k sin θ = b sin θ
2
λ
γ=k

d
π
sin θ= d sin θ
2
λ
si ha:
2a
sin  ωt−kx  2 cos γ sin β
xk sin θ
sin β
ab
y=2A0
cos γ sin  ωt−kx 
A0 =
β
x
y=
Infine, passando all’espressione dell’intensità, si ottiene:
I =4A 20
Diffrazione da singola
fenditura
sin 2 β
cos 2 γ
2
β
Interferenza prodotta da
due fasci di uguale
intensità, ma con
differenza di fase
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I termini β e γ non sono indipendenti.
La differenza di cammino ottico fra i due bordi di una fenditura vale b sinθ , quindi la differenza di fase vale
2π
b sin θ=2β
λ
La differenza di fase fra punti corrispondenti nelle due fenditure sarà:
2π
d sin θ =2γ
λ
da cui si ottiene la relazione fra β e γ
γ d
=
β b
In sintesi:
con due fenditure si ottiene una figura che combina l’interferenza fra raggi provenienti da punti
corrispondenti delle due fenditure, con la diffrazione che determina la quantità di luce emergente dalle
fenditure ad una dato angolo.
Attenzione : la diffrazione è il risultato dell’interferenza di onde secondarie, per cui è essa stessa una figura
di interferenza.
Le posizioni dei minimi nella figura di interferenza saranno dati da:
π
2
π
π 3 5
d sin θ = , π , π , .. ..
λ
2 2 2
1
d sin θ = m λ
m=0,1,2 , .. .
2
cos γ=0 ⇒ γ=±m
 
20
e anche da:
sin β=0 ⇒ β=±mπ
π
b sin θ =π , 2π , 3π . .. .
λ
bsin θ = pλ
p=1,2 ,3 ,. ..
Determinare l’esatta posizione dei massimi non è cosa semplice.
Ma in prima approssimazione possiamo considerare il caso di fenditure molto strette, in modo tale che la
figura di diffrazione diventi larga abbastanza da poter considerare determinante solo il termine cos2γ.
In questo caso:
cos2 γ=1 ⇒ γ=±mπ
d sin θ =mλ
m=0,1,2,3 , .. .
Il termine m è chiamato ordine di interferenza.
Il termine mλ indica il numero di lunghezze d’onda corrispondenti alla differenza di cammino ottico fra punti
corrispondenti nelle due fenditure.
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Diminuire la dimensione di b rispetto a d fa sì che la funzione di diffrazione si allarghi, inglobando un gran
numero di massimi di interferenza.
Si nota che vi sono alcuni massimi mancanti, i cosiddetti missing orders.
Questa condizione di ha quando un max di interferenza coincide con un min di diffrazione, cioè quando:
d sin =m

d m
=
b p
bsin = p 
Per d/b=2 mancano gli ordini m=2,4,6,…
Per d/b=3, mancano gli m=3,6,9,…
Consideriamo ora due sorgenti puntiformi che emettono treni di onde piane.
Le posizioni dei loro max di interferenza saranno spostate di una certa quantità sottesa dallo stesso angolo α
che separa le due sorgenti.
Se α << λ/d (= separazione fra due frange successive) allora la figura di interferenza risultante sembra un
cos2γ, ma con l’intensità che non va a 0 ai minimi.
Quando α è tale che il max di interferenza di una figura coincide con il min dell’altra le frange spariscono.
E questo accade quando:
α=
λ 3 λ 5 λ
,
,
, . ..
2d 2 d 2 d
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Su questi principi si basa l’interferometro di Michelson, che serve a misurare con precisione separazioni
angolari di stelle. Infatti uno dei primi utilizzi dell'interferometria ottica si ebbe con la costruzione
dell'interferometro stellare di Michelson che fu montato al telescopio di 2.5m di Mount Wilson e permise di
ottenere per la prima volta il diametro angolare della gigante rossa Betelgeuse (13 Dicembre 1920).
Telescopio Hale (2.5m) di Mount Wilson (USA)
Very Large Telescope Interferometer (Monte Paranal, Cile)