Esercizio 18.
(a) Dopo aver verificato che le rette
r :
x − 2y = 0
x +y +z =0
ed

 x =1+t
y = 2 + 2t , t ∈ R
s :

z =0
sono complanari, scrivere l’equazione del
(b) Dopo aver verificato che le rette

 x =1+h
y = −h
s :
,h ∈ R e t :

z =2+h
piano da esse individuato.

 x = 2k
y = 2 − 2k , k ∈ R

z = 2k
sono complanari, scrivere l’equazione del piano che le contiene.
(c) Dopo aver verificato che le rette
x = 2z + 1
x =z +2
u :
e v :
y = 3z
y = 2z − 3
sono sghembe, determinare i piani paralleli su cui esse giacciono.
Esercizio 18.
(a) Dopo aver verificato che le rette
r :
x − 2y = 0
x +y +z =0
ed

 x =1+t
y = 2 + 2t , t ∈ R
s :

z =0
sono complanari, scrivere l’equazione del
(b) Dopo aver verificato che le rette

 x =1+h
y = −h
s :
,h ∈ R e t :

z =2+h
piano da esse individuato.

 x = 2k
y = 2 − 2k , k ∈ R

z = 2k
sono complanari, scrivere l’equazione del piano che le contiene.
(c) Dopo aver verificato che le rette
x = 2z + 1
x =z +2
u :
e v :
y = 3z
y = 2z − 3
sono sghembe, determinare i piani paralleli su cui esse giacciono.
Esercizio 18.
(a) Dopo aver verificato che le rette
r :
x − 2y = 0
x +y +z =0
ed

 x =1+t
y = 2 + 2t , t ∈ R
s :

z =0
sono complanari, scrivere l’equazione del
(b) Dopo aver verificato che le rette

 x =1+h
y = −h
s :
,h ∈ R e t :

z =2+h
piano da esse individuato.

 x = 2k
y = 2 − 2k , k ∈ R

z = 2k
sono complanari, scrivere l’equazione del piano che le contiene.
(c) Dopo aver verificato che le rette
x = 2z + 1
x =z +2
u :
e v :
y = 3z
y = 2z − 3
sono sghembe, determinare i piani paralleli su cui esse giacciono.
Compiti.
(a) Scrivere l’equazione del piano contenente il punto Q(3; 3; −1) e la
retta

 x = 2 + 3h
y = 5 + h , h ∈ R.
r :

z =1+h
[y − z − 4 = 0]
(b) Scrivere l’equazione del piano passante per i punti A(1; 0; 2) e
B(1; 1; 0) e parallelo alla retta r di equazione
x −y +1=0
r :
.
3x + 5z − 7 = 0
[7x − 10y − 5z + 3 = 0]
Compiti.
(a) Scrivere l’equazione del piano contenente il punto Q(3; 3; −1) e la
retta

 x = 2 + 3h
y = 5 + h , h ∈ R.
r :

z =1+h
[y − z − 4 = 0]
(b) Scrivere l’equazione del piano passante per i punti A(1; 0; 2) e
B(1; 1; 0) e parallelo alla retta r di equazione
x −y +1=0
r :
.
3x + 5z − 7 = 0
[7x − 10y − 5z + 3 = 0]
Compito.
Esercizio 19.
Determinare la posizione reciproca dei piani:
(a) α : x −y +z = 0,
β : 2x +y −z +4 = 0,
(b) π : x + 3y − 4z − 6 = 0,
ρ : 2x + y − z − 6 = 0.
γ : −x −y +5z −3 = 0;
σ : x − 2y + 3z = 0,
Esercizio 20.
Scrivere l’equazione della retta passante per il punto P(1; 2; −3) e
incidente le rette
r : 2x − 2 = y + 1 = 2z
ed
s : x − 2 = y − 1 = z.
Esercizio 20.
Scrivere l’equazione della retta passante per il punto P(1; 2; −3) e
incidente le rette
r : 2x − 2 = y + 1 = 2z
ed
s : x − 2 = y − 1 = z.
Traccia risoluzione:
[1◦ modo] la retta cercata è data dall’intersezione tra il piano per r e
P e il piano per s e P (sono condizioni di complanarità, non di
incidenza, quindi bisogna controllare che tale intersezione dia una
retta non parallela né a r né a s);
[2◦ modo] considerare due punti generici R ed S con R ∈ r e S ∈ s.
~ e PS
~ siano linearmente dipendenti (cosı̀ si
Imporre che i vettori PR
ricavano i due parametri da cui dipendono le coordinate di R e di S
~
e si può scrivere la retta passante per P, di direzione PR).
Esercizio 21.
Date le rette:
asse x,

 x =2−h
y = 1 + h ,h ∈ R
r :

z =1

 x = 1 + 3t
y =2
s :
,t ∈ R

z = −t
scrivere l’equazione cartesiana del luogo di rette incidenti alle tre rette
date.
Si svolge in modo analogo all’es. precedente: il ruolo del punto P lo
assume ora il punto X = (α, 0, 0), punto generico dell’asse x.
In questo modo si ottiene il luogo
x + y + (α − 3)z − α = 0
2x + (α − 1)y + 6z − 2α = 0
Ora si tratta di: (a) eliminare il parametro; (b) escludere le rette che
sono espresse dal luogo, ma che sono parallele a r o a s
Soluzione: [y 2 − 6z 2 + xy − 2xz − 2yz − 3y + 12z = 0, escluse le rette
x + y − 3 = 0 = z e x + 3z − 6 = 0 = y ]
Esercizio 21.
Date le rette:
asse x,

 x =2−h
y = 1 + h ,h ∈ R
r :

z =1

 x = 1 + 3t
y =2
s :
,t ∈ R

z = −t
scrivere l’equazione cartesiana del luogo di rette incidenti alle tre rette
date.
Si svolge in modo analogo all’es. precedente: il ruolo del punto P lo
assume ora il punto X = (α, 0, 0), punto generico dell’asse x.
In questo modo si ottiene il luogo
x + y + (α − 3)z − α = 0
2x + (α − 1)y + 6z − 2α = 0
Ora si tratta di: (a) eliminare il parametro; (b) escludere le rette che
sono espresse dal luogo, ma che sono parallele a r o a s
Soluzione: [y 2 − 6z 2 + xy − 2xz − 2yz − 3y + 12z = 0, escluse le rette
x + y − 3 = 0 = z e x + 3z − 6 = 0 = y ]