PROBLEMA
Sara ha bisogno di sapere da Andrea
quali sono i capitoli di Filosofia da
ripassare per il giorno dopo. Andrea
le risponde con il seguente
messaggio:”I capitoli da ripassare
corrispondono ai due numeri che
annullano il polinomio x2-3x+2”.
Quali capitoli ripasserà Sara?
SCOMPOSIZIONE IN
FATTORI PRIMI
di un polinomio
Come farò a
scomporre in
fattori
primi?
METODI PER SCOMPORRE UN
POLINOMIO
Polinomio
Raccoglimento
totale
Raccoglimento parziale
Prodotti notevoli
Teorema e regola di
Ruffini
Trinomio particolare
Per parti
Quadrato di
binomio
Differenza di due
quadrati
Somma di due
cubi
Differenza di due
cubi
Cubo di
binomio
Quadrato di un
trinomio
SOLUZIONE PROBLEMA
Il polinomio x2-3x+2 è un trinomio
particolare che può essere scritto
come (x-1)(x-2). Per la legge di
annullamento del prodotto, questo si
annulla quando x-1=0 oppure quando
x-2=0, cioè per x=1 o x=2. I numeri
che annullano il polinomio sono 1 e 2.
Sara ripasserà il primo e secondo
capitolo di Filosofia.
fine
RIDUCIBILE O IRRIDUCIBILE ?
• Un polinomio in una o più variabili è
riducibile quando può essere
scomposto nel prodotto di polinomi,
tutti di grado minore.
• Un polinomio non riducibile si chiama
irriducibile.
RIPASSIAMO I PRODOTTI
NOTEVOLI
NOME
TIPO
Quadrato di un
binomio
( a + b )2
Cubo di un
binomio
( a + b )3
Somma per
differenza
Quadrato di un
trinomio
Binomio per
trinomio
particolare
( a + b ) ( a – b )
( a + b + c )( a + b – c )
( a + b + c )2
SVILUPPO
a2 + 2ab + b2
a3 + 3a2b +3ab2+b3
a2 – b2
[(a+b)2 – c2 ] = a2 + 2ab + b2 – c2
a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
( a + b ) ( a2 – ab + b2 )
a3 + b3
( a – b ) ( a2 + ab + b2 )
a3 – b3
RACCOGLIMENTO TOTALE:
raccolgo il M.C.D. dei monomi
3a2b - 5a3b4 + a4b6 =
a2b ( 3 - 5ab3 + 4a2b5 )
RACCOGLIMENTO PARZIALE
10a3b + 2xb - 5a3 – x =
5a3 ( b – 1 ) + 2x ( b - 1) =
( b – 1 )( 5a3 + 2x)
DIFFERENZA DI DUE
QUADRATI
( a2 – b2 ) =
( a – b )( a + b )
QUADRATO DI BINOMIO
(è un trinomio formato da:
due quadrati e dal doppio prodotto delle basi)
16a4 + b2 – 8a2b =
(4a2 - b)2
QUADRATO DI TRINOMIO
(tre quadrati e tre doppi prodotti di
ciascuna delle basi per le altre)
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc =
( a + b + c )2
TRINOMIO PARTICOLARE
( deve essere sempre del tipo : x2 + sx + p
con s = a + b e p = ab)
x2 - 9x – 36 =
( x – 12 ) ( x + 3 )
SOMMA DI CUBI
a3 + b3 =
( a + b ) (a2 – ab + b2 )
DIFFERENZA DI CUBI
a3 – b3 =
( a - b ) (a2 + ab + b2 )
TEOREMA DI RUFFINI
x5 – 10x – 12 =
Ricerca gli zeri del polinomio tra i divisori del termine noto:
 1;  2;  3;  4;  6;  12
P(+1)= 1 -10 -12= -21
P(-1)= -1 +10 -12= -3
P(+2)= 32 -20 -12=0
P(-2)=………
Il polinomio è divisibile per x-2
REGOLA DI RUFFINI
x5 – 10x – 12 =
1 0 0 0 -10
2
2
4
8
1 2 4 8
-12
16
12
6
0
= ( x – 2 ) ( x4 + 2x3 +4x2 +8x + 6 )
SCOMPOSIZIONE PER PARTI
a2 + b2 - 2ab – x2 =
(a - b)2 – x2 =
[ (a – b) + x ] [ (a – b) – x]
CUBO DI BINOMIO
(ci sono due cubi e due tripli prodotti di
ognuna delle due basi per il quadrato dell’altra)
a3 + b3 + 3a2b + 3ab2 =
( a + b )3