MON O MI
Monomio
Un monomio è il prodotto di più fattori costituiti da numeri e da lettere aventi per esponenti numeri naturali.
Monomi
Non sono monomi
‫ ݒ‬+ ܽ‫ݐ‬
ଶ
ܾ∙ℎ
1
∙ ܾ ∙ 3ℎ
2
݈
3
൬1 − ൰ ܾ ∙ ℎ
2
−0,7ܾ ∙ 5ℎଶ
3‫ ݔ‬଴
ܾܽ
‫ݔ‬ଷ
5
‫ݕݔ‬
Monomio privo di lettere
3‫ି ݕݔ‬ଶ
ܽ+ܾ
∙ℎ
2
Monomio nullo
3 = 3‫ ݔ‬଴ = 5ܽ଴ = 5ܽ଴ ‫ ݔ‬଴
3
ܽ+ܾ+ܿ
0 = 0ܽ଴ = 0‫ ݔ‬଴ = 0ܽ଴ ‫ ݔ‬଴
0
Monomio ridotto a forma normale
Un monomio è ridotto a forma normale quando è scritto come prodotto fra un numero e una o più lettere, diverse fra
loro, con eventuali esponenti.
Monomio non ridotto a forma normale
Monomio ridotto a forma normale
3
ܾℎ
2
7
− ܾℎଶ
2
3
൬1 − ൰ ܾ ∙ ℎ
2
1
∙ ܾ ∙ 3ℎ
2
−0,7ܾ ∙ 5ℎଶ
3 ∙ ܽ ∙ 2‫ ݔ‬଴
1
− ܾℎ
2
6ܽ
Coefficiente e parte letterale
In un monomio ridotto a forma normale, il fattore numerico è il coefficiente, le lettere sono la parte letterale.
Monomio
7
− ܾℎଶ
2
−‫ ݕݔ‬ଷ ‫ ݖ‬ଶ
Coefficiente
Parte letterale
7
2
−1
−
Monomio Coefficiente
Parte letterale
ܾℎଶ
ܾℎ
1
ܾ∙ℎ
‫ ݕݔ‬ଷ ‫ ݖ‬ଶ
3
3
‫ ݔ‬଴ oppure ܽ଴ ‫ ݔ‬଴
Grado di un monomio
Il grado di un monomio è la somma di tutti gli esponenti delle lettere.
Il grado di un monomio rispetto a una lettera è l'esponente con cui compare la lettera.
Monomio
7
− ܾܿ ହ ‫ ݔ‬ଶ
2
−2ܾܽ ହ ‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬ଷ
Matematica
a
Grado rispetto alla lettera
b
c
x
y
8
0
1
5
2
0
11
1
5
0
2
3
Grado
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1
O PE R AZ I ONI C ON I MON O MI
Monomi simili
Due monomi sono simili se hanno la stessa parte letterale.
Monomi simili
2ܾܽ
2ܾܽ
3ܾܽ
e
ଶ
e
2
Monomi non simili
3ܾܽ
2ܽ‫ݔ‬
ଶ
e
2
e
2ܽ ܾ
5‫ ݔ‬଴
e
e
ଶ
3ܽ‫ݕ‬
3ܾܽ ଶ
5‫ݔ‬
Addizione e sottrazione di monomi
La somma algebrica di due o più monomi simili è un monomio simile a quelli dati, che ha per coefficiente la somma
algebrica dei coefficienti.
Se i monomi non sono simili la somma algebrica non può essere eseguita.
Operazione corretta
Operazione non corretta
2ܽ + 3ܽ = 5ܽ
3
5
9 − 10
1
ܽ− ܽ =
ܽ = − ܽ
4
6
12
12
2ܽ + 3ܾ = 5ܾܽ
2ܽ + 3ܽ = 5ܽଶ
Monomi opposti
Due monomi sono opposti se sono simili ed hanno coefficienti opposti (i monomi differiscono solo per il segno).
La somma di due monomi opposti è 0.
Esempio
5‫ ݔ‬+ ሺ−5‫ݔ‬ሻ = 5‫ ݔ‬− 5‫ = ݔ‬ሺ5 − 5ሻ‫ = ݔ‬0.
Moltiplicazione di monomi
Il prodotto fra monomi è un monomio che ha:
per coefficiente, il prodotto dei coefficienti
per parte letterale, il prodotto delle parti letterali (si esegue la somma degli esponenti delle lettere uguali) .
Operazione corretta
Operazione non corretta
2ܽଶ ∙ 3ܽହ = ሺ2 ∙ 3ሻ ܽଶାହ = 6 ܽ଻
2
5
5
൬ ܽଷ ܾ൰ ∙ ൬− ܽସ ‫ ݔ‬ଶ ൰ = − ܽ଻ ܾ‫ ݔ‬ଶ
3
6
9
2ܽଶ ∙ 3ܽହ = 6ܽଵ଴
2ܽ ∙ 3ܽ = 6ܽ
Potenza di un monomio
La potenza di un monomio è un monomio che ha:
per coefficiente, la potenza del coefficiente
per parte letterale, la potenza della parte letterale (si moltiplicano gli esponenti delle lettere per l’esponente della potenza) .
Operazione corretta
ሺ3ܽଷ ሻଶ
ଶ
= 3 ∙
ሺܽଷ ሻଶ
= 9ܽ
Operazione non corretta
ሺ3ܽଷ ሻଶ = 9ܽଽ
଺
ଶ
2
4
൬− ܽଷ ܾ൰ = + ܽ଺ ܾ ଶ
3
9
Matematica
ሺ3ܽଷ ሻଶ = 6ܽ଺
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2
Divisibilità fra monomi
Un monomio (dividendo) è divisibile per un altro monomio non nullo (divisore) quando in esso compaiono tutte le lettere
del divisore, con gli esponenti maggiori o uguali.
૜ࢇ૛ ࢈࢞ non è divisibile per ૞ࢇ૜ ࢈࢞૞
5ܽଷ ܾ‫ ݔ‬ହ è divisibile per 3ܽଶ ܾ‫ݔ‬
Divisione fra due monomi
Dati due monomi, il primo divisibile per il secondo, il loro quoziente è un monomio che ha:
per coefficiente, il quoziente dei coefficienti
per parte letterale, il quoziente delle parti letterali (si esegue la differenza degli esponenti delle lettere uguali) .
Operazione corretta
Operazione non corretta
5 ଺ିଷ
5
ܽ
= ܽଷ
2
2
2 ଻ ଶ
5 ସ ଶ
2 6 ଻ିସ ଶିଶ
4
൬ ܽ ܾ‫ ݔ‬൰ : ൬− ܽ ‫ ݔ‬൰ = − ∙ ܽ ܾ ‫ݔ‬
= − ܽଷ ܾ
3
6
3 5
5
5ܽ଺ ∶ 2ܽଷ =
5ܽ଺ ∶ 2ܽଷ =
5 ଶ
ܽ
2
5ܽ଺ ∶ 2ܽଷ = 3ܽଷ
Massimo comune divisore
Il massimo comune divisore (M.C.D.) fra due o più monomi è un monomio che ha:
per coefficiente, il M.C.D. dei valori assoluti dei coefficienti (1 se i coefficienti non sono tutti interi)
per parte letterale, il prodotto delle lettere comuni, ognuna presa una sola volta e con il minimo esponente.
Minimo comune multiplo
Il minimo comune multiplo (m.c.m.) fra due o più monomi è un monomio che ha:
per coefficiente, il m.c.m.dei valori assoluti dei coefficienti (1 se i coefficienti non sono tutti interi)
per parte letterale, il prodotto di tutte le lettere, ognuna presa una sola volta e con il massimo esponente.
‫ܯ‬. ‫ܥ‬. ‫ܦ‬. ሺ4ܽଶ ܾ‫ ; ଻ ݔ‬6ܽସ ܿ ଶ ‫ ݔ‬ଷ ; 18ܽହ ܿ ଶ ‫ݔ‬ሻ = 2ܽଶ ‫ݔ‬
݉. ܿ. ݉. ሺ4ܽଶ ܾ‫ ; ଻ ݔ‬6ܽସ ܿ ଶ ‫ ݔ‬ଷ ; 18ܽହ ܿ ଶ ‫ݔ‬ሻ = 36ܽହ ܾ ܿ ଶ ‫଻ ݔ‬
Matematica
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3
P O LIN O M I
Polinomio
Un polinomio è la somma algebrica di due o più monomi.
Polinomi
Non sono polinomi
ܽ+ܾ
‫ݔ‬
5 + ݈ଶ
ܾ+ℎ
Polinomio particolare
2 3
+
‫ݕ ݔ‬
Polinomio nullo
2ܽ = 2ܽ + 0
0
0 = 0ܽ + 0ܾ
Polinomio ridotto a forma normale
Un polinomio è ridotto a forma normale quando non contiene monomi simili.
Polinomio non ridotto a forma normale
Polinomio ridotto a forma normale
2ܽ − 5ܾ + ܽ
3ܽ − 5ܾ
ଷ
ଶ
ଶ
2ܽଷ ܾ − 2ܿ ଶ
2ܽ ܾ + 4ܿ − 3‫ ݔ‬− 6ܿ + 3‫ݔ‬
Binomio
Trinomio
Quadrinomio
2ܽଷ ܾ + 4ܿ ଶ
2ܽଷ ܾ + 4ܿ ଶ − 7
2ܽଷ ܾ + 4ܿ ଶ − 2‫ ݔ‬− 1
Polinomio formato da 2 monomi non simili
Polinomio formato da 3 monomi non simili
Polinomio formato da 4 monomi non simili
Grado di un polinomio
Il grado di un polinomio, ridotto a forma normale, e il grado maggiore fra i gradi dei suoi termini.
Il grado di un polinomio rispetto a una lettera è il maggiore dei gradi dei suoi termini rispetto a tale lettera.
Polinomio
Grado
2ܽଷ ܾ + 4ܾ ହ ܿ ଶ − 3‫ ଺ ݕݔ‬− 6ܽସ ܿ ଷ + 3‫ ݔ‬ସ − ‫ݕ‬
7
Grado rispetto alla lettera
a
b
c
x
y
4
5
3
4
6
Polinomio omogeneo
Un polinomio, ridotto a forma normale, è omogeneo se tutti i suoi termini hanno lo stesso grado.
Polinomio omogeneo
ଶ
଻
ହ ଶ ଷ
ହ ସ
4ܽ ܾ‫ ݔ‬+ 6ܽ ܾ ‫ ݔ‬− 3ܽ ܾ ‫ݔ‬
Polinomio non omogeneo
4ܽଶ ܾ‫ ଻ ݔ‬+ 6ܽସ ܾ ଶ ‫ ݔ‬ଷ − 3ܽହ ܾ ଶ ‫ݔ‬
Polinomio completo
Un polinomio, ridotto a forma normale, è completo rispetto a una lettera se per tale lettera presenta tutte le potenze,
dal grado massimo fino al grado 0.
Polinomio completo rispetto alla lettera ‫ݔ‬
ଶ
4‫ ݔ‬+ 6‫ ݔ‬− 3
Matematica
Polinomio non completo rispetto alla lettera ‫ݔ‬
4‫ ݔ‬ସ + 6‫ ݔ‬ଷ − 3‫ݔ‬
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4
O PE R AZ I ONI C ON I P OL I NO MI
Addizione di polinomi
La somma di due polinomi è un polinomio che ha per termini tutti i termini dei polinomi addendi.
Sottrazione di polinomi
La differenza di due polinomi è un polinomio che si ottiene addizionando al primo (minuendo) l'opposto del secondo
(sottraendo).
Addizione
ሺ5ܽଶ
Sottrazione
ሺ5ܽଶ
− 3ܽ + 5ܾሻ + ሺ2ܽ − 7ܾ + 4‫ݔ‬ሻ =
= 5ܽ − 3ܽ + 5ܾ + 2ܽ − 7ܾ + 4‫= ݔ‬
= 5ܽଶ − ܽ − 2ܾ + 4‫ݔ‬
− 3ܽ + 5ܾሻ − ሺ2ܽ − 7ܾ + 4‫ݔ‬ሻ =
= 5ܽ − 3ܽ + 5ܾ − 2ܽ + 7ܾ − 4‫= ݔ‬
= 5ܽଶ − 5ܽ + 12ܾ − 4‫ݔ‬
ଶ
ଶ
Moltiplicazione di un monomio per un polinomio
Il prodotto di un monomio per un polinomio è un polinomio che ha come termini i prodotti del monomio per ciascun
termine del polinomio dato.
Moltiplicazione di due polinomi
Il prodotto di due polinomi è un polinomio che si ottiene moltiplicando ogni termine del primo polinomio per ogni
termine del secondo e addizionando tutti i prodotti ottenuti.
Prodotto di un monomio per un polinomio
Prodotto di due polinomi
ሺ−2‫ ݔ‬ଷ ሻ ∙ ሺ3ܽ − ܾ + 4‫ ݔ‬ଶ ሻ =
= −6ܽ‫ ݔ‬ଷ + 2ܾ‫ ݔ‬ଷ − 8‫ ݔ‬ହ
ሺ2‫ ݔ‬ଷ − ‫ݕ‬ሻ ∙ ሺ3ܽ − ܾ + 4‫ ݔ‬ଶ ሻ =
= 6ܽ‫ ݔ‬ଷ − 2ܾ‫ ݔ‬ଷ + 8‫ ݔ‬ଷ − 3ܽ‫ ݕ‬+ ܾ‫ ݕ‬− 4‫ ݔ‬ଶ ‫ݕ‬
Interpretazione geometrica
L'area del rettangolo è ܵ = ሺܽ + ܾሻ ∙ ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻ .
Ma l'area del rettangolo è data anche dalla somma delle
areee dei quattro rettangolini ܵ = ܽ‫ ݔ‬+ ܽ‫ ݕ‬+ ܾ‫ ݔ‬+ ܾ‫ݕ‬
Si conclude pertanto che:
ሺܽ + ܾሻ ∙ ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻ = ܽ‫ ݔ‬+ ܽ‫ ݕ‬+ ܾ‫ ݔ‬+ ܾ‫ݕ‬
Matematica
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5
P R ODO T TI N O TE V OL I
I prodotti notevoli sono particolari moltiplicazioni fra polinomi.
Prodotto della somma di due monomi per la loro differenza
Il prodotto della somma di due monomi per la loro
differenza è il binomio costituito dalla differenza fra il
quadrato del primo e il quadrato del secondo.
ሺ‫ ܫ‬+ ‫ܫܫ‬ሻ ∙ ሺ‫ ܫ‬− ‫ܫܫ‬ሻ = ‫ ܫ‬ଶ − ‫ ܫܫ‬ଶ
Dimostrazione
ሺ‫ ܫ‬+ ‫ܫܫ‬ሻ ∙ ሺ‫ ܫ‬− ‫ܫܫ‬ሻ = ‫ ܫ ∙ ܫ‬− ‫ ܫܫ ∙ ܫ‬+ ‫ ܫ ∙ ܫܫ‬− ‫ ܫ = ܫܫ ∙ ܫܫ‬ଶ − ‫ ܫܫ‬ଶ
Esempi
ሺ2ܽ + 3ܾሻ ∙ ሺ2ܽ − 3ܾሻ = 4ܽଶ − 9ܾ ଶ
ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻ ∙ ሺ‫ ݔ‬− ‫ݕ‬ሻ = ‫ ݔ‬ଶ − ‫ ݕ‬ଶ
ሺ2ܽଷ + 3ܾ ଶ ሻ ∙ ሺ2ܽଷ − 3ܾ ଶ ሻ = 4ܽ଺ − 9ܾ ସ
ሺ‫ ݔ‬+ 3ሻ ∙ ሺ‫ ݔ‬− 3ሻ = ‫ ݔ‬ଶ − 9
Quadrato di un binomio
Il quadrato di un binomio è un trinomio che ha come
termini il quadrato del primo termine, il doppio prodotto
del primo termine per il secondo e il quadrato del secondo.
ሺ‫ ܫ‬+ ‫ܫܫ‬ሻଶ = ‫ ܫ‬ଶ + 2 ∙ ‫ ܫܫ ∙ ܫ‬+ ‫ ܫܫ‬ଶ
Dimostrazione
ሺ‫ ܫ‬+ ‫ܫܫ‬ሻଶ = ሺ‫ ܫ‬+ ‫ܫܫ‬ሻ ∙ ሺ‫ ܫ‬+ ‫ܫܫ‬ሻ = ‫ ܫ ∙ ܫ‬+ ‫ ܫܫ ∙ ܫ‬+ ‫ ܫ ∙ ܫܫ‬− ‫ ܫ = ܫܫ ∙ ܫܫ‬ଶ + 2 ∙ ‫ ܫܫ ∙ ܫ‬+ ‫ ܫܫ‬ଶ
Esempi
ሺ2ܽ − 3ܾሻଶ = 4ܽଶ − 12ܾܽ + 9ܾ ଶ
ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻଶ = ‫ ݔ‬ଶ + 2‫ ݕݔ‬+ ‫ ݕ‬ଶ
ሺ‫ ݔ‬− 3ሻଶ = ‫ ݔ‬ଶ − 6‫ ݔ‬+ 9
ሺ2ܽଷ − 3ܾ ଶ ሻଶ = 4ܽ଺ − 12ܽଷ ܾଶ + 9ܾ ସ
Interpretazione geometrica
L'area del quadrato è ܵ = ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻଶ .
Ma l'area del quadrato è data dalla somma delle aree dei
due quadratini e dei due rettangolini:
ܵ = ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕݔ‬+ ‫ ݕݔ‬+ ‫ ݕ‬ଶ
Si conclude pertanto che:
ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻଶ = ‫ ݔ‬ଶ + 2‫ ݕݔ‬+ ‫ ݕ‬ଶ
Quadrato di un trinomio
Il quadrato di un trinomio è un polinomio
(6 termini) che ha come termini i quadrati dei
tre termini e il doppio prodotto di ciascun
termine per ogni termine che lo segue.
ሺ‫ ܫ‬+ ‫ ܫܫ‬+ ‫ܫܫܫ‬ሻଶ =
= ‫ ܫ‬ଶ + ‫ ܫܫ‬ଶ + ‫ ܫܫܫ‬ଶ + 2 ∙ ‫ ܫܫ ∙ ܫ‬+ 2 ∙ ‫ ܫܫܫ ∙ ܫ‬+ 2 ∙ ‫ܫܫܫ ∙ ܫܫ‬
Dimostrazione
ሺ‫ ܫ‬+ ‫ ܫܫ‬+ ‫ܫܫܫ‬ሻଶ = ሺ‫ ܫ‬+ ‫ ܫܫ‬+ ‫ܫܫܫ‬ሻ ∙ ሺ‫ ܫ‬+ ‫ ܫܫ‬+ ‫ܫܫܫ‬ሻ =
= ‫ ܫ ∙ ܫ‬+ ‫ ܫܫ ∙ ܫ‬+ ‫ ܫܫܫ ∙ ܫ‬+ ‫ ܫ ∙ ܫܫ‬+ ‫ ܫܫ ∙ ܫܫ‬+ ‫ ܫܫܫ ∙ ܫܫ‬+ ‫ ܫ ∙ ܫܫܫ‬+ ‫ ܫܫ ∙ ܫܫܫ‬+ ‫= ܫܫܫ ∙ ܫܫܫ‬
= ‫ ܫ‬ଶ + ‫ ܫܫ‬ଶ + ‫ ܫܫܫ‬ଶ + 2 ∙ ‫ ܫܫ ∙ ܫ‬+ 2 ∙ ‫ ܫܫܫ ∙ ܫ‬+ 2 ∙ ‫ܫܫܫ ∙ ܫܫ‬
Esempi
ሺ‫ ݔ‬+ ‫ ݕ‬+ ‫ݖ‬ሻଶ = ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ + ‫ ݖ‬ଶ + 2‫ ݕݔ‬+ 2‫ ݖݔ‬+ 2‫ݖݕ‬
ሺ2‫ ݔ‬− 3‫ ݕ‬ଶ − 4‫ ݔ‬ଷ ‫ݖ‬ሻଶ = 4‫ ݔ‬ଶ + 9‫ ݕ‬ଶ + 16‫ ݖ ଺ ݔ‬ଶ − 12‫ ݕݔ‬ଶ − 16‫ ݔ‬ସ ‫ ݖ‬+ 24‫ ݔ‬ଷ ‫ ݕ‬ଶ ‫ݖ‬
Matematica
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6
Cubo di un binomio
Il cubo di un binomio è un quadrinomio che ha
come termini il cubo del primo termine, il triplo
del quadrato del primo termine per il secondo, il
triplo del quadrato del secondo per il primo
termine, il cubo del secondo termine.
ሺ‫ ܫ‬+ ‫ܫܫ‬ሻଷ = ‫ ܫ‬ଷ + 3 ∙ ‫ ܫ‬ଶ ∙ ‫ ܫܫ‬+ 3 ∙ ‫ ܫܫ ∙ ܫ‬ଶ + ‫ ܫܫ‬ଷ
Dimostrazione
ሺ‫ ܫ‬+ ‫ܫܫ‬ሻଷ = ሺ‫ ܫ‬+ ‫ܫܫ‬ሻ ∙ ሺ‫ ܫ‬+ ‫ܫܫ‬ሻଶ = ሺ‫ ܫ‬+ ‫ܫܫ‬ሻ ∙ ሺ‫ ܫ‬ଶ + 2 ∙ ‫ ܫܫ ∙ ܫ‬+ ‫ ܫܫ‬ଶ ሻ =
= ‫ ܫ‬ଷ + 2 ∙ ‫ ܫ‬ଶ ∙ ‫ ܫܫ‬+ ‫ ܫܫ ∙ ܫ‬ଶ + ‫ ܫ ∙ ܫܫ‬ଶ + 2 ∙ ‫ ܫܫ ∙ ܫ‬ଶ + ‫ ܫܫ‬ଷ =
= ‫ ܫ‬ଷ + 3 ∙ ‫ ܫ‬ଶ ∙ ‫ ܫܫ‬+ 3 ∙ ‫ ܫܫ ∙ ܫ‬ଶ + ‫ ܫܫ‬ଷ
Esempio
ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻଷ = ‫ ݔ‬ଷ + 3‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬+ 3‫ ݕݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଷ
ሺ3‫ ݕ‬ଶ − 4‫ ݔ‬ଷ ‫ݖ‬ሻଷ = ሺ3‫ ݕ‬ଶ ሻଷ + 3 ∙ ሺ3‫ ݕ‬ଶ ሻଶ ∙ ሺ−4‫ ݔ‬ଷ ‫ݖ‬ሻ + 3 ∙ ሺ3‫ ݕ‬ଶ ሻ ∙ ሺ−4‫ ݔ‬ଷ ‫ݖ‬ሻଶ + ሺ−4‫ ݔ‬ଷ ‫ݖ‬ሻଷ =
= 27‫ ଺ ݕ‬+ 3 ∙ 9‫ ݕ‬ସ ∙ ሺ−4‫ ݔ‬ଷ ‫ݖ‬ሻ + 3 ∙ ሺ3‫ ݕ‬ଶ ሻ ∙ 16‫ ݖ ଺ ݔ‬ଶ − 64‫ ݔ‬ଽ ‫ ݖ‬ଷ =
= 27‫ ଺ ݕ‬− 108‫ ݔ‬ଷ ‫ ݕ‬ସ ‫ ݖ‬+ 144‫ ݕ ଺ ݔ‬ଶ ‫ ݖ‬ଶ − 64‫ ݔ‬ଽ ‫ ݖ‬ଷ =
Potenza di un binomio
Per calcolare la potenza di un binomio con esponente un qualsiasi numero naturale è conveniente utilizzare il cosidetto
Triangolo di Tartaglia.
Triangolo di Tartaglia
ሺ‫ ܫ‬+ ‫ܫܫ‬ሻ଴ = 1
1
1
1
1
1
1
1
3
5
6
2
4
6
ሺ‫ ܫ‬+ ‫ܫܫ‬ሻଷ = ‫ ܫ‬ଷ + 3 ∙ ‫ ܫ‬ଶ ∙ ‫ ܫܫ‬+ 3 ∙ ‫ ܫܫ ∙ ܫ‬ଶ + ‫ ܫܫ‬ଷ
1
4
10
20
ሺ‫ ܫ‬+ ‫ܫܫ‬ሻଶ = ‫ ܫ‬ଶ + 2 ∙ ‫ ܫܫ ∙ ܫ‬+ ‫ ܫ‬ଶ
1
3
10
15
ሺ‫ ܫ‬+ ‫ܫܫ‬ሻଵ = ‫ ܫ‬+ ‫ܫܫ‬
1
5
15
ሺ‫ ܫ‬+ ‫ܫܫ‬ሻସ = ‫ ܫ‬ସ + 4 ∙ ‫ ܫ‬ଷ ‫ ܫܫ‬+ 6 ∙ ‫ ܫ‬ଶ ∙ ‫ ܫܫ‬ଶ + 4 ∙ ‫ ܫܫ ∙ ܫ‬ଷ + ‫ ܫܫ‬ସ
1
ሺ‫ ܫ‬+ ‫ܫܫ‬ሻହ = ‫ ܫ‬ହ + 5‫ ܫ‬ସ ‫ ܫܫ‬+ 10‫ ܫ‬ଷ ‫ ܫܫ‬ଶ + 10‫ ܫ‬ଶ‫ ܫܫ‬ଷ + 5‫ ܫܫ ∙ ܫ‬ସ + ‫ ܫܫ‬ହ
1
6
1
ሺ‫ ܫ‬+ ‫ܫܫ‬ሻ଺ = ‫ ଺ ܫ‬+ 6‫ ܫ‬ହ ‫ ܫܫ‬+ 15‫ ܫ‬ସ ‫ ܫܫ‬ଶ + 20‫ ܫ‬ଷ ‫ ܫܫ‬ଷ + 15‫ ܫ‬ଶ‫ ܫܫ‬ସ + 6‫ ܫܫ ∙ ܫ‬ହ + ‫଺ ܫܫ‬
Esempio
ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻସ = ‫ ݔ‬ସ + 4 ∙ ‫ ݔ‬ଷ ‫ ݕ‬+ 6 ∙ ‫ ݔ‬ଶ ∙ ‫ ݕ‬ଶ + 4 ∙ ‫ ݕ ∙ ݔ‬ଷ + ‫ ݕ‬ସ
ሺ3‫ ݕ‬ଶ − 4‫ ݔ‬ଷ ‫ݖ‬ሻହ =
= ሺ3‫ ݕ‬ଶ ሻହ + 5ሺ3‫ ݕ‬ଶ ሻସ ሺ−4‫ ݔ‬ଷ ‫ݖ‬ሻ + 10ሺ3‫ ݕ‬ଶ ሻଷ ሺ−4‫ ݔ‬ଷ ‫ݖ‬ሻଶ + 10ሺ3‫ ݕ‬ଶ ሻଶ ሺ−4‫ ݔ‬ଷ ‫ݖ‬ሻଷ + 5ሺ3‫ ݕ‬ଶ ሻ ∙ ሺ−4‫ ݔ‬ଷ ‫ݖ‬ሻସ + ሺ−4‫ ݔ‬ଷ ‫ݖ‬ሻହ
= 243‫ݕ‬ଵ଴ − 1620‫ ݔ‬ଷ ‫ ݖ ଼ ݕ‬+ 4320‫ ݖ ଺ ݕ ଺ ݔ‬ଶ − 576‫ ݔ‬ଽ ‫ ݕ‬ସ ‫ ݖ‬ଷ + 3840‫ݔ‬ଵଶ ‫ ݕ‬ଶ ‫ ݖ‬ସ − 1024‫ ݔ‬ଵହ ‫ ݖ‬ହ
Matematica
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7
La divisione fra polinomi
Un polinomio è divisibile per un monomio (non nullo) se esiste un polinomio che, moltiplicato per il monomio
divisore, dà il polinomio iniziale.
Un polinomio è divisibile per un monomio se ogni suo termine è divisibile per tale monomio.
Dati due polinomi, il primo divisibile per il secondo, il loro quoziente è un monomio che ha:
per coefficiente, il quoziente dei coefficienti
per parte letterale, il quoziente delle parti letterali (si esegue la differenza degli esponenti delle lettere uguali) .
Divisione esatta fra due polinomi
Un polinomio ‫ ܣ‬è divisibile per un polinomio ‫ ܤ‬se esiste un
polinomio ܳ che, moltiplicato per ‫ܤ‬, dà come prodotto ‫ܣ‬.
‫ܳ=ܤ∶ܣ‬
‫݁ݏ ݋݈݋ݏ ݁ ݁ݏ‬
‫ܣ= ܳ∙ܤ‬
Esempio
Il polinomio ‫ ݔ = ܣ‬ହ + 5‫ ݔ‬ଷ − 5‫ ݔ‬ଶ + 6‫ ݔ‬− 3
è divisibile per il polinomio
Infatti, esiste il polinomio ܳ = ‫ ݔ‬ଷ + 2‫ ݔ‬− 1 tale che:
ሺ‫ ݔ‬ଶ + 3ሻሺ‫ ݔ‬ଷ + 2‫ ݔ‬− 1ሻ = ‫ ݔ‬ହ + 5‫ ݔ‬ଷ − 5‫ ݔ‬ଶ + 6‫ ݔ‬− 3 .
‫ݔ = ܤ‬ଶ + 3
Divisione con resto fra due polinomi
La divisione fra due polinomi può essere eseguita anche se il polinomio dividendo non è divisibile per il polinomio
divisore.
Dati due polinomi ‫ ܣ‬e ‫ ܤ‬nella variabile ‫ݔ‬, con il grado di ‫ ܤ‬minore o uguale al grado di ‫ܣ‬, è sempre possibile ottenere
due polinomi ܳ e ܴ tali che: ‫ ܳ ∙ ܤ = ܣ‬+ ܴ
con ܳ polinomio quoziente e ܴ polinomio resto.
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8
Procedimento per effettuare la divisione con resto fra due polinomi
Per effettuare la divisione fra due polinomi ሺ7‫ ݔ‬ଷ + 6‫ ݔ‬ସ − 5‫ ݔ‬+ 4ሻ ∶ ሺ‫ ݔ‬+ 2‫ ݔ‬ଶ − 3ሻ occorre:
1. ordinare i due polinomi secondo le potenze decrescenti
della stessa lettera
2. dividere il I° termine del dividendo per il I° termine del
divisore
3. moltiplicare l’opposto del quoziente ottenuto per il
polinomio divisore
ሺ+6‫ ݔ‬ସ + 7‫ ݔ‬ଷ − 5‫ ݔ‬+ 4ሻ ∶ ሺ2‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݔ‬− 3ሻ
+૟࢞૝ + 7‫ ݔ‬ଷ
− 5‫ ݔ‬+ 4
૛࢞૛ + ‫ ݔ‬− 3
૜࢞૛
+6‫ ݔ‬ସ + 7‫ ݔ‬ଷ
− 5‫ ݔ‬+ 4
ସ
ଷ
ଶ
−6‫ ݔ‬− 3‫ ݔ‬+ 9‫ݔ‬
2‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݔ‬− 3
૜࢞૛
4. sommare in colonna i termini simili
+6‫ ݔ‬ସ + 7‫ ݔ‬ଷ
− 5‫ ݔ‬+ 4
ସ
ଷ
ଶ
−6‫ ݔ‬− 3‫ ݔ‬+ 9‫ݔ‬
= +4‫ ݔ‬ଷ + 9‫ ݔ‬ଶ − 5‫ ݔ‬+ 4
2‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݔ‬− 3
3‫ ݔ‬ଶ
5. dividere il I° termine del resto parziale per il I° termine
del divisore
+6‫ ݔ‬ସ + 7‫ ݔ‬ଷ
− 5‫ ݔ‬+ 4
ସ
ଷ
ଶ
−6‫ ݔ‬− 3‫ ݔ‬+ 9‫ݔ‬
= +૝࢞૜ + 9‫ ݔ‬ଶ − 5‫ ݔ‬+ 4
૛࢞૛ + ‫ ݔ‬− 3
3‫ ݔ‬ଶ + ૛࢞
6. moltiplicare l’opposto del II termine del quoziente per il
polinomio divisore
+6‫ ݔ‬ସ + 7‫ ݔ‬ଷ
− 5‫ ݔ‬+ 4
−6‫ ݔ‬ସ − 3‫ ݔ‬ଷ + 9‫ ݔ‬ଶ
= +4‫ ݔ‬ଷ + 9‫ ݔ‬ଶ − 5‫ ݔ‬+ 4
−4‫ ݔ‬ଷ − 2‫ ݔ‬ଶ + 6‫ݔ‬
2‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݔ‬− 3
3‫ ݔ‬ଶ + ૛࢞
7. sommare in colonna i termini simili
+6‫ ݔ‬ସ + 7‫ ݔ‬ଷ
− 5‫ ݔ‬+ 4
ସ
ଷ
ଶ
−6‫ ݔ‬− 3‫ ݔ‬+ 9‫ݔ‬
= +4‫ ݔ‬ଷ + 9‫ ݔ‬ଶ − 5‫ ݔ‬+ 4
−4‫ ݔ‬ଷ − 2‫ ݔ‬ଶ + 6‫ݔ‬
= +7‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݔ‬+ 4
2‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݔ‬− 3
3‫ ݔ‬ଶ + 2‫ݔ‬
+6‫ ݔ‬ସ + 7‫ ݔ‬ଷ
૛࢞૛ + ‫ ݔ‬− 3
7
3‫ ݔ‬ଶ + 2‫ ݔ‬+
2
8. dividere il I° termine del resto parziale per il I° termine
del divisore
−6‫ ݔ‬ସ − 3‫ ݔ‬ଷ + 9‫ ݔ‬ଶ
=
+4‫ ݔ‬ଷ + 9‫ ݔ‬ଶ − 5‫ ݔ‬+ 4
−4‫ ݔ‬ଷ − 2‫ ݔ‬ଶ + 6‫ݔ‬
= +ૠ࢞૛ + ‫ ݔ‬+ 4
+6‫ ݔ‬ସ + 7‫ ݔ‬ଷ
−6‫ ݔ‬ସ − 3‫ ݔ‬ଷ + 9‫ ݔ‬ଶ
9. moltiplicare l’opposto del III termine del quoziente per il
polinomio divisore e sommare in colonna i termini simili.
=
− 5‫ ݔ‬+ 4
− 5‫ ݔ‬+ 4
+4‫ ݔ‬ଷ + 9‫ ݔ‬ଶ − 5‫ ݔ‬+ 4
−4‫ ݔ‬ଷ − 2‫ ݔ‬ଶ + 6‫ݔ‬
= +7‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݔ‬+ 4
଻
2‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݔ‬− 3
3‫ ݔ‬ଶ + 2‫ ݔ‬+
7
2
ଶଵ
ଶ
ଶଽ
+ ଶ
−7‫ ݔ‬ଶ − ଶ ‫ ݔ‬+
=
ହ
−ଶ‫ݔ‬
La divisione ha termine quando il grado del polinomio RESTO è minore del grado del polinomio DIVISORE.
Matematica
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9
La regola di Ruffini
La regola di Ruffini è un procedimento per effettuare la divisione di un polinomio per un binomio del tipo ‫ ݔ‬− ܽ .
Per effettuare la divisione di un polinomio per un binomio del tipo ‫ ݔ‬− ܽ , con la regola di Ruffini occorre:
1. ordinare i due polinomi secondo le potenze decrescenti della stessa lettera
2. costruire la tabella di Ruffini ed inserire:
nella prima riga, i coefficienti dei termini del polinomio dividendo;
al primo posto della seconda riga, l’opposto del termine noto del divisore
3. abbassare il primo coefficiente del dividendo nella terza riga;
4. moltiplicare il coefficiente appena abbassato per il numero rosso e scrivere
il risultato sotto il secondo coefficiente del dividendo;
5. sommare questo numero appena calcolato con il secondo coefficiente del
dividendo e scrivere il risultato, incolonnato, nella terza riga
6. moltiplicare il numero trovato per il numero rosso e scrivere il risultato
sotto il terzo coefficiente del dividendo;
7. sommare questo numero inserito con il terzo coefficiente del dividendo e
scrivere il risultato, incolonnato, nella terza riga
8. moltiplicare il numero trovato per il numero rosso e scrivere il risultato
sotto il quarto coefficiente del dividendo;
9. sommare questo numero inserito con il quarto coefficiente del dividendo e
scrivere il risultato, incolonnato, nella terza riga
ሺ2‫ ݔ‬ଷ − 3‫ ݔ‬ଶ − 5‫ ݔ‬+ 4ሻ ∶ ሺ‫ ݔ‬− ૜ሻ
૜
૜
૜
૜
૜
૜
૜
૜
2 −3 −5 +4
2 −3 −5 +4
2
2 −3 −5 +4
2
+6
2 −3 −5 +4
+6
2 +3
2 −3 −5 +4
+6 +9
2 +3
2 −3 −5 +4
+6 +9
2 +3 +4
2 −3 −5
+4
+6 +9 +12
2 +3 +4
2 −3 −5
+4
+6 +9 +12
2 +3 +4 +16
Il quoziente ha per coefficienti i numeri ricavati nella terza riga. Tenendo conto poi, che il dividendo ha grado 3 e il
divisore ha grado 1, il quoziente deve avere grado 2.
Pertanto il quoziente e il resto della divisione sono:
ܳሺ‫ݔ‬ሻ = 2‫ ݔ‬ଶ + 3‫ ݔ‬+ 4
Matematica
e
ܴ = +16
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10
Il teorema del resto
Il resto della divisione del polinomio ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ∶ ሺ‫ ݔ‬− ܽሻ è uguale al valore che assume il polinomio ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ quando alla
variabile ‫ ݔ‬si sostituisce il valore ܽ. In simboli: ܴ = ‫݌‬ሺܽሻ .
Dimostrazione
Dalla divisione ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ∶ ሺ‫ ݔ‬− ܽሻ si ha: ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ = ሺ‫ ݔ‬− ܽሻ ∙ ܳሺ‫ݔ‬ሻ + ܴ
Sostituendo ad ‫ ݔ‬il valore ܽ, si ottiene: ‫݌‬ሺܽሻ = ሺܽ − ܽሻ ∙ ܳሺܽሻ + ܴ
Cioè: ‫݌‬ሺܽሻ = 0 ∙ ܳሺܽሻ + ܴ ; ‫݌‬ሺܽሻ = ܴ .
Esempio
Calcolare il resto della divisione: 2‫ ݔ‬ଷ − 5‫ ݔ‬ଶ − 4‫ ݔ‬+ 1 ∶ ሺ‫ ݔ‬+ 2ሻ
Soluzione
ܴ = ‫݌‬ሺ−2ሻ = 2ሺ−2ሻଷ − 5ሺ−2ሻଶ − 4ሺ−2ሻ + 1 = −16 − 20 + 8 + 1 = −27 .
Il teorema di Ruffini
Un polinomio ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ è divisibile per il binomio ‫ ݔ‬− ܽ
⇔
‫݌‬ሺܽሻ = 0
Esempio
Il polinomio ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ = 2‫ ݔ‬ଷ + 4‫ ݔ‬ଶ + 3‫ ݔ‬+ 6 è divisibile per il binomio ‫ ݔ‬+ 2 perché ‫݌‬ሺ−2ሻ = 0
Infatti: ‫݌‬ሺ−2ሻ = 2 ∙ ሺ−2ሻଷ + 4 ∙ ሺ−2ሻଶ + 3 ∙ ሺ−2ሻ + 6 = −16 + 16 − 6 + 6 = 0
La differenza di due cubi
Il binomio ‫ ݔ‬ଷ − ܽଷ è divisibile per il binomio ‫ ݔ‬− ܽ.
Infatti: ‫݌‬ሺܽሻ = ܽଷ − ܽଷ = 0 .
Calcoliamo il quoziente mediante la regola di Ruffini.
ܳሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ ݔ‬ଶ + ܽ‫ ݔ‬+ ܽଶ
Si ottiene quindi:
Cioè la seguente regola:
ࢇ
1
0
0
+ܽ +ܽଶ
1 +ܽ +ܽଶ
−ܽଷ
+ܽଷ
0
‫ ݔ‬ଷ + ܽଷ = ሺ‫ ݔ‬− ܽሻሺ‫ ݔ‬ଶ − ܽ‫ ݔ‬+ ܽଶ ሻ
La differenza di due cubi è uguale al prodotto fra la differenza delle due basi e il trinomio formato dal
quadrato della prima base, dal quadrato della seconda base e dal prodotto (positivo) delle due basi.
In simboli:
‫ ܫ‬ଷ − ‫ ܫܫ‬ଷ = ሺ‫ ܫ‬− ‫ܫܫ‬ሻ ∙ ሺ‫ ܫ‬ଶ + ‫ ܫܫ ∙ ܫ‬+ ‫ ܫܫ‬ଶ ሻ
La somma di due cubi
Procedendo in modo analogo, si dimostra che il binomio ‫ ݔ‬ଷ + ܽଷ è divisibile per ‫ ݔ‬+ ܽ .
Si ottiene quindi:
‫ ݔ‬ଷ + ܽଷ = ሺ‫ ݔ‬+ ܽሻሺ‫ ݔ‬ଶ − ܽ‫ ݔ‬+ ܽଶ ሻ
Cioè la seguente regola:
La somma di due cubi è uguale al prodotto fra la somma delle due basi e il trinomio formato dal quadrato
della prima base, dal quadrato della seconda base e dal prodotto (negativo) delle due basi.
In simboli:
Esempi
‫ ݔ‬ଷ଴ − 27
‫ ܫ‬ଷ + ‫ ܫܫ‬ଷ = ሺ‫ ܫ‬+ ‫ܫܫ‬ሻ ∙ ሺ‫ ܫ‬ଶ − ‫ ܫܫ ∙ ܫ‬+ ‫ ܫܫ‬ଶ ሻ
=
‫ ݔ‬ଽ + 125‫ ݕ‬ଶସ
Matematica
ሺ‫ ݔ‬ଵ଴ ሻଷ − ሺ3ሻଷ =
=
ሺ‫ ݔ‬ଷ ሻଷ + ሺ5‫ ଼ ݕ‬ሻଷ
ሺ‫ ݔ‬ଵ଴ − 3ሻ ∙ ሺ‫ ݔ‬ଶ଴ + 3‫ ݔ‬ଵ଴ + 9ሻ
=
ሺ‫ ݔ‬ଷ + 5‫ ଼ ݕ‬ሻ ∙ ሺ‫ ଺ ݔ‬− 5‫ ݔ‬ଷ ‫ ଼ ݕ‬+ 25‫ݕ‬ଵ଺ ሻ
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