STUDIO DEL SEGNO DI UN TRINOMIO DI SECONDO GRADO Consideriamo il trinomio di secondo grado in forma normale: !! ! + !" + ! !"# !, !, ! ∈ ! ! ! ≠ 0 Ci proponiamo di studiare come varia il segno di questo trinomio al variare della variabile x. In altre parole vogliamo vedere: • per quali valori della x il trinomio assume valori positivi • per quali valori della x il trinomio assume valori negativi • per quali valori della x il trinomio si annulla (cioè vale zero) Per fare questo consideriamo l’equazione associata ottenuta uguagliando a zero il trinomio dato: !! ! + !" + ! = 0 Calcoliamo il discriminante di questa equazione: ∆= ! ! − 4 ∙ ! ∙ ! Vi sono tre possibilità: 1. Δ > 0 l’equazione ha due radici (soluzioni) x1 e x2 una diversa dall’altra 2. Δ = 0 l’equazione ha una sola radice (soluzione) x1 3. Δ < 0 l’equazione non ha nessuna radice (soluzione) A questo punto possiamo dire che il trinomio di secondo grado: !! ! + !" + !, quando è: 1. Δ > 0, assume valori di segno concorde al suo primo coefficiente a, per tutti e soli i valori della x esterni all’intervallo che ha per estremi le sue due radici x1 e x2, mentre assume valori di segno contrario ad a per tutti e soli i valori della x interni a detto intervallo. Naturalmente per x = x1 e per x = x2 il trinomio si annulla, cioè è uguale a zero 2. Δ = 0, assume valori di segno concorde al suo primo coefficiente a, per tutti i valori della x ad eccezione di x = x1 per il quale il trinomio si annulla, cioè è uguale a zero 3. Δ = 0, assume sempre valori di segno concorde al suo primo coefficiente a e non si annulla mai Esempio n. 1 Determinare il segno del trinomio di secondo grado: ! ! + 3! + 2 Consideriamo l’equazione associata ottenuta uguagliando a zero il trinomio dato: ! ! + 3! + 2 = 0 I coefficienti dell’equazione sono: ! = +1
! = +3 ! = +2
Calcoliamo il discriminante dell’equazione: ∆= ! ! − 4 ∙ ! ∙ ! = +3 ! − 4 ∙ +1 ∙ +2 = +9 − 8 = +1 Poiché Δ è maggiore di zero, l’equazione ha due radici, una diversa dall’altra, che troviamo con la seguente formula: −! ± ! ! − 4!"
− +3 ± 1
−3 ± 1
!=
= = 2!
2 ∙ +1
2
quindi: −3 + 1
−2
!! =
= = −1 2
+2
−3 − 1
−4
!! =
= = −2 2
+2
Il trinomio sarà positivo nell’intervallo: −∞; −2 e nell’intervallo: −1; +∞ mentre sarà negativo nell’intervallo: −2; −1 Questa è la rappresentazione grafica: -­‐1 -­‐2