Università della Liberetà 2007-’08
mbassi
Problema con . . .
Nel cortile di una fattoria ci sono
a) si contano 160 zampe. Quante capre e quante oche vi sono?
Possiamo procedere per “tentativi”
Capre
oche
40
0
39
2
38
4
.
.
.
.
0
80
il problema è “ aperto”
b) … e ci sono 47 teste. Quante capre e quante oche vi sono?
procediamo
ancora
per
capre
oche
zampe
160
teste
47
soluzione
47
0
4*47=188
47
no
40
7
4*40+2*7=174
47
no
30
17
4*30+2*17=154
47
ci sono
poche zampe
.. ..
.. ..
“tentativi”:
33
14
.. ..
..
4*33+2*14=160
.. .. ..
47
33 capre e
14 oche
il problema è determinato
ancora un
problema
“aperto”
A casa di un noto enigmista, Ugo Ics, abitante in via Mauri 36,
si presenta un addetto del Comune per dei rilevamenti
statistici. Alla domanda sul numero dei figli e sulla loro età il
signor Ics risponde: “Ho tre figli di cui due gemelli e, caso
strano, il prodotto delle loro età coincide con il numero civico
della mia abitazione”
Quali sono le età dei figli del signor Ics ?
Soluzioni possibili
1. 1. 36
3. 3. 4
2. 2. 9
1. 6. 6
interi il cui prodotto è 36 …
il problema è ancora “aperto”
L’addetto, prestandosi al gioco, dopo aver fatto alcuni conti
chiede nuove informazioni, poiché quelle date non sono
sufficienti. Il signor Ugo aggiunge allora che la somma delle
tre età è dispari e, sorridendo, che il figlio maggiore ha gli
occhi azzurri.
Quali sono le età dei figli del signor Ics ?
Soluzioni possibili
ma … poiché la somma delle età è dispari, rimangono solo
2.2.9 – 1.6.6
e se il figlio maggiore ha gli occhi azzurri, sappiamo che il figlio
maggiore non è gemello e quindi
le tre età sono :
2 . 2 . 9
il problema è determinato
Nella risoluzione di un problema possiamo procedere con
a) metodo enumerativo: prendere in esame tutti i casi e
scegliere quello che è la soluzione
Oss. il numero dei casi deve essere convenientemente piccolo.
Un criterio potrebbe essere la verifica se ci sono i requisiti
richiesti. Ad esempio, se si vuole cercare, in una pila di libri, la
Divina Commedia, si esaminano tutti i libri finché non si è trovato
quello che corrisponde al titolo
se il numero dei casi da esaminare è “molto grande”
b) metodo per tentativi: si sceglie un primo valore, lo si
esamina per valutare la sua aderenza alla soluzione del problema;
sulla base dell’esame precedente si esegue un nuovo tentativo
possibilmente migliore del precedente e cosi via …
c) simulazione: metodo particolarmente indicato per
problemi che hanno come obiettivo la “predizione” (es:
predire quali saranno i prezzi del petrolio fra sei mesi)
d) metodi diretti : consistono nel costruire una
configurazione del problema e individuare una
catena di relazioni tra le informazioni e la soluzione.
I passi elementari ammessi sono quelli che risultano calcolabili e
vanno dalle semplici operazioni aritmetiche ai più complessi
calcoli matematici
Questi metodi sono detti anche simbolici, in quanto i passi
successivi per la soluzione sono, in genere, formalizzati mediante
simboli
LE
PER RISOLVERE PROBLEMI
Se, in un problema, si vuole determinare il
valore di una grandezza, spesso il primo passo
da fare è formalizzare il problema
cioè riscrivere in formule il testo,
utilizzando una
che esprima la
relazione tra i dati e l’incognita.
Successivamente si risolve il problema
consideriamo il problema
Se indichiamo con
c il numero delle capre e o il numero delle oche,
possiamo scrivere
(1) c +
o = 47
( 47 teste)
e aggiungere che
(2) 4 x c + 2 x
o = 160 ( 160 zampe)
c + o – o = 47 - o
1° principio di equivalenza
o
4 x (47 – o) + 2 x o = 160
(1) c = 47 (2)
188 – 4 x
o+2xo =
188 – 160 - 2 x
160
188 - 2 x
o
= 160
o + 2 x o = 160 - 160 + 2 x o
1° pr. di
equivalenza
28 = 2 x
o
2°pr.equiv.
14 =
o;
c = 33
La soluzione del problema è : ci sono 33 capre e 14 oche
Ho a disposizione una certa somma S. Spendo
inizialmente un terzo di S; dai due terzi rimanenti
prelevo un mezzo; dopo un po' di tempo tolgo da ciò
che rimane, un sesto.
Mi rimangono 100 € . Qual è la somma iniziale?
Chiamiamo x : la somma S
1 1 2
2
x  x  x
3 2 3
3
2
1
x x  x
3
3
1 1
1
 x
x
6 3
18
2
1
5
x x x  x
3
18
18
Spesa iniziale +
primo prelievo
ciò che rimane
secondo prelievo
2°resto
Considerazioni
preliminari
2
1
5
x x
x
x
3
18
18
a)
5
x  100
18
b)
18 5
18
 x  100 
5 18
5
c)
x  360
2°resto
Considerazioni
preliminari
da risolvere
somma rimanente dopo i prelievi
principio di equivalenza
risultato: somma iniziale
Una equazione è una formula aperta, definita in un
insieme e il cui predicato è “ essere uguale”
Un equazione contiene una o più incognite, indicate con lettere :
essa diventa un uguaglianza vera o falsa a seconda dei valori che
sostituiamo alle incognite
Esempio
Distingui tra le seguenti formule equazioni e uguaglianze.
a) 3+2=1; b) 3+x=5;
c) 2+a=a; d) x-x=0;
e) (x+y)2 = x2+y2
f)
2•3 = 6
Formula aperta: frase che contiene una variabile
L’insieme delle soluzioni di un equazione è
l’insieme dei valori che, sostituiti
all’incognita, la trasformano in proposizione
vera
ESEMPI
Determina l’insieme delle soluzioni delle seguenti equazioni
a) x+6=1;
b) x2=4;
c) x-x=5;
d) x-x=0
e) x+x=2x
Due equazioni sono equivalenti se hanno lo
stesso insieme di soluzioni
• addizionando o sottraendo lo stesso numero sia a
sinistra sia a destra del predicato “ = “ si ottiene
un’equazione equivalente
• moltiplicando o dividendo per lo stesso numero diverso
da zero sia a sinistra sia a destra del predicato “ = “ si
ottiene un’equazione equivalente
esempio : consideriamo il seguente problema
Con lo sconto del 15% ho pagato 60 € un paio di
scarpe. Qual era il suo prezzo originario?
indichiamo con p l’incognita
p: prezzo originario
Esprimiamo in forma algebrica l’ enunciato
p – 15/ 100 p = 60
risolviamo l’equazione, moltiplicando dapprima per 100
100p – 15 p = 60 x 100
85p = 6000
p =6000 /85
P = 70.6
Il prezzo non scontato era di 70 euro e 60 centesimi
formalizza e risolvi il seguente problema:
addizionando a un numero la sua metà, la sua terza
parte e la sua quarta parte, si ottiene 25.
Indichiamo con x il numero incognito perciò x/2 è la sua
metà, la sua terza parte è x/3 …è x/4
L’equazione da risolvere allora è:
x + x + x + x = 25
2
3
25x =
25
12
4
12x+6x+4x+3x
12
x=12
= 25
ALTRI PROBLEMI
1. Un mattone pesa un chilo più mezzo mattone. Quanto pesa il
mattone?
2. La somma di tre numeri interi consecutivi è 20. Determinali
3. Sono dati cinque numeri diversi e ordinati in ordine
crescente. La loro somma è 100 e ognuno è ottenuto dal
precedente aggiungendo sempre uno stesso numero. Quali
sono questi cinque numeri?
4. Determinare quel numero pari che addizionato al suo
precedente numero pari e al suo successivo numero dispari dà
se stesso aumentato di 15.
5. Un foglio di carta quadrato viene piegato
a metà; si ottiene così un rettangolo che
ha perimetro 18 cm. Calcola l’area del
quadrato originario.
6. In un numero di due cifre quella delle decine supera di 4 unità
quella delle unità e, invertendo l’ordine delle cifre, si ottiene un
numero che è 4/7 del precedente. Qual è il numero dato?
7. Il quadrato di un numero naturale x supera di n il quadrato del
numero precedente. Trovare il numero
8. Un padre e un figlio hanno insieme 52 anni e l’età del figlio è
3/10 di quella del padre. Tra quanto tempo l’età del figlio sarà
11/25di quella del padre?
9. Un rettangolo ha l’altezza che è i 3/2 della base. Se si
diminuisce la base di cm.1 e si aumenta l’altezza di cm.9 l’area
aumenta di 3 cm2 . Calcolare la misura della base e dell’altezza
10.In un trapezio la base maggiore supera di m.3 la base minore,
l’altezza è m.6 e la superficie misura m2 189. trovare le misure
delle basi del trapezio
11. Dalla formula A = (B + b) x h ricava B, b, h
2
12.Il quadrante dell’orologio ha misteriosamente perso le lancette.
Sapresti dire che ora sono? Sappi che un’ora fa erano passati
dall’una e mezza quattro volte tanti minuti quanti mancano ora
alle quattro.
13.Nel solito mazzo ordinato di 40 carte se ne fa scegliere una a
uno spettatore; il valore della carta viene moltiplicato per 5, al
risultato si addiziona 6, il nuovo risultato viene moltiplicato per
4, al nuovo risultato si addiziona 9,il nuovo risultato viene
moltiplicato per 5, al nuovo risultato viene sottratto 165. Si
ottiene un valore che viene diviso per 100; il numero trovato dà il
valore della carta scelta. Perché?
14. Due ciclisti si muovono di moto uniforme, con velocità di 24km/h
e 32km/h rispettivamente, nello stesso senso, su un percorso
rettilineo. Quando il secondo dei due passa per il punto A, il
primo ha già percorso 18 km. oltre quel punto. Si domanda:
a) il tempo che trascorre fra i passaggi dei due ciclisti per A
b) dopo quanto tempo, a partire dal passaggio del primo ciclista
per A, questo verrà raggiunto dal secondo?
Ricordiamo che
s = v t + q (legge de moto rettilineo uniforme)
punto di
riferimento
punto di
partenza
O
A
B
q
v t
s
128 + 71 + 32 + 47 + 12 =
26 ·15 =
84 ·9 =
84 • 99 =
12 • 4 =
12 • 7 =
12 • 8 =
23 · 6 + 10 · 6 + 7 · 6 =
5 • 21 · 4 =
0.24 +2.5 + 0.06 + 7.5 + 0.7 =
128 + 71 + 32 + 47 + 12 = 160 + 71 + 59 = 160 + 130
26 ·15 = 26•10 + 26•5 = . . .
84 • 9 = 84 • 10 - 84
12 • 4 = 44 + 4 ;
84 • 99 = . . .
12 • 7 = 77 + 7 ;
12 • 8 = . . .
23 · 6 + 10 · 6 + 7 · 6 = ( 23+7+10 ) • 6 = 240
5 • 21 · 4 = 84 • 5 = 420
0.24 +2.5 + 0.06 + 7.5 + 0.7 = 0,3 + 10 + 0.7 = 11
Calcolare il quadrato di un numero che termina per 5
15 x 15 =
225
25 x 25 =
625
45 x 45 =
2025
65 x 65 =
4225
95 x 95 =
9025
•
•
• • •
C’è una regola?
Dimostrazione per un numero di due cifre (del tipo [10 a + 5] )
(10a+5) x (10a+5) = 100a²+ 50a + 50a + 25
= 100a²+
100a
+ 25
= 100a² + 100a
+ 25
= 100a x (a + 1)
+ 25
= 100 (a x (a + 1) )
+ 25
numeri consecutivi
35 x 35 = 100(3
X
(3+1)) +25 =100 (3 x 4) + 25 = 1225
Completa inserendo tra un numero e l’altro i
simboli +, -, · , : , ( ) in modo che le uguaglianze
siano vere
3
3
3
3 =
0
3
3
3
3 =
1
3
3
3
3 =
2
- - - - - - -
- - - - - - 3
3
3
3 = 10
Completa con le opportune parentesi in modo
che le uguaglianze siano vere
2 + 2 : 2 + 2 • 2 = 2
2 + 2 : 2 + 2 • 2 = 7
2 + 2 : 2 + 2 • 2 = 8
2 + 2 : 2 + 2 • 2 = 10