Profssa Porretti
SCOMPORRE UN POLINOMIO
IN FATTORI SIGNIFICA
ESPRIMERLO SOTTO FORMA
DI PRODOTTO DI POLINOMI
DI GRADO INFERIORE
MA A COSA SERVE
LA
SCOMPOSIZIONE?
Il raccoglimento a fattor comune si applica quando esiste
un fattore comune a tutti i termini del polinomio.
ESEMPI:
ax + bx + cx + dx = x (a + b + c + d)
6x³y4 + 3x4y – 12x²y5 = 3x²y (2xy³ + x² - 4y4)
Il raccoglimento parziale consiste nel raggruppare a due
a due, o a tre a tre, i termini del polinomio in modo da
trovare due fattori uguali da raccogliere ancora.
ES.: ax + ay + bx + by = a(x+y)+b(x+y) = (x+y)(a+b)
Il quadrato di un binomio è uguale alla somma del quadrato
del primo termine, del quadrato del secondo termine e del
doppio prodotto del primo termine per il secondo.
(a + b)²= a²+ b²+ 2ab
Nel polinomio da scomporre si dovrà riconoscere il
quadrato del primo termine, il quadrato del secondo
termine e il doppio prodotto del primo per il secondo.
Esempio: x4y2-4x2yz3+4z6 = (x2y-2z3)2
Il quadrato di un trinomio è uguale alla somma del quadrato del
primo termine, del quadrato del secondo, del quadrato del terzo,
del doppio prodotto del primo termine per il secondo, del doppio
prodotto del secondo termine per il terzo e del doppio prodotto
del primo per il terzo termine.
(a+b+c)²= a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac
Anche in questo caso, dato il polinomio, si dovranno riconoscere
nei suoi termini, se ciò è possibile, i singoli elementi del quadrato
di un trinomio.
Esempio:
(x6+y8+ z2-2 x3 y4+ 2 x3 z- 2 y4z) = (x3-y4+ z)2
La differenza di due quadrati è uguale alla
somma delle loro basi per la loro differenza.
a²-b² = (a+b)(a-b)
Moltiplicando (a+b) per (a-b) possiamo
verificare l’esattezza di questa regola.
(a²-ab+ab-b²) e cioè: a²-b²
Il cubo di un binomio è uguale alla somma del cubo del primo
termine, del cubo del secondo termine, del triplo prodotto del
quadrato del primo termine per il secondo termine e del triplo
prodotto del quadrato del secondo termine per il primo termine.
(a+b)³= a³+b³+3a²b+3ab²
infatti:
(a+b)3 = (a+b)²(a+b) = (a²+b²+2ab)(a+b) =
= (a³+a²b+ab²+b³+2a²b+2ab²) = a³+b³+3a²b+3ab²
Dovendo scomporre un polinomio, si dovranno
individuare tra i suoi termini, se possibile, gli elementi
che compongono il cubo di un binomio.
Esempio: x6-8y3-6x4y+12x2y2 = (x2-2y)3
Si ha la seguente regola:
a³+b³ = (a+b) (a²-ab+b²)
Si può verificare l’esattezza di questa uguaglianza
moltiplicando (a+b) per (a²-ab +b²)
Si otterrà: (a³-a²b + ab²+a²b - ab²+ b³) cioè:
a3+b3
Si applica la seguente formula:
a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²)
Questa regola può essere verificata
moltiplicando (a-b) per (a²+ab+b²)
Si otterrà il seguente polinomio:
(a³ + a²b + ab² - a²b - ab² - b³) e cioè:
a3-b3
Un altro tipo di scomposizione è quella del trinomio particolare di
secondo grado del tipo ax²+bx+c.
Se a=1 basta trovare due numeri che sommati diano come risultato b
e moltiplicati diano come risultato c.
Esempio:
x²+5x+6=(x+2)(x+3)
In questo caso è possibile effettuare questo tipo di scomposizione in
quanto 3 più 2 dà come risultato 5 (il coefficiente di x) e 3
moltiplicato per 2 dà come risultato il termine noto.
Se a è diverso da 1 la scomposizione è più complessa e conviene, se è
possibile, ricorrere al raccoglimento parziale, dopo aver espresso il
temine bx come somma (o differenza) di due termini scelti
opportunamente. Ad esempio:
2x²+5x+3 = 2x²+2x+3x+3 =2x(x+1)+3(x+1) = (x+1)(2x+3)
Altrimenti si può ricorrere alla
Scomposizione del trinomio di secondo
grado con la formula risolutiva
 b  b  4ac

2a
2
x1, 2
ax²+bx+c = a(x-x1)(x-x2)
Applicando la regola di Ruffini si effettua la divisione di un
polinomio per un binomio del tipo (x-a). Se si ottiene resto 0
significa che il polinomio è divisibile per (x-a)
Come si ottiene ‘a’?
Come si può calcolare il resto prima di applicare la
regola di Ruffini?
E’ stato perciò possibile
ottenere la seguente
1 -4
1 6
scomposizione:
-1
-1 5 -6
x³-4x²+x+6 =(x+1)(x²-5x+6)
1 -5
6 0
Con il teorema del resto siamo in grado di capire se un
polinomio dato è divisibile per il binomio (x-a).
Ciò è possibile sostituendo la “a” alla x nel polinomio dato:
il risultato che si ottiene è il resto della divisione del
polinomio per il binomio (x-a).
Se il resto è = 0 il polinomio è divisibile per (x-a).
Possiamo verificare l’esattezza di questa teorema
applicandolo al polinomio della precedente diapositiva.
Sostituendo -1 a x nel polinomio x³-4x²+x+6 otteniamo:
-1-4-1+6 = 0
La scomposizione serve a risolvere le
equazioni di grado superiore al secondo
trasformandole, mediante la legge di
annullamento del prodotto, in equazioni di
primo e di secondo grado.
Serve inoltre a determinare il minimo
denominatore comune di una somma di
frazioni algebriche .
Se il polinomio ha coefficienti interi, il valore di ‘a’ può essere
trovato tra i divisori del termine noto divisi per i divisori del primo
coefficiente.
ESEMPIO: Affinché il polinomio:
-6X4-19X3+21X2+76X+12
sia divisibile per (x-a)
i possibili valori di a sono i seguenti, cioè i divisori del termine
noto:
±1,
±2,
±3,
±4,
±6,
±12
La legge di annullamento del prodotto dice
che un prodotto è uguale a zero se e solo se
uno dei fattori è uguale a zero.
a*b=0
a=0  b=0
Esempio:
Da (3x-2)(2x+1)=0 si ricava :
x= -1/2  x=2/3 e viceversa
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