L’algebra e la scomposizione
Breve introduzione storica
sull’algebra; la scomposizione
dei polinomi.
Gli albori dell’algebra
Tipico esempio di scrittura
algebrica sincopata,
dall'Algebra di R Bombelli
(1526-1572), pubblicata a
Bologna nel 1579
I simboli dell’algebra ed il modo che oggi utilizziamo
e che con un po' di allenamento, ci possono apparire
ovvi e naturali sono in realtà frutto di un lavoro di
rielaborazione per molti secoli. I Babilonesi, (secondo
millennio a.C.) che sotto molti aspetti sono considerati
i fondatori dell'algebra, non facevano uso di simboli e
si limitavano a descrivere nel linguaggio naturale le
procedure risolutive di vari problemi. Presso i Greci
l'algebra ebbe il suo periodo di maggior splendore nel
periodo ellenistico (III secolo d. C.), soprattutto a
opera di un matematico di Alessandria, Diofanto, che
per primo elaborò un sistema di simboli adatti a
rappresentare, mediante segni speciali, la variabile,
alcune sue potenze, la sua inversa, qualche operazione.
Con Diofanto ebbe inizio l'algebra sincopata , una
specie di stenografia che sta tra il linguaggio naturale e
il simbolismo moderno.
Ulteriori sviluppi dell’algebra
Ritratto di Francois Viète (1540-1603) in una
stampa conservata nella Biblioteca Nazionale di
Parigi. Vìète si occupò di matematica per diletto,
fece stampare le sue opere a proprie spese e le
comunicò agli studiosi di tutta Europa.
Il passaggio dall'algebra sincopata
all’algebra simbolica, nella quale il
calcolo con i numeri viene sostituito dal
calcolo con le lettere, ha richiesto un
lungo cammino e il contributo di
numerosi matematici.
Notevoli passi
avanti vennero fatti molti secoli dopo da
due matematici italiani, Luca Pacioli (XV
secolo) e Raffaele Bombelli (XVI secolo).
Questo cammino si concluse nella
seconda metà del Cinquecento con il
francese Francois Viète, il "padre dell'
algebra".
Viète ebbe per primo
l'intuizione di "operazione astratta", ne
codificò la notazione simbolica e arrivò a
formulare il cosiddetto calcolo letterale
attuale.
La scomposizione
Una pietra miliare dell’algebra è rappresentata dalla
scomposizione dei polinomi;
Si definisce irriducibile qualsiasi polinomio che non
può essere scomposto;
Scomporre un polinomio vuol dire ridurlo a prodotti
di polinomi che sono irriducibili;
Per scomporre un polinomio ci si regola in base al
numero dei termini del polinomio stesso.
Metodo pratico di scomposizione
Qualunque sia il numero dei termini va verificata la possibilità di
effettuare il raccoglimento totale;
Binomio
Differenze di quadrati, differenze di cubi
differenze di potenze simili
Somme di potenze simili con esponente dispari
Quadrati di binomio
Trinomio
Trinomi del tipo x2+(a+b)x+ab
Cubi di binomi
Quadrinomio
Raccoglimento a fattor comune parziale
Differenza tra quadrato del binomio e quadrato
monomio e viceversa
Trinomi, quadrinomi etc. possono essere scomposti tramite la regola di Ruffini
Raccoglimento a fattor comune
Se i termini di un polinomio hanno tutti in comune uno o più fattori,
questi possono, per la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla
somma, venir raccolti (o messi in evidenza). Il polinomio risulterà
allora scomposto nel prodotto tra il monomio formato da tutti i fattori
comuni (cioè il monomio M.C.D. dei termini del polinomio) ed il
polinomio quoziente tra il polinomio dato ed monomio raccolto. In
altri casi si può mettere in evidenza un polinomio.
Scomponiamo in fattori il polinomio:
Esempi
a 3 -½ a2b + 3 a4 - 5a.
Mettendo in evidenza il fattore a
avremo:
a( a 2 - ½ ab + 3a 3 –5)
Scomponiamo in fattori il polinomio:
5a (a + b) + 3b (a + b) – a2 (a + b).
Mettendo in evidenza il fattore polinomiale
(a + b), comune a tutti i termini del
polinomio, avremo:
Scomposizione
(a +b) (5a + 3b -a 2)
Binomio
Un binomio può presentarsi come differenza di due quadrati
Ricordando il prodotto notevole
(a+b)(a-b)=a2-b2
Da questa eguaglianza letta inversamente si ottiene:
a2-b2=(a+b)(a-b)
Se un binomio si presenta come la differenza di due quadrati può essere
scomposto nel prodotto della somma delle loro basi per la differenza
delle stesse.
Esempi
16a4-1
4x 2 –25y2
si può vedere come
si può vedere come
(4a2)2-(1) 2
(2x)2-(5y) 2
(4a2 +1)(4a 2 -1)
(2x+5y)(2x-5y)
Che si può ancora scomporre in
(4a2 +1)(2a -1)(2a+1)
Approfondimento
Guida agli errori da evitare
Errato, il primo coefficiente non è
2x2-9y2=(2x+3y2)(2x-3y2)
un quadrato perfetto
Errato, la somma dei quadrati non è
4a2+25b2=(2a+5b)(2a-5b)
scomponibile
49s2t4-16r2=(49st2+16r)(49st2-16r) Errato, si sono
scomposte le lettere e non i numeri
4t2-9s4=(2t-3s2) 2
Errato, si è scambiata la differenza di
quadrati con il quadrato del binomio
Binomio
Un binomio può presentarsi come differenza o somma di due cubi,
ricordando i prodotti notevoli
(a+b)(a2-a b+b2) = a3+b3 e (a-b)(a2+a b+b2) = a3-b3
Da questa eguaglianza letta inversamente si ottiene:
a3+b3 = (a+b)(a2-a b+b2) e a3-b3 = (a-b)(a2+a b+b2)
Se un binomio si presenta come la differenza o somma di due cubi può
essere scomposto nel prodotto della differenza o somma delle loro basi
per un trinomio composto dal quadrato della prima base la somma o
differenza delle due basi ed il quadrato della seconda base.
Esempi
Scomposizione
125a3+1
8x 3 –27y3
si può vedere come
si può vedere come
(5a)3+(1) 3
(2x)3-(3y)3
(5a+1)(25a 2 -5a+1)
(2x-3y)(4x2+6xy+9y2)
La scomposizione di un
TRINOMIO di 2°
4x2 + 20x + 25 =
(+2x)2
(2x+5)2
(+5)2
2(+2x)(+5)
Un trinomio di 2° grado ordinato e
completo si può scomporre nel
quadrato di binomio se ha le
caratteristiche sopra esposte
La scomposizione di un
TRINOMIO di 2° del tipo
x2+(a+b)x+ab
x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
5=2+3
Scomposizione
Un trinomio di 2°
6 = 1*6 grado si chiama
“caratteristico”
6 = 2*3 quando il termine noto
non è un quadrato ed
inoltre il termine di 1°
grado non è un doppio
prodotto
Quadrinomi
Un quadrinomio può essere visto come lo sviluppo del
cubo del binomio se si presenta nella forma:
a3+3a2b+3ab2+b3 = (a+b) 3 oppure a3-3a2b+3ab2-b3 = (a-b)3
Esempi
a3+6a2b+12ab2+8b3
Si può vedere come
(a)3+3(a)2(2b)+3(a)(2b)2+(2b)3
(a+2b)3
1-9a+27a2 –27a3
Si può vedere come
(1)3+3(1)2(-3a)+3(1)(-3a)2+(-3a)3
(1-3a)3
La scomposizione di un
QUADRINOMIO del tipo
ac + ad + bc + bd
ax2 + ay2 – bx2 – by2= a (x2 + y2)- b (x2 + y2)=
=(a – b)
Scomposizione
(x2
+
y2)
Un quadrinomio o un
polinomio con una
quantità di elementi
pari, può essere
scomposto con il
RACCOGLIMENTO
PARZIALE se
esistono coppie di
monomi che hanno
un fattore comune
Regola di Ruffini
Coefficienti del
polinomio da scomporre
1 -2
1
4
-3
1 -1
3
1 -1
3
//
Coefficienti del
polinomio
quoziente
Si cambia di
segno la radice
Partiamo da un esempio, dobbiamo
scomporre il polinomio P(x) = x3-2x2+4x-3.
Se alla variabile sostituiamo il valore
numerico 1, il polinomio assume il valore 0
(13-2*12+4*1-3=0).
Dalla regola del resto di Ruffini deduciamo
che il polinomio è divisibile per il binomio
x-1.
Eseguiamo la divisione con la regola di
Ruffini e quindi possiamo scrivere che
x3-2x2+4x-3 = (x-1)(x2-x+3)
Scomposizione
Autori dell’opera.
Quest’opera è stata realizzata nell’ambito di
da
Arturo Levato
Insegnante di matematica
presso l’I.T.I.S. “Galileo
Galilei” di Gioia del Colle –
Ba –
E-mail:
[email protected]
Lucia Giglio
Insegnante di matematica presso
l’I.T.I.S. “Vittorio Emanuele III”
di Palermo
E-mail: [email protected]