SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI di un polinomio Ripassiamo i prodotti notevoli NOME Quadrato di un binomio Cubo di un binomio Somma per differenza TIPO SVILUPPO a2 + 2ab + b2 ( a + b )2 (a+b TRINOMIO a3 + 3a2b +3ab2+b3 )3 QUADRINOMIO a2 – b2 (a+b)(a–b) BINOMIO ( a + b + c )( a + b – c ) Quadrato di un trinomio [(a+b)2 – c2 ] = a2 + 2ab + b2 – c QUADRINOMIO a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ( a + b + c )2 (a+b)( a2 (a–b)( a2 POLINOMIO – ab + b2 +ab + b2 ) “Senza nome ” ) a3 + b3 BINOMIO a3 – b3 BINOMIO 2 PROSEGUIAMO Ripassiamo i prodotti notevoli NOME Quadrato di un binomio Cubo di un binomio Somma per differenza TIPO SVILUPPO a2 + 2ab + b2 ( a + b )2 (a+b TRINOMIO a3 + 3a2b +3ab2+b3 )3 QUADRINOMIO a2 – b2 (a+b)(a–b) BINOMIO ( a + b + c )( a + b – c ) Quadrato di un trinomio QUADRINOMIO a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ( a + b + c )2 (a+b)( a2 (a–b)( a2 POLINOMIO – ab + b2 +ab + b2 ) “Senza nome ” 3 [(a+b)2 – c2 ] = a2 + 2ab + b2 – c ) a3 + b3 BINOMIO a3 – b3 BINOMIO RITORNIAMO ALLA DIAPOSITIVA N. 8 Come faccio a scomporre in fattori primi? 4 PRIMA DI TUTTO… Vedo se c’è da raccogliere un fattore comune fra tutti i monomi, cioè faccio il: RACCOGLIMENTO TOTALE RIASSUMENDO 5 Altrimenti… PRIMA DI TUTTO… Vedo se c’è da raccogliere un fattore comune fra tutti i monomi, cioè faccio il: RACCOGLIMENTO TOTALE RIASSUMENDO 6 Altrimenti… ALTRIMENTI Conto quanti monomi costituiscono il polinomio ed eventualmente cerco di riconoscervi qualche prodotto notevole • BINOMIO • TRINOMIO • QUADRINOMIO • POLINOMIO RIASSUMENDO 7 OPPURE ALTRIMENTI Conto quanti monomi costituiscono il polinomio ed eventualmente cerco di riconoscervi qualche prodotto notevole • BINOMIO • TRINOMIO • QUADRINOMIO • POLINOMIO RIASSUMENDO 8 OPPURE OPPURE faccio il raccoglimento parziale. 9 OPPURE faccio il raccoglimento parziale. RIASSUMENDO 10 Raccoglimento totale BINOMIO TRINOMIO Differenza di due quadrati ( a2 – b2 ) = ( a – b )( a + b ) Somma di due quadrati NON SI PUO’ SCOMPORRE Somma di due cubi a3 – b3 = ( a – b )( a2 + ab + b2 ) Differenza di due cubi a3 – b3 = ( a – b )( a2 + ab + b2 ) Raccoglimento totale a2 + 2ab + b2 = ( a + b ) 2 Quadrato di un binomio a2 + 2ab + b2 = ( a + b ) 2 Trinomio notevole x2 + sx + p = (x + a )(x + b ) Se s = a + b e p = ab Ruffini Raccoglimento totale Cubo di un binomio QUADRINOMIO a3 + b3 + 3a2b + 3ab2 = ( a + b )3 Raccoglimento parziale Differenza di due quadrati ( di cui uno è il quadrato di un binomio) a2 + b2 - 2ab – x2 =(a - b)2 - x2 = [ (a –b) + x ] [ (a –b) – x ] Ruffini Raccoglimento totale POLINOMIO 11 Raccoglimento parziale Quadrato di un trinomio Ruffini a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = ( a + b + c )2 RACCOGLIMENTO TOTALE: raccolgo l’ M.C.D. dei monomi 3a2b - 5a3b4 + a4b6 = a2b ( 3 - 5ab3 + a2b5 ) RIASSUMENDO 12 RACCOGLIMENTO TOTALE: raccolgo l’ M.C.D. dei monomi 3a2b - 5a3b4 + a4b6 = a2b ( 3 - 5ab3 + 4a2b5 ) RIASSUMENDO 13 RACCOGLIMENTO PARZIALE 10a3b + 2xb - 5a3 – x = 5a3 ( b – 1 ) + 2x ( b - 1) = ( b – 1 )( 5a3 + 2x ) RIASSUMENDO 14 RACCOGLIMENTO PARZIALE 10a3b + 2xb - 5a3 – x = 5a3 ( b – 1 ) + 2x ( b - 1) = ( b – 1 )( 5a3 + 2x ) RIASSUMENDO 15 BINOMIO • DIFFERENZA DI DUE QUADRATI ( a2 – b2 ) = ( a – b )( a + b ) DIFFERENZA DI CUBI a 3 – b3 = ( a – b )( a2 + ab + b2 ) Ritorna ai prodotti notevoli 16 ATTENZIONE!!!! La SOMMA di due quadrati NON si scompone mai!!!) SOMMA DI CUBI a 3 + b3 = ( a + b )( a2 – ab+ b2 ) RIASSUMENDO BINOMIO • DIFFERENZA DI DUE QUADRATI ( a2 – b2 ) = ( a – b )( a + b ) DIFFERENZA DI CUBI a 3 – b3 = ( a – b )( a2 + ab + b2 ) Ritorna ai prodotti notevoli 17 ATTENZIONE!!!! La SOMMA di due quadrati NON si scompone mai!!!) SOMMA DI CUBI a 3 + b3 = ( a + b )( a2 – ab+ b2 ) RIASSUMENDO TRINOMIO • QUADRATO DI UN BINOMIO (è un trinomio formato da: due quadrati e dal doppio prodotto delle basi) 16a4 + b2 - 8a2b = (4a2 - b)2 TRINOMIO NOTEVOLE ( deve essere sempre del tipo : con s = a + b e p = ab RIASSUMENDO Ritorna ai prodotti notevoli 18 x2 - 9x – 36 = ( x – 12 ) ( x + 3 ) x2 + sx + p ) TRINOMIO • QUADRATO DI UN BINOMIO (è un trinomio formato da: due quadrati e dal doppio prodotto delle basi) 16a4 + b2 - 8a2b = (4a2 - b)2 TRINOMIO NOTEVOLE ( deve essere sempre del tipo : con s = a + b e p = ab RIASSUMENDO Ritorna ai prodotti notevoli 19 x2 - 9x – 36 = ( x – 12 ) ( x + 3 ) x2 + sx + p ) QUADRINOMIO CUBO DI BINOMIO (ci sono due cubi e due tripli prodotti di ognuna delle due basi per il quadrato dell’altra) a3 + b3 + 3a2b + 3ab2 = ( a + b )3 RIASSUMENDO DIFFERENZA DI DUE QUADRATI ( di cui uno è il quadrato di un binomio) a2 + b2 - 2ab – x2 = (a - b)2 - x2 = [ (a –b) + x ] [ (a –b) – x ] Ritorna ai prodotti notevoli 20 QUADRINOMIO CUBO DI BINOMIO (ci sono due cubi e due tripli prodotti di ognuna delle due basi per il quadrato dell’altra) a3 + b3 + 3a2b + 3ab2 = ( a + b )3 RIASSUMENDO DIFFERENZA DI DUE QUADRATI ( di cui uno è il quadrato di un binomio) a2 + b2 - 2ab – x2 = (a - b)2 - x2 = [ (a –b) + x ] [ (a –b) – x ] Ritorna ai prodotti notevoli 21 POLINOMIO QUADRATO DI TRINOMIO (tre quadrati e tre doppi prodotti di ciascuna delle basi per le altre) a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = ( a + b + c )2 Se non fosse possibile scomporre il polinomio con uno dei metodi precedenti, allora si può provare ad usare la: REGOLA DI RUFFINI Ritorna ai prodotti notevoli 22 RIASSUMENDO POLINOMIO QUADRATO DI TRINOMIO (tre quadrati e tre doppi prodotti di ciascuna delle basi per le altre) a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = ( a + b + c )2 Se non fosse possibile scomporre il polinomio con uno dei metodi precedenti, allora si può provare ad usare la: REGOLA DI RUFFINI Ritorna ai prodotti notevoli 23 RIASSUMENDO REGOLA DI RUFFINI x5 – 10x – 12 = 1 0 0 0 -10 2 2 4 8 1 2 4 8 -12 16 12 6 0 = ( x – 2 ) ( x4 + 2x3 +4x2 +8x + 6 ) 24 M.C.D. fra polinomi L’ M.C.D. fra due o più polinomi è costituito SOLO dai fattori COMUNI, presi una sola volta con il minimo esponente Pertanto bisogna scomporre in fattori primi i monomi che compongono il polinomio e poi calcolare l’ M.C.D. 25 26