LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
Un trinomio di secondo grado ax2 + bx + c , funzione della variabile x, assume
valori diversi al variare di x in R: per alcuni valori di x è positivo, per altri è
negativo, e assume valore zero (0) in corrispondenza delle soluzioni
dell’equazione ax2 + bx + c = 0.
Per esempio, del trinomio x2 - 3x - 4 , che si scompone nel prodotto (x+1)(x-4),
possiamo dire che
Si annulla per x = - 1 e per x = 4
È positivo per x < - 1 e per x > 4
È negativo per - 1 < x < 4
Studiare il segno del trinomio è utile per risolvere disequazioni di
secondo grado specialmente nel caso in cui il trinomio non è
scomponibile.
Per affrontare questo problema introduciamo una conica, la
parabola, la sua equazione canonica e la sua rappresentazione
nel piano cartesiano.
Ad ogni funzione della forma y=f(x), si può associare un grafico
nel piano cartesiano.
I puntI dI IntersezIone dI tale grafIco con l’asse delle ascIsse sono
particolarmente importanti e prendono il nome di zeri della
funzione.
l’Importanza dI questI puntI è legata al fatto che “separano” le
partI dI grafIco che sI trovano al dI sopra dell’asse delle ascIsse
da quelle che trovano al di sotto.
Ad esempio se il grafico in figura rappresenta il guadagno di una azienda
(sull’asse delle y) al variare delle vendite (sull’asse delle ascisse). L’intervallo
colorato di rosso rappresenta una zona di guadagno, quello di verde una zona
di perdita mentre i punti di intersezione del grafico con l’asse delle x sono i
punti a guadagno zero e segnano il confine fra l’attivo e il passivo dell’azienda.
Gli zeri di una funzione y = f(x) sono i punti che hanno ordinata nulla e si
possono facilmente calcolare risolvendo l’equazione f(x)=0
ESEMPI
Rappresentiamo graficamente le seguenti funzioni e determiniamone gli zeri
x + 2y - 4 = 4
si tratta di una retta il cui grafico è rappresentato in figura; per trovare gli zeri di
questa funzione esplicitiamo la sua equazione rispetto a y:
y = 2 - ½ x e risolviamo l’equazione 2 - ½ x = 0 da cui x = 4
2)
y = 2x2 + 5x + 2
si tratta di una parabola di vertice C = (-5/4 , -9/8 ) il cui grafico è riportato in
figura; i suoi zeri si determinano risolvendo l’equazione 2x2 + 5x + 2 = 0 da cui
x = - 2 e x = - 1/2
3) y=x2+2x+3
la parabola ha vertice A = (-1,2) ed il suo grafico è in figura. Osservando il
disegno possiamo dedurre che la funzione non ha zeri; infatti risolvendo
l’equazione x2 + 2x + 3 = 0 si ottiene x = - 1 ± √1-3 = -1±√-2.
l’equazione non ha soluzioni reali e
quindi la parabola non interseca l’asse delle
ascisse.
COME DISEGNARE UNA PARABOLA
Ricordiamo che la parabola è il luogo geometrico dei punti del piano
equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta assegnata detta
direttrice. Poiché noi ci occuperemo solamente di parabole che hanno la
direttrice parallela all’asse delle ascisse la loro equazione è del tipo
y = ax2 + bx + c con a,b,c є R, per disegnare una parabola di questo tipo ci
occorre conoscere il vertice di tale conica e le sue intersezioni con l’asse delle
ascisse. Sappiamo che le intersezioni con l’asse delle ascisse si calcolano
risolvendo l’equazione ax2+bx+c = 0, mentre per calcolare le coordinate del
vertice dobbiamo ricordare le seguenti formule: Vx = -b/2a , Vy = -∆/4a . la
conoscenza delle coordinate di questi tre punti ci permette di disegnare la
conica nel piano cartesiano.
ESEMPI
Vogliamo rappresentare nel piano cartesiano la parabola di equazione
y = x2 + 4x + 1.
In questo caso abbiamo a = 1, b = 4, c = 1 , per cui ∆ = 16 – 4 = 12
Ricordando le formule relative alle coordinate del vertice V = ( b/2a , -∆/4a )
otteniamo V = (-4/2, - 12/4 ) = (- 2, - 3 )
E risolvendo l’equazione x2+4x+1 = 0 si ottiene
x1 = - 0,27
x1,2 = - 4 ± √∆ / 2 = - 4 ± √ 12 / 2 =
x2 = - 3,73
da cui otteniamo la seguente figura