Progetto DigiScuola
Corso di formazione
Gruppo Matematica
Autori:
Assunta Ferracane – Anna Lacava
con il contributo di due alunni
Titolo
Scomposizione di polinomi
Perché scomporre i polinomi?
E’ bene che chi studia l’algebra non senta mai parlare di
decomposizione in fattori e, tranne alcuni casi semplici, ignori
tutti gli altri?
Che non si eserciti affatto sulle scomposizioni in fattori?
Non è facile rispondere a queste domande. E’ raro però che i
calcoli algebrici usino un solo tipo di procedimento. Nel bel
mezzo di un ragionamento può capitare un passaggio che
richiede una qualche conoscenza delle decomposizioni in
fattori e generare difficoltà per chi non ne conosca la tecnica.
[ W.W. Sawyer – Guida all’insegnamento della Matematica – Boringhieri]
Perché scomporre i polinomi?
Vediamo con degli esempi le ragioni
che consigliano
di apprendere la scomposizione in fattori.
Primo esempio
Le due espressioni:
A: (n+1)(n+2)(n+3) e
B: n3 + 6n2 + 11n + 6
Hanno lo stesso significato: si passa dalla prima alla seconda svolgendo i
prodotti.
Si passa dalla seconda alla prima decomponendo in fattori.
Per quale motivo dovremmo desiderare la forma decomposta?
Un motivo è che tale forma spesso facilita i calcoli. Ad esempio, se ad n diamo
il valore 8 :

In A otteniamo 9*10*11 che si vede facilmente essere 990

In B otteniamo ancora 990 ma con un sensibile aumento di lavoro.
Secondo esempio
Eseguiamo i calcoli:
2*2 - 1*3 =
3*3 - 2*4 =
4*4 - 3*5 =
………..
o, in generale
x*x - (x-1)(x+1) =
In ogni caso troviamo 1
Riscriviamo il tutto nell’altra forma
2*2 – 1 = 1*3
3*3 – 1 = 2*4
4*4 – 1 = 3*5
……………..
o, in generale
x*x – 1 = (x-1)(x+1)
o
x2 - 1 = (x -1)(x +1)
Secondo esempio
x2 - 1 = (x -1)(x +1)
Abbiamo ottenuto
x2 - 4= (x -2)(x +2)
x2 - 9 = (x -3)(x +3)
…………………
A cosa serve tutto ciò?
In modo analogo si ricava
Il prodotto 29*31 è più semplice se eseguito come 302 – 1 = 900 – 1 = 899
E 182 ?
Da 182 – 4 = 16*20 si ottiene facilmente
182 = 320 + 4 = 324
E non solo !
guardiamo gli altri esempi
Terzo esempio
Se indichiamo con A l’area di un triangolo di lati a, b, c
esiste una formula che consente di calcolare l’area in funzione dei lati.
La formula può essere scritta nei due modi equivalenti:
16A2 = 2b2c2 + 2c2a2 + 2a2b2 – a4 – b4 – c4
16A2 = (a + b + c) (b + c – a)(a + c – b)(a + b –c)
La forma decomposta è senz’altro più facilmente calcolabile.
Inoltre vediamo che uno dei fattori è (a + b – c):
cosa succede c = a + b? Tale fattore sarà nullo e quindi l’area del triangolo,
usando tale forma, sarà nulla, in accordo col fatto che il triangolo in tal caso
non esiste.
Quarto esempio
Dato il polinomio P(n) = n3 + 6n2 + 11n + 6
quanto vale per n = - 3 ?
E’ sicuramente piu’ semplice dirlo se ricordiamo la forma
decomposta del polinomio, come visto nel primo esempio,
P(n) = (n+1)(n+2)(n+3)
Sostituendo in tale forma si ottiene facilmente zero,
questo implica, come sappiamo, che il polinomio
è divisibile per (n +3).
Viceversa si può dire che affinché un polinomio P(n) sia
divisibile per (n + 3) è necessario che nella forma scomposta di
P(n) compaia tra i fattori proprio (n + 3).
Ancora di più
Sappiamo che quando un polinomio non è divisibile per un altro polinomio si
genera una frazione algebrica.
Sorge allora il problema di eseguirne le operazioni.
Si può operare così come si faceva con le frazioni numeriche?
Quando si sommano tali frazioni si cerca il m.c.m. dei denominatori
(….prodotto dei fattori ……dei denominatori, scomposti in fattori primi,
presi una sola volta …..)
e quando si semplifica una frazione si cerca il M.C.D. tra numeratore e
denominatore
(prodotto dei fattori……del numeratore e del ….. , scomposti in fattori
Primi, presi una sola volta……).
Se vogliamo eseguire le operazioni tra frazioni algebriche così come tra
frazioni numeriche dobbiamo trovare anche qui il m.c.m. e il M.C.D., cioè
dobbiamo scomporre i polinomi in fattori primi.
Conclusioni
Appare evidente ora la necessità di imparare a scomporre i
polinomi.
E’ importante capire che scomporre un polinomio significa
scriverlo come prodotto di altri polinomi di grado più piccolo:
in definitiva si tratta di trasformare una somma di monomi in
un prodotto di monomi e polinomi.
Tuttavia la scomposizione non è sempre possibile e non ci sono
regole generali ma vari metodi, basati sulle proprietà delle
operazioni e sulle regole dei prodotti notevoli.
E’ opportuno esaminare attentamente il polinomio da scomporre
per valutare:
 L’esistenza di fattori comuni a tutti i monomi
 Il numero di termini del polinomio stesso.
Schema
Volendo dare una schematizzazione sommaria possiamo farlo in questo modo:


Raccoglimento a fattor comune







B
I
N
O
M
I
T
R
I
N
O
M
I
Q
U
A
D
R
I
N
O
M
I
PO
LI
NO
MI
PO
LI
NO
MI
PO
LI
NO
MI
RE
GO
LA
DI
CON
5
TER
MI
NI
CON
6
TER
MI
NI
Artifici di scomposizione
Raccolta diesercizi
CON
PIU’
DI 6
TER
MI
NI
RUF
FI
NI
Racccoglimento a fattor comune
Quando tutti i termini di un polinomio hanno un divisore comune, questo può
essere messo in evidenza. In generale si cerca di prendere come fattore
comune il M.C.D. fra i termini in modo da mettere in evidenza tutto ciò che
è possibile. In questo modo si esegue na scomposizione del polinomio
perché lo si scrive come prodotto di due fattori.
Es.
Es.
Es.
ax + ay + az =
a(x + y + z)
15 x2y – 9xy2 + 3xy =
3xy(5x – 3y + 1)
x(a+b) - 2a(a+b) +3y(a+b) =
(a+b)(x – 2a + 3y)
ritorna
Binomi
N.B. Le scomposizioni evidenziate in rosso sono quelle più frequenti.









differenza di due quadrati
somma di due quadrati
differenza di due cubi
somma di due cubi
A2 – B2 = (A-B)(A+B)
A2 + B2 : è indecomponibile
A3 – B3 = (A-B)(A2+AB+B2)
A3 + B3 = (A+B)(A2-AB+B2)
differenza di due potenze pari ( come differenza di due quadrati):
es. A4-B4 = (A2)2-(B2)2=….; A6-B6 = (A3)2- (B3)2 =…; A8-B8 = (A4)2-(B4)2
somma di due potenze pari (si può scomporre se l’esponente è multiplo di un
numero dispari) es. A6+B6 = (A2)3 + (B2)3 =….; A10 + B10 = (A2)5 + (B2)5 =….; etc
differenza di due potenze dispari (è sempre divisibile per la differenza delle basi)
es. A5 – B5 = (A-B)( A4+A3 B+…..); A7 – B7 = (A-B)( A6+A5 B+…..); etc.
somma di due potenze dispari (è sempre divisibile per la somma delle basi ) es. A5
+ B5 = (A+B)( A4- A3 B+...); A7 + B7 = (A + B)( A6-A5 B+…..); etc.
ritorna
Differenza di due quadrati
Se un binomio è costituito dalla differenza di due
monomi, o di due espressioni, che sono dei quadrati,
per scomporlo basta individuare le basi dei due
quadrati ed indicare il prodotto della loro somma per
la loro differenza.
Es.
x2 – 4y2
Basi: (x) (2y)
Quindi
x2 – 4y2 = (x + 2y)(x – 2y)
Es. 25x4 – 16y6
(5x2)
(4y3)
25x4 – 16y6 = (5x2 + 4y3)(5x2 - 4y3)
ritorna
Differenza di due cubi
La differenza di due cubi è sempre divisibile per la differenza delle basi.
Dividendo, ad es. con la regola di Ruffini, si calcola il quoziente, ed allora la scomposizione si ottiene
dalla regola
Dividendo = Divisore * Quoziente
Es. x3 - 8
Coefficienti
dividendo
Divisore: x-2
Coefficienti
quoziente
1
2
1
0
0
-8
2
4
8
2
4
0
Quindi x3 – 8 = (x - 2)(x2 + 2x + 4)
E la regola che ne deriva:
La differenza di due cubi si scompone nel prodotto tra la differenza delle basi ed il trinomio formato
dal quadrato della prima base, dal prodotto delle due basi cambiato di segno e dal quadrato della
seconda base.
ritorna
Somma di due cubi
La somma di due cubi è sempre divisibile per la somma delle basi.
Dividendo, ad es. con la regola di Ruffini, si calcola il quoziente, ed allora la scomposizione si ottiene
dalla regola
Dividendo = Divisore * Quoziente
Es. x3 + 8
Coefficienti
dividendo
Divisore: x+2
Coefficienti
quoziente
1
-2
1
0
0
+8
-2
4
-8
-2
4
0
Quindi x3 + 8 = (x + 2)(x2 - 2x + 4)
E la regola che ne deriva:
La somma di due cubi si scompone nel prodotto tra la somma delle basi ed il trinomio formato dal
quadrato della prima base, dal prodotto delle due basi cambiato di segno e dal quadrato della seconda
base.
ritorna
Trinomi
N.B. Le scomposizioni evidenziate in rosso sono quelle più frequenti.



sviluppo del quadrato di un binomio : A2±2AB+B2 = (A±B) 2
trinomio particolare di secondo grado:
b1) primo tipo
x2 + sx + p = (x +a )( x+b )
dove s = a+b e p= ab ;
es. x2 – 5x +6 = ( x-2 )( x-3 )
infatti è
-5 =-2-3 e +6 = (-2)(-3)
b2) secondo tipo
p x2 + sx + 1 = (ax+1)(bx+1)
dove s = a+b e p= ab , es. 6x2 + 5x +1 = (2x+1)(3x+1)
b3) terzo tipo: trinomio scomponibile con artificio:
ax2 +bx + c dove b = m+n e ac=mn.
Il polinomio si scrive
a x2 +mx + nx +c
quindi si applica il raccoglimento
2
2
parziale. Es 3 x -7x +4 = 3 x -3x -4x+4= 3x(x-1) -4(x-1) = (x-1)(3x-4);
6x2+11x+3=6x2+9x+2x+3=3x(2x+3)+(2x+3)=(2x+3)(3x+1).
trinomio scomponibile mediante artificio: A4+ A2 B2+B4 = A4+ A2 B2+B4+ A2 B2A2 B2 = A4+ 2A2 B2+B4- A2 B2 = (A2 + B2 )2 – (AB)2 =…..
ritorna
Quadrato di un binomio
Sappiamo che il quadrato di un binomio è dato dalla formula
(A±B) 2 = A2±2AB+B2
Per la proprietà simmetrica dell’uguaglianza avremo
A2±2AB+B2 = (A±B) 2
Perciò la regola:
Un trinomio formato dalla somma dei quadrati di due monomi e
dalla somma ( o differenza ) del loro doppio prodotto è uguale
al quadrato della somma algebrica dei due monomi.
Es.
4x2 – 12xy + 9y2 =
basi:
(2x)
(3y)
Quindi 4x2 – 12xy + 9y2 = (2x – 3y)2
ritorna
Trinomio particolare 1
Un polinomio di tre termini ordinato secondo le potenze di una certa lettera che ha:
•
Grado due rispetto a quella lettera
•
Coefficiente del termine di grado massimo uguale a 1
•
Coefficiente del termine di primo grado che può essere espresso come somma di due numeri a
eb
•
Termine noto uguale al prodotto degli stessi numeri a e b
quindi del tipo:
x2 + (a+b)x + ab
si scompone come (x + a)(x + b)
Infatti è x2 + (a+b)x + ab = x2 + ax + bx + ab = x(x+a) + b(x+a) = (x + a)(x + b)
Es.
x2 – 5x +6 = ( x-2 )( x-3 )
A volte i due numeri a e b sono due monomi come nel seguente esempio:
Es. x2 - 7bx +10 b2 = (x -5b)(x- 2b)
A volte l’incognita può essere un monomio come nell’esempio:
Es. a2 b2 + 3ab – 10 = (ab -2)(ab + 5)
A volte il trinomio può essere di grado maggiore come nell’esempio:
Es. x4– 5x2 - 24 = (x2-8 )(x2+3 )
ritorna
Quadrinomi
N.B. Le scomposizioni evidenziate in rosso sono quelle più frequenti.

sviluppo del cubo di un binomio:
A3 ± 3A2B +3AB2 ± B3 = (A ± B)3

raccoglimento parziale o a gruppi

differenza tra il quadrato di un binomio e il quadrato di un monomio e
viceversa
es. A2 ± 2AB+B2 – C2 = (A±B)2 – C2 =……… opppure A2-B2 ± 2BC
– C2 = A2 – ( B2 – 2BC +C2) = A2 – (B – C)2…..
ritorna
Cubo di un binomio
Sappiamo che il cubo di un binomio è dato dalla formula
(A±B) 3 = A3 ± 3A2B +3AB2 ± B3
Per la proprietà simmetrica dell’uguaglianza avremo
A3 ± 3A2B +3AB2 ± B3 = (A±B) 3
Perciò la regola:
Un polinomio formato da quattro termini di cui due sono dei cubi può essere lo
sviluppo del cubo di un binomio se gli altri due termini sono i tripli prodotti,
rispettivamente del quadrato di ognuna delle due basi per l’altra.
Es.
x3 - 6x2y + 12xy2 - 8y3
basi:
(x)
(-2y)
Quindi x3 - 6x2y + 12xy2 - 8y3 = (x – 2y)3
ritorna
Raccoglimento parziale
A volte non è possibile eseguire un raccoglimento a fattor comune perché non
c’è un divisore comune a tutti i monomi. In alcuni casi, però, ci si può
ricondurre a una situazione di questo tipo eseguendo prima dei
raccoglimenti con gruppi di monomi.
Es. 2a + 2b + ax + bx
I primi due monomi hanno in comune 2 che si può mettere in evidenza, mentre
gli altri due hanno in comune a, per cui
2(a + b) + x(a + b)
E poiché le due parentesi sono uguali, tale espressione si può mettere in
evidenza, raccogliendo a fattor comune
(a + b)(2 + x)
In definitiva 2a + 2b + ax + bx = 2(a + b) + x(a + b) = (a + b)(2 + x)
ritorna
Polinomi con 5 termini

somma o differenza tra il cubo di un binomio e il cubo di un monomio e
viceversa,
es. A3 + 3A2B +3AB2 + B3 – C3 = (A + B)3 –C3 =……,
A3 + B3 -3B2C +3BC2 –C3 = A3 + ( B – C)3 =…..

etc.
casi particolari:
b1) A2 ± 2AB +B2 + 2A ± 2B = (A± B)2 +2(A±B) =………;
b2) x2 +5x + 6 + 5x + 10 = (x+2)(x+3) +5(x+2) =
(x+2)(x+3+5) = (x+2)(x + 8); etc.
ritorna
Polinomi con 6 termini

sviluppo del quadrato di un trinomio:
A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC = (A+B+C)2;

raccoglimento parziale o a gruppi;

diff. tra i quadrati di 2 binomi:
A2 +2AB+B2 - C2+2CD - D2= (A+B)2-(C-D)2=…

casi particolari:
A3+3A2B+3AB2+B3+CA+CB=(A+B)3+C(A+B)=
(A+B)[(A+B)2+C]; etc .
ritorna
Quadrato di un trinomio
Sappiamo che il quadrato di un trinomio è dato dalla formula
(A+B+C)2 = A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC
Per la proprietà simmetrica dell’uguaglianza avremo
A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC = (A+B+C)2
Perciò la regola:
Un polinomio formato da 6 termini di cui tre sono dei quadrati rappresenta il quadrato
di un trinomio se gli altri tre termini sono i doppi prodotti di una base per ognuna
delle altre due.
Es.
4x2 – 12xy + 9y2 - 4xz + z2 + 6yz =
basi:
(2x)
(3y)
(z)
Quindi 4x2 – 12xy + 9y2 - 4xz + z2 + 6yz = (2x – 3y – z)2
ritorna
Polinomi con più di 6 termini
CON RAGIONAMENTI
analoghi ai casi particolari esaminati per
polinomi con 4, 5, 6 termini, si potrebbero
scomporre polinomi con un numero di
termini maggiore.
ritorna
Regola di Ruffini
Con l’uso del criterio di divisibilità di P(x) per (x-a) e con l’applicazione della regola di Ruffini,
a volte è possibile decomporre un polinomio in fattori di cui almeno uno di primo grado.
Regola 1: dato un polinomio P(x) a coefficienti interi le eventuali radici intere del polinomio,
cioè i valori da attribuire ad a in (x-a), sono da ricercarsi tra i divisori, positivi o negativi, del
suo termine noto
Es. x3 – 8
i divisori di 8 sono ±1, ±2, ±4, ±8
Dando ad a il valore 2 si ha P(2) = 0 quindi
x3 – 8 è divisibile per (x-2)
E dividendo con la regola di Ruffini si ottiene la scomposizione
x3 – 8 = (x - 2)(x2 + 2x + 4)
Regola 2: dato un polinomio P(x) a coefficienti interi, le eventuali radici razionali del polinomio
vanno da ricercarsi tra le frazioni aventi per numeratore un divisore, positivo o negativo, del
termine noto e per denominatore un divisore, positivo o negativo, del coefficiente di grado
massimo( primo coefficiente del polinomio supposto ordinato in senso decrescente)
Es. 6x2 + x – 1
i divisori di -1 sono ±1
i divisori di 6 sono ±1, ±2, ±3, ±6,
quindi le frazioni possibili sono ±1, ±1/2, ±1/3, ±1/6
Dando ad a il valore -1/2 si ha P(-1/2) = 0 quindi 6x2 + x – 1 è divisibile per (x+1/2)
E dividendo con la regola di Ruffini si ottiene la scomposizione
ritorna
6x2 + x – 1 = (x+1/2)(6x-2) = 2(3x-1) (x+1/2) = (3x-1)[2 (x+1/2)] = (3x-1)(2x+1)
Artifici di scomposizione
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
ALCUNI ARTIFICI DI SCOMPOSIZIONE
a4 + ¼= a4 + ¼ + a2 - a2 = …………
a4 + 4 b4 = a4 + 4 b4 + 4A2 B2- 4A2 B2 = (a2 + 2b2)2 – (2ab)2 = (a2+2b22ab) (a2+2b2+2ab)
6x2+7x-3 = 6x2 +9x -2x -3 = 3x(2x+3)-(2x+3) = (2x+3)(3x-1)
8x2 -6x -9 = 8x2 -12x+6x -9 = 4x(2x-3)+3(2x-3) = (2x-3)(4x+3)
4x2 +4xy -8y2 = 4x2 +4xy + y2-9y2 = (2x+y)2 – (3y)2 = (2x+y3y)(2x+y+3y) = (2x-2y)(2x+4y)=4(x-y)(x+2y)
9x2-12xy-12y2=9x2-12xy +4y2 -16y2 =(3x-2y)2-(4y)2 =(3x-2y-4y)(3x2y+4y)=(3x-6y)(3x+2y)=3(x-2y)(3x+2y)
x3-9x2+27x-35= x3-9x2+27x-27-8=(x-3)3-23=(x-3-2)(x2-6x+9+2x6+4)=(x-5)(x2-4x+7) o con Ruffini
x4+4x2+16=x4+8x2-4x2+16=(x2+4)2-(2x)2=(x2+4-2x)(x2+4+2x)
2a5-4a4-2a3+4a2+2a=2a(a4-2a3-a2+2a+1)= 2a(a4-2a3+a2 2a2+2a+1)=2a(a2-a-1)2
ritorna
Esempi
Esercizio n. 1
Esercizio n. 2
Esercizio n. 3
Esercizio n. 4
Esercizio n. 5
Esercizio n. 6
Esercizio n. 7
Esercizio n. 8
Esercizio n. 9
Esercizio n. 10
ritorna
Esercizio n. 1
75ax2 + 25ay2 – 100ax2y2 =
Scegli la risposta giusta fra le quattro
5a(15x2 + 5y2 – 20x2y2)
3x2
+
y2
–
4x2y2
25a(3x2 + y2 – 4x2y2)
Nessuna delle risposte
precedenti è giusta
Esercizio n. 2
a 6 –2a 3 b5+ b10 =
Scegli la risposta giusta fra le quattro
Nessuna delle risposte
precedenti è giusta
(a3
+
b5) 2
(a3 + b5) (a3 – b5)
(a3 – b5) 2
Esercizio n. 3
4x2 + y 2 +z 2 + 4x y+2y z+4x z =
Scegli la risposta giusta fra le quattro
(2x+y+z)
2
(2x –y+z)(2x+y+z)
Nessuna delle risposte
precedenti è giusta
(2x+y–z) (2x – y–z)
Esercizio n. 4
(a –2b) 2 – (2a –b) 2 =
Scegli la risposta giusta fra le quattro
3(a+b)(a –b)
–3(a+b)(a –b)
3ab(a+b)(a –b)
Nessuna delle risposte
precedenti è giusta
Esercizio n. 5
x3 + 6ax 2 +12a 2x + 8a3=
Scegli la risposta giusta fra le quattro
(x –2a) 3
(x+a) 3
(x+2a)(x –2a)(x – 2a)
Nessuna delle risposte
precedenti è giusta
Esercizio n. 6
a 6– b3 =
Scegli la risposta giusta fra le quattro
(a2+b)(a4+a2b+b2)
(a2+b)(a4+a2b–b2)
(a2+b)(a2+a2b+b2)
Nessuna delle risposte
precedenti è giusta
Esercizio n. 7
x2– 9x+8=
Scegli la risposta giusta fra le quattro
(x+8)(x – 1)
(x+8)(x +1)
(x – 8)(x – 1)
Nessuna delle risposte
precedenti è giusta
Esercizio n. 8
a 2+4a+4 –x 2=
Scegli la risposta giusta fra le quattro
(a+2+x)( a+2+x)
(a+2+x)( a+2–x)
(a+2–x)( a+2–x)
Nessuna delle risposte
precedenti è giusta
Esercizio n. 9
ax +2bx+3ay+6by=
Scegli la risposta giusta fra le quattro
(a+2b)(x+3y)
(a+2b)(x–3y)
(a+2b)(x+y)
Nessuna delle risposte
precedenti è giusta
Esercizio n. 10
x 8 –y 8 =
Scegli la risposta giusta fra le quattro
(x4+y4)(x2+y2)(x+y)(x –y)
(x4 – y4)(x2+y2)(x+y)(x
–y)
(x4 – y4)(x2 – y2)(x+y)(x –y)
Nessuna delle risposte
precedenti è giusta
Esatto
molto
bene!
ritorna
Sbagliato
Mi dispiace
non è la
risposta esatta
Ma puoi
riprovare!
Premi il numero dell’esercizio
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10