IL PROBLEMA
Somma fra frazioni algebriche
by Dipartimento di Matematica
ITAer “De Pinedo” Roma
Esci
Come facevi finora?
Fra frazioni numeriche:
Fra espressioni letterali semplici:
Es:
Es:
1
5
…..
3 − 10
── − ── = ──── = ────
18
6
9
1
5
…..
b − 5a
── − ── = ──── = ────
ab2
ab
b2
Cosa fai?
Scomponi in fattori primi
i denominatori:
Cosa fai?
Scomponi in fattori primi
i denominatori:
6 = 2·3
ab = a·b
9 = 32
b2 = b2
Poi calcoli
il mcm: 2·32 = 18
Poi calcoli
il mcm: a·b2 = ab2
Quindi procedi
come di consueto
con i numeratori
Quindi procedi
come di consueto
con i numeratori
Esci
Procediamo in modo analogo
anche per le frazioni algebriche
Fra frazioni numeriche:
Fra frazioni algebriche:
Es:
Es:
1
5
…..
3 − 10
── − ── = ──── = ────
6
9
18
1
5
?
──── − ──── = ───
??
(2x+2) (x2+x)
Cosa hai fatto ?
Cosa faresti?
Hai scomposto in fattori
primi i denominatori:
Devi scomporre in fattori
primi i denominatori !!!
Ma i denominatori
sono polinomi!!!
6 = 2·3
9 = 32
Poi hai calcolato
il mcm:
2·32 = 18
Potresti poi calcolare il mcm
Quindi hai proceduto come di
consueto con i numeratori
Quindi procederesti come di
consueto con i numeratori
Ma allora….
Esci
MA ALLORA…
IL PROBLEMA E’ CAMBIATO:
SI DEVONO SCOMPORRE I
POLINOMI!!
MA COME SI FA??
Esci
Cosa significa quindi …
scomporre un polinomio in fattori?
Significa scrivere
il polinomio
come prodotto di polinomi di grado minore o
uguale a quello del polinomio dato ossia:
In altri termini:
Forma additiva
x2 + x
Addendo
Addendo
somma
Polinomio di 2° grado
Forma moltiplicativa
x
Fattore
(x+1)
Fattore
moltiplicazione
2 Polinomi di 1° grado
Tramite il metodo di scomposizione in fattori
Esci
Formula additiva
Formula moltiplicativa
Alcuni esempi
Forma additiva
Polinomio di 1° grado
3a
+
Addendo
somma
Addendo
+
3a
+
2
Addendo Addendo
somma
(1+2b)
Fattore
Fattore
moltiplicazione
Polinomio di 2° grado
a2
2 Polinomi di 1° grado
3a
6ab
Addendo
Forma moltiplicativa
somma
2 Polinomi di 1° grado
(a+1)
(a+2)
Fattore
Fattore
moltiplicazione
Esci
Polinomi Riducibili o Irriducibili ?
Un polinomio che si può scrivere come
prodotto di polinomi ciascuno dei quali
di grado minore o al più uguale al
polinomio dato
Riducibile
Un polinomio che non può essere
scritto come prodotto di polinomi
Irriducibile
3a + 6ab = 3a (1+2b)
• 3a (1+2b)
sono due fattori irriducibili
a2 + 3a + 2 = (a+1) (a+2)
• (a+1) e (a+2)
(verifica:3a·1+3a·2b=3a + 6ab)
(verifica: a2+2a+a+4= a2+3a+2)
sono due fattori irriducibili
Esci
Ma come si fa a scomporre un
polinomio in fattori?
Come ti sarai reso conto
il problema della fattorizzazione è diventato molto più complesso.
Lavorando con i numeri le difficoltà insorgono quando
si trattano numeri “abbastanza grandi”,
invece quando si lavora con i polinomi
si possono incontrare notevoli difficoltà
anche quando consideriamo polinomi di grado “piccolo”
Perché accade questo ?
Perché non esistono delle regole che consentono, in generale, di
trovare la scomposizione di un polinomio
E allora come facciamo ?
Prima di tutto:
NON TI SCORAGGIARE
Vai avanti e lo scoprirai !!!!
Esci
Linee guida per la scomposizione (1)
Non esistono delle regole
ben precise per la
scomposizione dei polinomi
MA
Esistono, in ogni caso, dei
metodi da scegliere in modo
opportuno, in funzione del
polinomio
Come si fa a scegliere il metodo più opportuno ?
Ci si basa principalmente su due criteri guida
Raccogliere a fattor comune il
M.C.D., se esiste e se è diverso
da 1, tra tutti termini del
polinomio
Nota Bene:
L’abilità nella scelta del
metodo più opportuno e
nella combinazione dei vari
metodi possono essere
acquisite solo con
l’esperienza e l’esercizio
Contare i termini che compongono
il polinomio
Esci
Linee guida per la scomposizione (2)
1° Passo
Verificare se è possibile
applicare il Metodo di
Raccoglimento a Fattor
Comune (o Totale)
SI
Applicare la tecnica
di Raccoglimento
Totale
POI
Verificare se il
polinomio è
ulteriormente
scomponibile
NO
2° Passo
COME ?
Contare i
termini del
polinomio
Sono
Due ?
Sono
Tre ?
Non sono due,
né tre, né
quattro o sei
Sono
Quattro?
Sono
Sei ?
Applica la tecnica
Applica la tecnica
oppure
Applica la tecnica
•Differenza di due quadrati
•Somma o differenza di due
cubi
Applica la tecnica
•Sviluppo del quadrato di
un binomio
•Un trinomio di secondo
grado
Non è possibile
applicare
nessuna delle
tecniche
suggerite
•Cubo di un binomio
•Differenza di due quadrati
di cui uno è il quadrato di un
binomio
3° Passo
Tentare con la
tecnica di
Scomposizione
Parziale
Tentare con il
Teorema e la
Regola di Ruffini
•Quadrato di un trinomio
•Differenza dei quadrati
di due binomi
Per continuare,
seleziona una tecnica
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