SCOMPOSIZIONE
IN FATTORI PRIMI
di un polinomio
Ripassiamo i prodotti notevoli
NOME
Quadrato di un
binomio
Cubo di un
binomio
Somma per
differenza
TIPO
SVILUPPO
a2 + 2ab + b2
( a + b )2
(a+b
TRINOMIO
a3 + 3a2b +3ab2+b3
)3
QUADRINOMIO
a2 – b2
(a+b)(a–b)
BINOMIO
( a + b + c )( a + b – c )
Quadrato di un
trinomio
[(a+b)2 – c2 ] = a2 + 2ab + b2 – c
QUADRINOMIO
a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
( a + b + c )2
(a+b)(
a2
(a–b)(
a2
POLINOMIO
– ab +
b2
+ab +
b2
)
“Senza nome ”
)
a3 + b3
BINOMIO
a3 – b3
BINOMIO
2
PROSEGUIAMO
Ripassiamo i prodotti notevoli
NOME
Quadrato di un
binomio
Cubo di un
binomio
Somma per
differenza
TIPO
SVILUPPO
a2 + 2ab + b2
( a + b )2
(a+b
TRINOMIO
a3 + 3a2b +3ab2+b3
)3
QUADRINOMIO
a2 – b2
(a+b)(a–b)
BINOMIO
( a + b + c )( a + b – c )
Quadrato di un
trinomio
QUADRINOMIO
a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
( a + b + c )2
(a+b)(
a2
(a–b)(
a2
POLINOMIO
– ab +
b2
+ab +
b2
)
“Senza nome ”
3
[(a+b)2 – c2 ] = a2 + 2ab + b2 – c
)
a3 + b3
BINOMIO
a3 – b3
BINOMIO
RITORNIAMO
ALLA
DIAPOSITIVA N. 8
Come faccio a
scomporre in fattori
primi?
4
PRIMA DI TUTTO…
 Vedo se c’è da raccogliere un
fattore comune fra tutti i
monomi, cioè faccio il:
RACCOGLIMENTO TOTALE
RIASSUMENDO
5
Altrimenti…
PRIMA DI TUTTO…
 Vedo se c’è da raccogliere un
fattore comune fra tutti i
monomi, cioè faccio il:
RACCOGLIMENTO TOTALE
RIASSUMENDO
6
Altrimenti…
ALTRIMENTI
 Conto
quanti
monomi
costituiscono il polinomio ed
eventualmente
cerco
di
riconoscervi qualche prodotto
notevole
• BINOMIO
• TRINOMIO
• QUADRINOMIO
• POLINOMIO
RIASSUMENDO
7
OPPURE
ALTRIMENTI
 Conto
quanti
monomi
costituiscono il polinomio ed
eventualmente
cerco
di
riconoscervi qualche prodotto
notevole
• BINOMIO
• TRINOMIO
• QUADRINOMIO
• POLINOMIO
RIASSUMENDO
8
OPPURE
OPPURE
 faccio il raccoglimento parziale.
9
OPPURE
 faccio il raccoglimento parziale.
RIASSUMENDO
10
Raccoglimento totale
BINOMIO
TRINOMIO
Differenza di due quadrati
( a2 – b2 ) = ( a – b )( a + b )
Somma di due quadrati
NON SI PUO’ SCOMPORRE
Somma di due cubi
a3 – b3 = ( a – b )( a2 + ab + b2 )
Differenza di due cubi
a3 – b3 = ( a – b )( a2 + ab + b2 )
Raccoglimento totale
a2 + 2ab + b2 = ( a + b ) 2
Quadrato di un binomio
a2 + 2ab + b2 = ( a + b ) 2
Trinomio notevole
x2 + sx + p = (x + a )(x + b )
Se s = a + b e p = ab
Ruffini
Raccoglimento totale
Cubo di un binomio
QUADRINOMIO
a3 + b3 + 3a2b + 3ab2 = ( a + b )3
Raccoglimento parziale
Differenza di due quadrati ( di cui
uno è il quadrato di un binomio)
a2 + b2 - 2ab – x2 =(a - b)2 - x2 =
[ (a –b) + x ] [ (a –b) – x ]
Ruffini
Raccoglimento totale
POLINOMIO
11
Raccoglimento parziale
Quadrato di un trinomio
Ruffini
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = ( a + b + c )2
RACCOGLIMENTO TOTALE:
raccolgo l’ M.C.D. dei monomi
3a2b - 5a3b4 + a4b6 =
a2b ( 3 - 5ab3 + a2b5 )
RIASSUMENDO
12
RACCOGLIMENTO TOTALE:
raccolgo l’ M.C.D. dei monomi
3a2b - 5a3b4 + a4b6 =
a2b ( 3 - 5ab3 + 4a2b5 )
RIASSUMENDO
13
RACCOGLIMENTO PARZIALE
10a3b + 2xb - 5a3 – x =
5a3 ( b – 1 ) + 2x ( b - 1) =
( b – 1 )( 5a3 + 2x )
RIASSUMENDO
14
RACCOGLIMENTO PARZIALE
10a3b + 2xb - 5a3 – x =
5a3 ( b – 1 ) + 2x ( b - 1) =
( b – 1 )( 5a3 + 2x )
RIASSUMENDO
15
BINOMIO
• DIFFERENZA DI DUE QUADRATI
( a2 – b2 ) =
( a – b )( a + b )

DIFFERENZA DI CUBI
a 3 – b3 =
( a – b )( a2 + ab + b2 )
Ritorna ai prodotti notevoli
16

ATTENZIONE!!!!
La SOMMA di
due quadrati NON
si scompone
mai!!!)
SOMMA DI CUBI
a 3 + b3 =
( a + b )( a2 – ab+ b2 )
RIASSUMENDO
BINOMIO
• DIFFERENZA DI DUE QUADRATI
( a2 – b2 ) =
( a – b )( a + b )

DIFFERENZA DI CUBI
a 3 – b3 =
( a – b )( a2 + ab + b2 )
Ritorna ai prodotti notevoli
17

ATTENZIONE!!!!
La SOMMA di
due quadrati NON
si scompone
mai!!!)
SOMMA DI CUBI
a 3 + b3 =
( a + b )( a2 – ab+ b2 )
RIASSUMENDO
TRINOMIO
• QUADRATO DI UN BINOMIO
(è un trinomio formato da:
due quadrati e dal doppio prodotto delle basi)
16a4 + b2 - 8a2b =
(4a2 - b)2

TRINOMIO NOTEVOLE
( deve essere sempre del tipo :
con s = a + b e p = ab
RIASSUMENDO
Ritorna ai prodotti notevoli
18
x2 - 9x – 36 =
( x – 12 ) ( x + 3 )
x2 + sx + p
)
TRINOMIO
• QUADRATO DI UN BINOMIO
(è un trinomio formato da:
due quadrati e dal doppio prodotto delle basi)
16a4 + b2 - 8a2b =
(4a2 - b)2

TRINOMIO NOTEVOLE
( deve essere sempre del tipo :
con s = a + b e p = ab
RIASSUMENDO
Ritorna ai prodotti notevoli
19
x2 - 9x – 36 =
( x – 12 ) ( x + 3 )
x2 + sx + p
)
QUADRINOMIO

CUBO DI BINOMIO
(ci sono due cubi e due tripli prodotti di ognuna delle due basi
per il quadrato dell’altra)
a3 + b3 + 3a2b + 3ab2 =
( a + b )3

RIASSUMENDO
DIFFERENZA DI DUE QUADRATI
( di cui uno è il quadrato di un binomio)
a2 + b2 - 2ab – x2 =
(a - b)2 - x2 =
[ (a –b) + x ] [ (a –b) – x ]
Ritorna ai prodotti notevoli
20
QUADRINOMIO

CUBO DI BINOMIO
(ci sono due cubi e due tripli prodotti di ognuna delle due basi
per il quadrato dell’altra)
a3 + b3 + 3a2b + 3ab2 =
( a + b )3

RIASSUMENDO
DIFFERENZA DI DUE QUADRATI
( di cui uno è il quadrato di un binomio)
a2 + b2 - 2ab – x2 =
(a - b)2 - x2 =
[ (a –b) + x ] [ (a –b) – x ]
Ritorna ai prodotti notevoli
21
POLINOMIO
QUADRATO DI TRINOMIO
(tre quadrati e tre doppi prodotti di ciascuna delle basi per le altre)
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc =
( a + b + c )2
Se non fosse possibile scomporre il polinomio con uno dei metodi
precedenti, allora si può provare ad usare la:
REGOLA DI RUFFINI
Ritorna ai prodotti notevoli
22
RIASSUMENDO
POLINOMIO
QUADRATO DI TRINOMIO
(tre quadrati e tre doppi prodotti di ciascuna delle basi per le altre)
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc =
( a + b + c )2
Se non fosse possibile scomporre il polinomio con uno dei metodi
precedenti, allora si può provare ad usare la:
REGOLA DI RUFFINI
Ritorna ai prodotti notevoli
23
RIASSUMENDO
REGOLA DI RUFFINI
x5 – 10x – 12
Cerco i possibili zeri interi del polinomio tra i divisori del termine noto
DIV(12)={±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12} e calcolo il valore del polinomio per ciascuno fino a
trovare il valore che annulla (cioè lo zero). In questo caso P(2)=32-20-12=0
1 0 0 0 -10
2
2
4
8
1 2 4 8
1^ scomposizione
24
-12
16
12
6
0
( x – 2 ) ( x4 + 2x3 +4x2 +8x + 6 )
Si può poi proseguire a scomporre, se necessario…
M.C.D. fra polinomi
L’ M.C.D. fra due o più polinomi è costituito
SOLO dai fattori COMUNI, presi una sola
volta con il minimo esponente
Pertanto bisogna scomporre in fattori primi i
monomi che compongono il polinomio e
poi calcolare l’ M.C.D.
25
26