LE CUBICHE
Anna Iavarone
Liceo Classico Europeo Umberto I
gennaio 2008
Abbiamo dimostrato che le uguaglianze di primo grado del tipo
sono rese vere da tutte e sole le coppie di numeri reali che
disposti graficamente rappresentano delle rette
Esempio:
Abbiamo anche dimostrato che uguaglianze di secondo grado
del tipo
y  ax 2  bx  c
sono rese vere da tutte e sole le coppie di numeri reali che
disposti graficamente rappresentano delle parabole
Esempio:
Se i due punti di intersezione con l’asse delle ascisse coincidono,
la parabola risulta essere tangente appunto all’asse delle ascisse.
Esempio:
Ci chiediamo come si dispongono i punti le cui coordinate
rendono vera un’uguaglianza di terzo grado del tipo :
y  ax  bx  cx  d
3
2
Iniziamo con il considerare la più semplice cubica possibile, cioè
y  x3
Una possibile e parziale tabella delle coordinate che la verificano è data da:
x
0
1
-1
2
-2
3
-3
y
0
1
-1
8
-8
27
-27
Rappresentando questi punti (e infiniti altri, intermedi e oltre) otteniamo
il seguente grafico:
L’equazione x  0
ammette tre soluzioni coincidenti
3
x1  x2  x3  0
che determinano in corrispondenza
dell’origine un punto di “flesso” in
cui la curva cambia di concavità.
La curva ottenuta presenta molte analogie con la retta
elementare di equazione
yx
Entrambe sono simmetriche rispetto all’origine;
Entrambe sono curve crescenti avendo il primo coefficiente
positivo
Entrambe sono negative prima dell’origine e positive dopo
l’origine
Entrambe si annullano nell’origine, ma mentre la retta presenta
per x  0 una sola soluzione (e quindi una semplice
intersezione) la cubica presenta per x  0 una soluzione tripla e
quindi un flesso
Possiamo pensare che le cubiche abbiano un andamento “globale”
assimilabile a quello delle rette.
Le tre soluzioni che nella cubica di base y  x 3 coincidono nello stesso
punto, possono essere anche distribuite in modo diverso; ad esempio
possiamo avere due soluzioni coincidenti e una terza soluzione diversa.
In questo esempio l’equazione x 2 ( x  3)  0 presenta una soluzione
doppia nell’origine x1  x2  0 che è quindi un punto di tangenza, e una
soluzione semplice in x3  3 che è quindi una normale intersezione.
Possiamo anche avere tutte intersezioni diverse.
In questo esempio l’equazione ( x  1)( x  1)( x  2)  0 presenta tutte
soluzioni semplici: x1  1 x2  1 , e x3  2 che quindi sono normali
intersezioni.
Possiamo anche osservare che la funzione è positiva per  2  x  1
oppure per x  1 .