Rappresentazione delle Quadriche
Ellissoide
Superficie data dall'equazione ridotta:
x2 y2 z 2
 2  2 1
2
a
b
c
I numeri a, b, c si chiamano semiassi dell'ellissoide
Se intersechiamo l'ellissoide con il
piano z = h otteniamo
x2 y2
h2
 2  1 2
2
a
b
c
Si tratta di una ellisse (a punti reali)
se
h 2 / c 2  1 , ossia  c  h  c
In modo analogo si ragiona per piani
del tipo x = h ; y = h
Rappresentazione delle Quadriche
Ellissoide di Rotazione
Se due dei semiassi sono uguali, l’ellissoide è una superficie di rotazione attorno a uno degli
assi. Ad esempio se a = b l'equazione diventa:
x2  y2 z 2
 2 1
2
a
c
z
y
x
Rappresentazione delle Quadriche
Sfera
Se a = b = c = r si ottiene l’equazione di una sfera:
x2  y 2  z 2  r 2
z
y
x
Rappresentazione delle Quadriche
Paraboloide Ellittico
Superficie data dall'equazione ridotta:
L’intersezione del paraboloide con i
piani x = h sono parabole con asse
parallelo all’asse z,analogamente con i
piani y = h.
L’intersezione del paraboloide con i
piani z = h sono ellissi.
Se a = b si ottiene un paraboloide di
rotazione di equazione:
x2  y2
z
a2
Paraboloide rotondo
x2 y2
z 2  2
a
b
Rappresentazione delle Quadriche
Paraboloide rotondo
Se a = b si ottiene un paraboloide di rotazione di equazione:
L’intersezione del paraboloide con i
piani x = h sono parabole con asse
parallelo all’asse z,analogamente con i
piani y = h.
L’intersezione del paraboloide con i
piani z = h sono cerchi.
x2  y2
z
a2
Rappresentazione delle Quadriche
Parabolidi del tipo:
z   (x2  y 2 )
α=2
α=1
α = 1/2
α = 1/10
Rappresentazione delle Quadriche
Paraboloide Iperbolico (Paraboloide a sella)
Superficie data dall'equazione ridotta:
Le intersezioni con i piani x = h, y = h
sono parabole con asse parallelo
all’asse z le prime con concavità rivolta
verso l’alto le seconde con concavità
rivolta verso il basso
Le intersezioni con i piani z = h sono
iperboli
h > 0 asse traverso // x
H < 0 asse traverso // y
x2 y2
z 2  2
a
b
Rappresentazione delle Quadriche
Cono Ellittico:
Superficie data dall'equazione ridotta:
x2 y2 z 2
 2  2 0
2
a
b
c
x2 y2
z
 2
2
a1 b1
Le intersezioni con i piani z = h sono
degli ellissi.
Se a = b
Cono Rotondo:
Le intersezioni con i piani z = h sono delle
circonferenze
x2  y2  r 2
Rappresentazione delle Quadriche
Iperboloide a una falda
Superficie data dall'equazione ridotta:
x2 y2 z 2
 2  2 1
2
a
b
c
Le intersezioni con i piani z = h sono degli
ellissi.
Le intersezioni con i piani x = h, y = h sono
delle iperboli, queste sono equilatere se:
•b = c per i piani x = h
•a = c per i piani y = h
a = b Iperboloide di rotazione a una falda
Le intersezioni con i piani z = h sono
circonferenze
x2  y2  r 2
Rappresentazione delle Quadriche
Iperboloide a due falde
Superficie data dall'equazione ridotta:
Le intersezioni con i piani z = h, x = h
sono iperboli.
Le intersezioni con i piani y = h,
ellissi:
a = b Iperboloide di rotazione
Le intersezioni con i piani y = h sono
circonferenze
x2 y2 z 2
 2  2  2 1
a
b
c
Rappresentazione delle Quadriche
z
Iperboloide a due falde
Superficie data dall'equazione ridotta:
x2 y2 z 2
 2  2  2 1
a
b
c
(0,0,c)
Le intersezioni con i piani x = h, y = h sono
iperboli.
Le intersezioni con i piani z = h, ellissi, le
quali esistono solo per h2/c2 > 1
• a = b Iperboloide di rotazione
Le intersezioni con i piani z = h sono
circonferenze
y
x
(0,0,-c)
Rappresentazione delle Quadriche
Cilindro ellittico
z
Superficie data dall'equazione ridotta:
x2 y2
 2 1
2
a
b
Le intersezioni con i piani z = h sono degli
ellissi.
a = b Cilindro di rivoluzione (Rotondo)
Le intersezioni con i piani z = h sono
circonferenze
x2  y2  r 2
y
x
Rappresentazione delle Quadriche
Cilindro Parabolico
Superficie data dall'equazione ridotta:
x2
y 2
a
Rappresentazione delle Quadriche
2
z
y 2
c
Cilindro Parabolico
z2
x 2
c