La divisione di Ruffini
Paolo Ruffini (1765 – 1822)
Supponiamo di voler scomporre il polinomio:
x3 + 4 x2 – 7 x – 10
Nel prodotto di più binomi del tipo ( x – a ).
Anzitutto occorre trovare gli zeri del polinomio,
cioè i valori di x che lo annullano. Tali valori
vanno cercati tra i divisori del termine noto.
In questo caso il termine noto è 10 ed i suoi
divisori sono quindi:
+ 1, - 1, + 2, - 2, + 5, - 5, + 10, - 10.
Sostituiamo 1 al posto di x:
P(1) = 13 + 4 12 – 7 1 - 10 = 1 + 4 – 7 – 10 = - 12
Il risultato non è nullo, quindi 1 non è uno zero del
polinomio.
Sostituiamo allora – 1 :
P(– 1) = (- 1)3 + 4 (- 1)2 – 7 (- 1) – 10 = - 1 + 4 + 7 – 10 = 0
Il risultato è nullo, quindi – 1 è uno zero del mio
polinomio. Allora esso risulta divisibile per ( x + 1 )
Possiamo procedere con la divisione di Ruffini.
1
+4
-7
- 10
Tracciamo le righe escludendo l’ultimo
coefficiente.
Scriviamo lo
Ripetiamo il procedimento: - 1 per 3 fa – 3, - 7 più – 3 fa – 10, e così via...
zero.
-1
1
-1
-3
+10
+3
-10
0
Riportiamo il primo coefficiente
...finché
in basso
non arriviamo
e moltiplichiamolo
al resto, inper
questo
lo zero:
caso 0.
nel
nostro caso,
- 1 per
1 fa – 1. del polinomio che va diviso.
Scriviamo
anzitutto
i coefficienti
Sommiamo al risultato il secondo coefficiente e trascriviamolo sotto.
Ora leggiamo i coefficienti nella riga inferiore:
+1 ; + 3 ; - 10
Il primo da destra è il termine noto; il secondo è
il coefficiente della x; il terzo è il coefficiente
della x2. Si comincia sempre da destra per
potenze crescenti di x. Il polinomio quoziente è
dunque x2 + 3 x – 10.
Ed ecco come si scompone il polinomio iniziale:
x3 + 4 x2 – 7 x – 10 = ( x + 1 ) ( x2 + 3 x – 10 )
Il trinomio ottenuto:
( x2 + 3 x – 10 )
può essere ulteriormente scomposto tramite la
divisione di Ruffini. Infatti si verifica subito che:
P(+2) = 22 + 3 2 – 10 = 4 + 6 – 10 = 0
Provate da soli ad eseguire la scomposizione. Poi
passate alla diapositiva seguente e verificate se
avete operato in maniera corretta.
1
2
1
3
-10
2
10
5
0
Dunque il polinomio quoziente è ( x + 5 ).
Perciò x2 + 3 x – 10 = ( x – 2 )( x + 5 ).
Conclusione
Il polinomio da noi assegnato all’inizio può
scomporsi così:
x3 + 4 x2 – 7 x – 10 = ( x + 1 ) ( x – 2 ) ( x + 5 ).
Torna all’inizio