La scomposizione col metodo di
Ruffini
Per comprendere la scomposizione col
metodo di Ruffini procediamo per
passi:
Cominciamo con il seguente esercizio:
Effettuare la seguente divisione:
(2 x 3  5 x  3) : ( x  1)
Osserviamo che:
La divisione si può fare (grado dividendo maggiore grado
divisore)
Si può effettuare la divisione con Ruffini (grado del divisore=1)
Il quoziente avrà grado 2 (grado dividendo meno grado divisore)
Il resto avrà grado zero (deve essere minore del grado del
divisore che è 1). Quindi il resto è un numero
Effettuiamo quindi la divisione
(2 x  5x  3) : ( x  1)
3
2
0 5 3
2
1
2
2 3
Quindi Q= 2 x  2 x  3
2
2 3
0
e R=0
Se uno volesse fare la verifica:
Quoziente x Divisore + Resto = Dividendo
Ma, dato che il resto è zero, abbiamo
semplicemente:
Quoziente x Divisore = Dividendo
O anche, leggendo da destra a sinistra:
Dividendo = Quoziente x Divisore
Quindi nel nostro esempio:
2 x  5x  3  (2 x  2 x  3)( x  1)
3
2
Osserviamo che quanto appena scritto è la
3
scomposizione del polinomio 2 x  5 x  3
Che abbiamo scritto come un prodotto di
polinomi di grado minore .
Questo è vero solo perché il resto della divisione
è zero!!!!!!!!!!
Questo vuol dire che sappiamo
scomporre il polinomio
2 x  3x  5 ?
3
Assolutamente NO!
Perché se l’esercizio fosse stato: scomponi il
3
polinomio 2 x  3 x  5 nessuno poteva
Immaginare che andava diviso per x-1 e che tale
divisione avrebbe avuto resto zero.
Almeno per ora…
Voltiamo per adesso pagina (ma non
dimentichiamoci quanto appena visto)
Con l’espressione P(x) (che si legge pi di x) si
intende un qualunque polinomio nella lettera x.
3
2
Esempio: Sia P( x)  2 x  5 x  3
Cosa intendiamo con l’espressione P ( 2) ?
Si intende l’espressione numerica che si ottiene
sostituendo a tutte le x del polinomio il numero
2. In questo caso quindi:
P(2x )  2 x2  5x2  3
3
2
Diventa
Che è un’espressione che sappiamo calcolare:
 2  8  5  4  3  16  20  3  1
In conclusione quindi
P ( 2 )  1
Proviamo P(3)
P(3x )  2x3  5x3  3
3
2
Diventa
Che è un’espressione che sappiamo calcolare:
 2  27  5  9  3  54  45  3  12
In conclusione quindi
P (3)  12
Proviamo P(-1)
P(x1)  2 (1x)  5 (x1)  3
3
2
Diventa
Che è un’espressione che sappiamo calcolare:
 2  (1)  5 1  3  2  5  3  4
In conclusione quindi
P ( 1)  4
Affrontiamo adesso il seguente
4
2
P
(
x
)

2
x

x
 3x  2 . Si calcoli
Esercizio. Sia
P(2) e dopo si effettui la divisione
(2 x 4  x 2  3x  2) : ( x  2)
Cominciamo con P(2):
P(2)  2  2  2  3  2  2  32  4  6  2  32
Adesso la divisione: (2 x 4  x 2  3x  2) : ( x  2)
2 0
-1
+3 -2
4
2
2
+4
+8 +14 +34
2 +4 +7 +17 +32
Quindi Q  2 x3  4 x 2  7 x  17 e R  32
Si osserva però che abbiamo calcolato P(2) e
abbiamo diviso per x-2. E soprattutto che:
Il resto della divisione è uguale a P(2)
Sarà una coincidenza???
Cambiamo il polinomio e la divisione e
scopriamo cosa succede
3
P
(
x
)


x
 6 x  2 . Si calcoli
Esercizio. Sia
P(-3) e dopo si effettui la divisione
( x 3  6 x  2) : ( x  3)
Cominciamo con P(-3):
P(3)  (3)  6  (3)  2  (27)  18  2  11
Adesso la divisione:
( x 3  6 x  2) : ( x  3)
-1
0
+6 +2
3
-3
+3
-9 +9
-1
+3
-3 +11
Q   x 2  3x  3 e R  11
Quindi
Stavolta abbiamo calcolato P(-3) e abbiamo diviso
per x+3.
Il resto della divisione è uguale a P(-3)
Che non sia una coincidenza ce lo
assicura il
TEOREMA DEL RESTO
Il resto della divisione fra un polinomio P(x)
e un binomio (x-a) è sempre P(a).
Dimostrazione. Consideriamo la divisione P(x):(x-a).
Sappiamo che vale l’uguaglianza:
Dividendo = Quoziente x Divisore + Resto.
Nel nostro caso il dividendo è P(x) e il divisore è (x-a) quindi
possiamo scrivere:
P(x) = Quoziente (x-a) + Resto

Se adesso vogliamo trovare P(a) bisogna sostituire a ad x in
tutti i termini della precedente uguaglianza. Si ottiene
quindi:
P(a)=Quoziente (a-a) + Resto
Ma a-a è ovviamente zero quindi rimane soltanto
P(a)=Resto
Che è quello che volevamo dimostrare

Immediata conseguenza del
precedente teorema è il
TEOREMA DI RUFFINI
Un polinomio P(x) è divisibile per (x-a) se e soltanto
se P(a)=0.
Dimostrazione. Un polinomio è divisibile per (x-a) se
il resto della divisione è zero.
Ma abbiamo visto che il resto è uguale a P(a).
Ne segue che il polinomio è divisibile per (x-a) solo
se P(a)=0 che è quello che volevamo dimostrare.
Possiamo quindi tornare al problema
della scomposizione di un polinomio…
Infatti dato un polinomio da scomporre, grazie a
quanto imparato fino ad ora, possiamo:
- Chiamare P(x) il polinomio
- Cercare un numero a tale che P(a)=0
- Se si trova, effettuare la divisione fra il polinomio
ed (x-a)
- La scomposizione cercata è
quoziente (x-a)
Ma c’e ancora un problema…

I numeri sono infiniti, come possiamo
trovare quel numero a tale che
P(a)=0??
Sarebbe un’impresa impossibile se non ci
venisse incontro il seguente
TEOREMA
Dato un polinomio P(x), se P(a) è uguale a zero,
allora a è un divisore del termine noto del
Polinomio.
In altre parole, dato un polinomio P(x), se
vogliamo trovare un numero a tale che P(a)=0,
dobbiamo cercarlo fra i divisori, negativi e
positivi, del termine noto.
Esempio. Sia dato il polinomio
P( x)  x  6 x  4
3
Il termine noto è 4.
I divisori di 4 sono: 1, -1, 2, -2, 4, -4.
Il teorema ci dice che gli unici numeri per cui “il P di
quel numero” può (ma non è sicuro) essere zero sono
1, -1, 2, -2, 4, -4
Osservazione importante
Dato un polinomio P(x) non è detto
che esista un numero per cui il “P di
quel numero” sia zero
Adesso siamo in grado di scomporre
un polinomio con il metodo di Ruffini
1)
2)
3)
4)
5)
Quinta tecnica: la scomposizione col metodo di
Ruffini:
Si indica il polinomio con P(x) e si scrivono tutti i
divisori del termine noto
Si “provano” i “P di quei numeri” finchè qualcuno non
è zero.
Se per nessun numero, il “P di quel numero” è zero si
scrive irriducibile
Se si trova invece un numero a tale che P(a)=0, si
effettua la divisione P(x):(x-a).
La scomposizione cercata è Quoziente (x-a)

Esempio: scomporre il polinomio
x
1)
3
 2x  4
Si indica il polinomio con P(x) e si scrivono
tutti i divisori del termine noto
P( x)   x  2 x  4
3
Divisori di +4: {1, -1, 2, -2, 4, -4}
P( x)   x  2 x  4
3
Divisori di +4: {1, -1, 2, -2, 4, -4}
2) Si “provano” i “P di quei numeri” finchè
qualcuno non è zero
3
P(1)  1  2 1  4  1  2  4  5
Non è zero. Continuiamo:
PP
((1
 (41) 
2
2)  (21) 2 22 
84414 
0 4  3
3
3
P( x )   x  2 x  4
3
a2
4) Se si trova invece un numero a tale che
P(a)=0, si effettua la divisione P(x):(x-a)
( x  2 x  4) : ( x  2)
3
-1
0
+2 +4
-1
-2
-2
-4 -4
-2 0
e R=0
2
Quindi
Q  x  2x  2
2
In conclusione…
5) La scomposizione cercata è:
Quoziente (x-a)

Quindi:
 x  2 x  4  ( x  2 x  2)( x  2)
3
2
Abbiamo scritto il polinomio iniziale come
prodotto di polinomi di grado minore.
L’abbiamo cioè scomposto
Esempio: scomporre il polinomio
x
1)
4
 26 x  3
Si indica il polinomio con P(x) e si scrivono
tutti i divisori del termine noto
P( x)  x  26 x  3
4
Divisori di -3: {1, -1, 3, -3}
P( x)  x  26 x  3
4
Divisori di -3: {1, -1, 3, -3}
2) Si “provano” i “P di quei numeri” finchè
qualcuno non è zero
4
P(1)  1  26 1  3  1  26  3  28
Non è zero. Continuiamo:
P(P
1(3
) )(31) 26
 26
 3(31) 81378
1326

0 3  24
4 4
P( x)  x  26 x  3
4
a3
4) Se si trova invece un numero a tale che
P(a)=0, si effettua la divisione P(x):(x-a)
( x  26 x  3) : ( x  3)
4
1
3
0
+3
+3
0
-26 -3
+9 +27 +3
1
+9 +1 0
3
2
Quindi Q  x  3x  9 x  1 e R=0
In conclusione…
5) La scomposizione cercata è:
Quoziente (x-a)

Quindi:
x  26 x  3  ( x  3x  9 x  1)( x  3)
4
3
2
Abbiamo scritto il polinomio iniziale come
prodotto di polinomi di grado minore.
L’abbiamo cioè scomposto
Esempio: scomporre il polinomio
3x
1)
2
 2x 1
Si indica il polinomio con P(x) e si scrivono
tutti i divisori del termine noto
P( x)  3 x  2 x  1
2
Divisori di +1: {1, -1}
P( x)  3 x  2 x  1
2
Divisori di +1: {1, -1}
2) Si “provano” i “P di quei numeri” finchè
qualcuno non è zero
2
P(1)  3 1  2 1  1  3  2  1  2
Non è zero. Continuiamo:
Non è zero e non ci sono altri divisori!
P(1)  3  (1)  2  (1)  1  3  2  1  6
2
In conclusione…
3) Se per nessun numero, il “P di quel numero” è
zero si scrive irriducibile
Quindi:
3x  2 x  1
2
E’ irriducibile!