LA CIRCONFERENZA
x2  y 2  ax  by  c  0
1
ARGOMENTI TRATTATI
1.
Le equazioni della circonferenza
2.
Questioni basilari
3.
Questioni relative alle rette tangenti
4.
Curve deducibili dalla circonferenza
5.
Disposizione di due circonferenze nel piano
6. Discussione di sistemi di 2° grado con parametro
2
LE EQUAZIONI DELLA CIRCONFERENZA
Definizione Si dice circonferenza C di centro C e raggio r, il luogo geometrico dei punti P del piano 
aventi da C distanza uguale ad r.
Da questa definizione, ponendoci in un riferimento cartesiano, possiamo ricavare l’equazione della
circonferenza, o rappresentazione analitica.
Iinfatti, se il centro C ha le coordinate C(;) e un generico punto P della C , le coordinate P(x;y), si ha:
CP  r

x  α 2  y  β 2
x  α 2  y  β 2  r 2
r

equazione cartesiana .
 Sviluppand o si ottiene : x 2   2  2x  y 2   2  2y  r 2 ,
e se si pone
si ottiene :
  - a 2
a  -2


b

-2

(1)
,
o
anche
(2),

  - b 2
 2

2
2
r   2   2  c
    r  c
x 2  y 2  ax  by  c  0
equazione normale .
• Moltiplicando i due membri dell’equazione normale per una costante arbitraria k  0 si ha:
kx2 + ky2 + kax + kby + kc = 0
equazione generale .
3
• Se il centro C(;) coincide con l’origine O(0;0) del riferimento cartesiano, cioè  = 0 e  =0 ,
l’equazione normale diventa:
x 2  y 2  ax  by  c  0


a  2α ; a  0
b  2β ; b  0

x 2  y2  c  0
equazione canonica .
Osserviamo inoltre che c   r 2 ( c   2   2  r 2 ) ,
quindi l' equazione canonica si può scrivere anche :
x 2  y2  r 2 .
Osservazioni sulle equazioni normale e generale:
1. manca in esse il termine rettangolare in xy;
2. i coefficienti dei due quadrati x2 e y2 sono uguali (uguali a 1 nella normale);
3. premesso che dall’equazione generale si passa immediatamente a quella normale dividendo entrambi
i membri per k  0, se è nota l’equazione normale x2 + y2 + ax + by + c = 0 , allora, dal sistema (2), si
determinano prontamente le coordinate del centro C e il raggio r della circonferenza:
Cα; β 
con
a

α   2

β   b

2
;
r  α2  β2  c 
a 2 b2

c
4
4
4
4.
non è detto che per ogni scelta dei coefficienti a, b, c, l’equazione normale rappresenti una
circonferenza. Dall’espressione del raggio, scritta nel sistema (2), si hanno infatti i seguenti casi:
2 + 2 – c = a2/4 + b2/4 – c
 0




 0



 0

l’equazione normale non rappresenta alcuna circonferenza
reale ( r immaginario );
l’equazione normale rappresenta una circonferenza (degenere)
di raggio nullo, ridotta cioè al solo centro C;
l’equazione normale rappresenta una circonferenza reale.
5. circonferenze particolari:
5
Considerazioni sul caso ‘c = 0’.
Se c = 0 , il grafico della curva passa per
l’origine perché l’equazione diventa
x2 + y2 + ax + by = 0 ,
quindi una delle infinite soluzioni è sempre la
coppia di numeri x = 0 e y = 0 , cioè il
punto O(0 ; 0) .
6
QUESTIONI BASILARI
1.
Verifica se le equazioni date rappresentano circonferenze reali; in caso affermativo determinane
centro e raggio.
a. x2 + y2 = 4 ;
a = 0; b = 0; c = - 4 ; a2/4 + b2/4 – c = 4  si,
l’equazione data rappresenta una circonferenza reale
di centro C( ; ) = C(-a/2 ; -b/2) = C(0;0)
e di raggio r = 2.
b. x2 + y2 + 9 = 0 ;
a = 0; b = 0; c = 9;
a2/4 + b2/4 – c = - 9  no,
l’equazione data non rappresenta una circonferenza reale,
bensì immaginaria.
c. x2 + 2y2 + x + 3y - 5 = 0 ;
non è l’equazione di una circonferenza perché
i coefficienti dei termini di secondo grado,
x2 e y2, sono diversi (si tratta di un’ellisse).
7
2. Determina per quali valori del parametro reale k l’equazione
rappresenta una circonferenza.
Ricaviamo l' equazione normale :
3x 2  3y 2  6k  1x  27  0
3x2 + 3y2 – 6(k-1)x + 27 = 0

x 2  y 2  2k  1x  9  0 .
Affinchè l' equazione data rappresent i una circonferenza si deve verificare che
a 2 4  b 2 4  c  0 , cioè
k - 12  9  0 ;
k 2 - 2k - 8  0 ,
verif icata per k  -2  k  4 .
In particolare per k  -2 e per k  4 la circonferenza è degenere (r  0), e si riduce ai punti
C1 (-3;0) , per k  -2 , e C 2 (3;0) , per k  4.
x  3
verific ata solo per 
y  0
x  3
2
x 2  y 2  6 x  9  0  x  3  y 2  0 , verific ata solo per 
y  0
per k  -2  x 2  y 2  6 x  9  0 
Infatti si ha :
per k  4

x  32  y 2  0 ,
8
3. PROBLEMA RICORRENTE:
determinare l’equazione di una circonferenza.
Facendo riferimento all’equazione normale, determinare l’equaz. di una circ. significa determinare
i tre coefficienti a, b, c. Pertanto il problema deve fornire tre condizioni tra loro indipendenti, da
cui ricavare tre equazioni indipendenti.
3.a Scrivi l’equazione della circonferenza di centro C(-2; 1/2) e raggio r = 1.
a  2 ;

b  2 ;

2
2
2
c  α  β  r ;
x  22  y  1 22  1
a   2  (2)  4
b  2  (1/2)  1
c  4  1/4  1  13/4

13
0
4
4x 2  4y 2  16x  4y  13  0
x 2  y 2  4x  y 
equazione cartesiana
equazione normale
equazione generale .
3.b Scrivi l’equazione della circonferenza passante per i punti A(0 ; -2), B(0 ; 6), C(8 ; 0).
Dall' equazione normale x 2  y 2  ax  by  c  0

a  13 2

b   4
c  12

4  2 b  c  0

si ha : 36  6b  c  0
64  8a  c  0

13
x  4 y  12  0
2
2x 2  2 y 2  13x  8y  24  0
x 2  y2 

x - 13 42  y  22  425 16
passaggio per A
passaggio per B 
passaggio per C
equaz. normale;
equaz. generale;
equaz. cartesiana.
9
3.c Scrivi l’equazione della circonf. avente per diametro il segmento di estremi A(-3 ; 1) e B(2 ; 5).
Coordinate del centro : C(-1/2, 3),
raggio : r 
a  2  1

quindi b  2  -6

2
2
2
c     - r  1/4  9 - 41/4  -1
1
2
 3  22  1  52


41
;
2
x 2  y 2  x  6 y  1  0.
3.d Scrivi l’equazione della circonferenza passante per i punti A(1 ; 2) e B(3 ; 4) e avente il centro
sulla retta t di equazione x – 3y – 1 = 0 .
1 metodo
1  4  a  2b  c  0

9  16  3a  4b  c  0
 a 2  3 b 2  1  0

a  8

 b   2

c  7

passaggio della circonf. per A
passaggio della circonf. per B
passaggio retta t per C- a 2 ;  b 2
x 2  y 2  8x  2 y  7  0
a  2b  c  5

 3a  4b  c   25 
a  3b  2

equaz. normale.
10
2 metodo
Si determinan o le coordinate del centro C;  
dall' intersezione della retta t con l' asse della corda AB,
quindi si trova il raggio, da cui c   2   2  r 2 .
Deter min o l' equaz . dell' asse di AB, y  mx  q :
m-
1
,
m'
con
m' 
yA  yB 2  4

 1;
xA  xB 1 3
m  -1;
l' asse passa per il punto medio di AB, M(2;3) ,
quindi : y - 3  -(x - 2)  x  y - 5  0 .
x - 3y - 1  0
x  4
  4 ; a  -8 ;
Trovo C( ; ) : 
 
 
x  y - 5  0
y  1
  1 ; b  -2 ;
Trovo il raggio r  CA 
4  12  1  22
quindi c  16  1 - 10  7 
 10 ,
x 2  y 2  8x  2 y  7  0.
3.e Determina per quali valori del parametro reale k la circonferenza di equazione
x2 + y2 – 2(k – 1)x + 2ky + k – 4 = 0
a. passa per P(1;-2) :
1  4 - 2k - 1  4k  k  4  0 ; k  3 5 ;
k  0
2
r 2  a 2 4  b 2 4  c ; 5  k - 1  k 2  k  4 ; 2k 2  3k  0 ;  1
k 2  3 2
α  - a 2 ; α  k - 1
c. il centro appartiene alla retta x  y : 
 k - 1  -k ; k  1 2 .
β  - b 2 ; β  -k
b. ha raggio r  5 :
11
QUESTIONI RELATIVE ALLE RETTE TANGENTI
Analizziamo questi due problemi:
1.
2.
determinare le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza, condotte da un punto di note coordinate;
determinare l’equazione della circonferenza tangente ad una retta di nota equazione.
1.
Rette tangenti ad una conica condotte da un punto P
Questi problemi si possono sempre trattare in generale con il metodo del discriminante nullo, ma
esistono anche con altri accorgimenti che, relativamente alla questione in esame, possono semplificare i
calcoli.
In particolare per la circonferenza conviene applicare
a) il metodo delle formule di sdoppiamento se il punto P appartiene alla circonferenza
b) il metodo della distanza retta-centro uguale al raggio, se il punto P non appartiene alla circonf.
12
Le formule di sdoppiamento
Data l’equazione di una conica C , espressa in forma normale
ax 2  bxy  cy 2  dx  ey  f  0
e un punto P(xP ; yP) appartenente alla C, sostituendo alle variabili x e y dell’equazione della C le seguenti
espressioni, si ottiene l’equazione della retta tangente alla C nel punto P:
x  xP

;
x 2  xx P ;
x 
2

y  yP

;
y 2  yy P ;
y 
2

xPy  y Px

;
xy 
2


fatta la sostituzio ne si ottiene l' equazione della retta tangente .
13
ESEMPI
1.
Determina le equazioni delle rette tangenti alla
circonferenza di equazione x2 + y2 - 2x - 6y - 10 = 0 ,
condotte dal punto P(5 ; 5).
Verifico se P appartiene alla circonf.:
25 + 25 – 10 – 30 – 10 = 0  P appartiene alla circ.
Metodo del Discriminante nullo
x 2  y 2  2x  6y  10  0

 y  5  m(x  5) ; y  mx  5m  5
 ...
Δ
 4m 2  16m  16  0 ; m 2  4m  4  0 ;
4
Retta tangente in P : y  2x  15 .
1  m  x
2
2


 2 5m 2  2m  1 x  25m 2  20m  15  0 ;
m  22  0 ;
m  2 .
Metodo ‘a’
P5 ; 5
x 2  y 2  2 x  6 y  10  0
applico le formule di sdoppiamen to  5x  5y - x  5  3y  5  10  0 ;
4x  2y  30  0 ; retta tangente  : y  2x  15 .
14
2. Determina le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di equazione x 2 + y2 - 2x = 0 , condotte
dal
punto P(9/4 ; 0).
Verifico se P appartiene alla circonf.: 81/16 – 9/2  0  P non appartiene alla circonf., quindi posso
avere due soluzioni, se P è esterno, nessuna soluzione, se P è interno alla circonferenza.
Metodo del Discriminante nullo
x 2  y 2  2x  0

 y  m(x  9/4)




 ... 16 1  m 2 x 2  72m2  32 x  81m2  0 ;
Rette tangenti in P : y 
4
x  3;
3
Δ
4
 144m2  256  0 ; m1,2   .
4
3
4
y   x  3.
3
15
Metodo ‘ b’
• Determino le coordinate del centro C e il raggio r :
C(1;0) ; r = 1.
• Scrivo l’equazione del fascio di rette di centro P
in forma implicita: 4mx – 4y – 9m = 0.
• Impongo che la distanza fra le rette del fascio e il centro C
sia uguale al raggio r :
4m1  40  9m
16m  16
1 ;
 5m
 1 ; - 5m  16m 2  16 ;
16m  16
16
4
25m 2  16m 2  16 ; m 2 
; m1,2   .
9
3
4
4
Rette tangenti in P : y  x  3 ; y   x  3 .
3
3
2
2
16
2. Circonferenza tangente ad una retta di nota equazione
Esempi
1. Determina l’equazione della circonferenza passante per i punti A(1;4) e B(5;0) e tangente alla retta di
equazione y = – x + 1 .
1  16  a  4b  c  0
25  5a  c  0



x 2  y 2  ax  by  c  0

 y   x  1
passaggio della circonf. per A1 ; 4 
passaggio della circonf. per B5; 0 
0
condizione di tangenza
a  4b  c  17

 5a  c   25  c  5a  25
  0

 a  4b  c  17
dalla combinazio ne lineare delle prime due equaz. si ha : 
 c   25
5a
 4a  4b
 8
 a b  2 ; b  a 2
Ricavo la condizione di tangenza :
x 2  y 2  ax  by  c  0
2
 x 2   x  1  ax  a  2  x  1   5a  25  0

y  x  1
a  6
a  6



... x 2  2 x  2a  11  0 ;
 1  2a  11  0 ; a  6  b  a  2
; b  4  x 2  y 2  6 x  4 y  5  0 .
4
c  5a  25 c  5
equazione della circonferenza


17
Traccio il grafico.
Dall’equazione x2 + y2 - 6x - 4y + 5 = 0
si ricavano le coordinate del centro C(3; 2).
18
2. Determina l’equazione della circonferenza di centro C(-2 ; -3) e tangente alla retta di equazione y = 3x -1 .
Trovo il raggio della circonferenza, sapendo che coincide con la distanza del centro C dalla retta tangente:
scrivo l' equazione della retta in forma implicita :
3x  y  1  0 ;
applico la formula della distanza ' punto - retta':
3 2  1 3  1
4
,
10
10
quindi l' equazione cartesiana della circonferenza è :
x  22  y  32  8 .
5
r
; r
Scrivo l' equazione in forma normale :
a  4

b  6
c  4  9  8/5 ; c  57/5

57
x 2  y 2  4x  6y 
0 .
5

19
CURVE DEDUCIBILI DALLA CIRCONFERENZA
Esplicitando l’equazione di secondo grado x2 + y2 + ax + by + c = 0 rispetto alla variabile y e rispetto
alla variabile x , si ottengono quattro equazioni, che sono rappresentate graficamente da altrettante
semicirconf.
y  1 - x 2
a) 
y  0
1.
x2  y 2  1

y  - 1 - x 2
b) 
y  0
x  1 - y 2
c) 
x  0
x   1 - y 2
d) 
x  0
20
Esempi.
Rappresenta graficamente le curve descritte dalle equazioni indicate.
1. y  2  9 - x 2 ;

y - 22 

 y  2  0
questa equazione equivale al sistema
 9-x 
2
2
x 2  y 2  4y  5  0
 
y  2
dove x 2  y 2  4y  5  0 è l' equazione di una
circonferenza di centro C(0 ; 2) e raggio r  3 ,
y  2 è il semipiano che si trova " sopra" la retta y  2 ,
compresi i punti di ordionata y  2 .
2. x  2   y 2  8y  7 ;
questa equazione equivale al sistema
2

2
x 2  y 2  4 x  8y  11  0
x  2    y 2  8y  7 

  

x  2
x  2  0

dove x 2  y 2  4 x  8 y  11  0 è l' equazione di una
circonfere nza di centro C(-2 ; 4) e raggio r  3 ,
x  2 è il semipiano che si trova " a destra" della retta x  2 ,
compresi i punti di ascissa x   2 .
21
DISPOSIZIONE DI DUE CIRCONFERENZE NEL PIANO
Due circonferenze di equazione x2 + y2 + ax + by + c = 0 e x2 + y2 + a’x + b’y + c’ = 0 possono
presentare nel piano le seguenti disposizioni:
Determinazione degli eventuali punti comuni A, B o T.
Per determinare gli eventuali punti d’intersezione o il punto di tangenza, occorre risolvere il sistema di quarto
grado formato dalle equazioni delle due circonferenze. Conviene procedere come segue:
x 2  y 2  ax  by  c  0
 2
x  y 2  a ' x  b' y  c'  0
a - a'x  b  b'y  c  c'  0
 è un' equazione lineare in " x" e " y" , perciò rappresent a una retta.
Tale retta viene chiamata asse radicale delle due circonfere nze.
Osserva che se a = a’ e b = b’ non si ottiene l’equazione della retta ‘ asse radicale ’;
in questo caso le due circonferenze sono concentriche.
22
Quindi si risolve uno dei due sistemi di secondo grado fra l’equazione della retta ‘ asse radicale ‘ e l’equazione
di una delle due circonferenze:
x 2  y 2  ax  by  c  0

a - a' x  b  b'y  c  c'  0
oppure
 x 2  y 2  a ' x  b ' y  c'  0

a - a' x  b  b'y  c  c'  0
con a  a' o b  b' .
Tali sistemi ammettono
• due soluzioni se le circonferenze sono secanti;
• una soluzione se le circonferenze sono tangenti;
• nessuna soluzione se le circonferenze non sono secanti, né tangenti.
Osservazioni:
• se le circonferenze sono tangenti, l’asse radicale coincide con la tangente alle circonferenze nel loro
punto di tangenza T;
• se si conosce l’equazione dell’asse radicale, si possono trovare i punti comuni delle due circonferenze.
• l’asse radicale è perpendicolare alla retta passante per i centri delle due circonferenze.
23
Esempi
1. Determina gli eventuali punti d’intersezione delle due circonferenze
di equazione: x2 + y2 + 2x - 4y – 11 = 0 e x2 + y2 + 2x - 16y + 13 = 0 .
Trovo l' equazione dell' asse radicale :
x 2  y 2  2 x  4 y  11  0
 2
x  y 2  2 x  16y  13  0
12y - 24  0
x 2  y 2  2 x  4 y  11  0

y  2

y 2 .
 x 2  4  2 x  8  11  0 ;
x  5
x 2  2 x  15  0   1
, quindi le due circonferenze
x

3
 2
sono secanti nei punti A- 5;2  e B3;2  .
Per il grafico : C1  1; 8 , C 2  1; 2  .
2. Determina gli eventuali punti d’intersezione delle due circonferenze di equazione:
x2 + y2 – 1 = 0 e x2 + y2 – 3x + 2 = 0 .
x 2  y 2  1  0
Trovo l' equazione dell' asse radicale :  2
x  y 2  3x  2  0
3x - 3  0

x 1 .
24
x 2  y 2  1  0

x  1
 1 y2 1  0 ; y  0 ,
x  1
quindi c' è una sola soluzione : 
,
y

0

cioè le circonferenze sono tangenti in T 1;0  e la retta tangente
è l' asse radicale di equazione x  1 .
Per il grafico : C1 0 ; 0  , C 2 3 / 2 ; 0  .
3. Determina gli eventuali punti d’intersezione delle due
circonferenze di equazione:
x2 + y2 – 1 = 0 e x2 + y2 – 4x – 12 = 0 .
Trovo l' equazione dell' asse radicale :
x 2  y 2  1  0
 2
x  y 2  4x  12  0
4x  11  0

x  11/ 4 .
x 2  y 2  1  0
121 2
105

 y 1  0 ; y2  
, quindi

16
16
x


11
/
4

nessuna soluzione ; le circ. non hanno punti comuni .
Per il grafico : C1 0;0  , C 2 2;0  .
25
Esercizi
Determina gli eventuali punti d’intersezione delle due circonferenze assegnate.
a) x 2  y 2  2x  0
x 2  y 2  6x  2y  6  0
nessuna intersezione
b) x 2  y 2  2x  4y  12  0
x 2  y 2  8x  14y  20  0
A2;2  ; B- 3;-1
c) x 2  y 2  2x  0
x 2  y 2  10x  16  0
A2;0 
d) x 2  y 2  2x  5y  3  0
x 2  y 2  4x  3y  3  0
 21 3 
A 1;0  ; B  ; 
 25 25 
e) 4x 2  4y 2  16x  9y  43  0
3x 2  3y 2  14x  79  0
nessuna intersezione
26
DISCUSSIONE DI SISTEMI DI 2° GRADO CON PARAMETRO
CASO CIRCONFERENZA – RETTA
Si possono presentare i seguenti casi :
equazione di una circonferenza

(1) equazione di un fascio di rette
eventuali limitazioni per x e/o y

oppure
equazione di un fascio di circonferenze

(2) equazione di una retta
eventuali limitazioni per x e/o y

Il parametro del sistema è il parametro che caratterizza il fascio di rette o di circonferenze.
Discutere un sistema del tipo (1) o (2), significa determinare, compatibilmente alle eventuali limitazioni,
per quali valori del parametro le rette intersecano la circonferenza nel caso (1), o la retta interseca le
circonferenze nel caso (2).
Esempi
1. Discuti il seguente sistema :
x 2  y 2  4x  0

kx  1  k y  3  0
0  x  4 ; y  0

sistema del tipo (1)
E' molto comodo effettuare la discussione dal grafico (metodo grafico) :
27
x 2  y 2  4x  0
kx  1  k y  3  0
circonferenza di centro C(2; 0), raggio  2 e passante per O(0;0) e A(4;0).
fascio proprio di rette, che si può scrivere nella forma k x - y   y  3  0 .
y  x
Le rette generatrici sono 
, centro del fascio F3; 3 .
y  3
Le limitazioni 0 < x  4 e y  0
individuano l’arco di circ. utile per
trovare i valori di k, per i quali si hanno
intersezioni rette – circonferenza.
Dal grafico si evince che si devono
individuare i valori di k per le rette
tangenti e per le rette passanti per
A(4;0) e per O(0;0).
• Retta per O: è la retta generatrice
y = x , alla quale non corrisponde
alcun valore di k.
• Retta per A: 4k - 3 = 0 ; k = 3/4 .
• Rette tangenti:
2k - 3
k  1  k 
2
2
 2 ...
4k 2  4k - 5  0 ; k 
-1  6
.
2
28
Conclusioni
Dal grafico si deduce che :
 per k   3/4 ;    il sistema ammette una soluzione;

-1 - 6   -1  6 3 
 per k   -  ;
;  il sistema ammette due soluzioni .

2
2
4

 
-1  6
le due soluzioni sono coincidenti , per k  3/4 si ha una soluzione ordinaria
2
x  4
e una soluzione limite , 
.
y

0

In particolare per k 
2. Discuti il seguente sistema :
x 2  y 2  4  0

x  2 y  k  2  0
y  0

sistema del tipo (1)
x 2  y 2  4  0 circonferenza di centro O(0;0)
e raggio  2 .
x  2 y  k  2  0 fascio improprio di rette con
coeff.angolare m  - 1/2 .
29
La limitazione y  0 individua l’arco di circ. utile per trovare i valori di k, per i quali si hanno intersezioni
rette – circonferenza.
Dal grafico si evince che si devono individuare i valori di k per la retta tangente in T e per le rette passanti
per A(-2;0) e per B(2;0).
• Retta per A: - 2 + k – 2 = 0 ; k = 4 .
• Retta per B: 2 + k – 2 = 0 ; k = 0 .
• Retta tangente in T:
k-2
5
 2 ; k 2 - 4k - 16  0 ; k 1,2  2  2 5 ; k T  2  2 5 .
Conclusioni
Dal grafico si deduce che :
 per k  0 ; 4 il sistema ammette una soluzione;

 per k  4 ; 2  2 5
 il sistema ammette due soluzioni .
x  2
x  2
In particolare per k  0 una soluzione limite , 
, per k  4 una sol. ordinaria e una limite , 
,
y  0
y  0
per k  2  2 5 due sol. coincidenti .
30