La fattorizzazione dei polinomi
Cos’è la fattorizzazione
Fattorizzare o scomporre un polinomio significa poterlo vedere come prodotto di due o più polinomi; se
poi ciascun polinomio di tale prodotto non è ulteriormente fattorizzabile, allora la scomposizione è in fattori
primi.
Un polinomio è riducibile se è possibile scomporlo nel prodotto di altri polinomi, tutti di grado inferiore a
quello dato. Si dice irriducibile in caso contrario.
Metodi di scomposizione
I metodi per eseguire la scomposizione si basano sui seguenti criteri:
• i raccoglimenti a fattor comune parziale o totale
• il riconoscimento di prodotti notevoli
• la regola del trinomio caratteristico
• l’individuazione dei divisori della forma x – a
1
La fattorizzazione dei polinomi
Raccoglimenti
RACCOGLIMENTO TOTALE A FATTOR COMUNE
• Si individua il M.C.D. fra i termini del polinomio
•Si scrive il polinomio come prodotto fra il fattore comune per il polinomio che si ottiene dividendo
ciascuno dei suoi monomi per il M.C.D. calcolato.
ESEMPIO
5mn – 10mn2 + 15m2n = 5  m  n – 2  5  m  n  n + 3  5  m  m  n =
= 5mn(1 – 2n + 3m)
2
La fattorizzazione dei polinomi
Raccoglimenti
RACCOGLIMENTO PARZIALE A FATTOR COMUNE
Si applica nel caso in cui sia possibile effettuare raccoglimenti parziali tra gruppi di termini , in modo tale
che poi sia possibile effettuare un raccoglimento totale.
ESEMPIO
2ay + 2by + ax + bx = 2y(a + b) + x(a + b) = (a + b) (2y + x)
raccoglimento parziale
raccoglimento totale
3
La fattorizzazione dei polinomi
Riconoscimento dei prodotti notevoli
TRINOMIO SCOMPONIBILE NEL QUADRATO DI BINOMIO
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 − 2ab + b2 = (a − b)2 = (b – a)2
ESEMPI
1.
a2 + 8a + 16 = (a + 4)2
(a)2
(4)2
2a4
4
La fattorizzazione dei polinomi
Riconoscimento dei prodotti notevoli
ESEMPI
2.
9x2 – 12xy + 4y2 = (3x – 2y)2 = (2y – 3x)2
(3x)2
(2y)2
2  3x  2y
ESEMPI
3.
4a2 – 6xy + 9x2
(2a)2
non è lo sviluppo di un quadrato
(3x)2
2a  3x
5
La fattorizzazione dei polinomi
Riconoscimento dei prodotti notevoli
POLINOMIO SCOMPONIBILE NEL QUADRATO DI UN TRINOMIO
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc= (a + b + c)2
ESEMPI
1.
a2 + 2ab + b2 + 4a + 4b + 4 = (a + b + 2)2
(a)2
(b)2
2ab
(2)2
2a2
2b2
6
La fattorizzazione dei polinomi
Riconoscimento dei prodotti notevoli
ESEMPI
2.
x2 – 4xy3 + 6x + 4y6 – 12y3 + 9
(x)2 = (−x)2
= (x – 2y3 + 3)2 = (− x +2y3 – 3)2
(2y3)2 = (−2y3)2 (3)2 = (−3)2
2  (−2y3)(3) = 2  (2y3)(−3)
2  (−x)  (−2y3) = −2  (−x)  (2y3)
2  (x)  (3) = 2(−x)(−3)
7
La fattorizzazione dei polinomi
Riconoscimento dei prodotti notevoli
DIFFERENZA DI QUADRATI
a2 − b2 = (a + b)  (a – b)
ESEMPIO
1.
9x2 − y2 = (3x + y) (3x – y)
(3x)2 (y)2
ESEMPIO
2.
9z2 − (z + 5)2 = [3z + (z + 5)]  [3z – (z + 5)] =
(3z)2
(z +
5)2
= (3z + z +5)  (3z – z – 5) =
= (4z + 5)  (2z – 5) =
8
La fattorizzazione dei polinomi
Riconoscimento dei prodotti notevoli
QUADRINOMIO SCOMPONIBILE NEL CUBO DI UN BINOMIO
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 = (a − b)3
ESEMPIO
1.
x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3 = (x + 2y)3
(x)3
(2y)3
3  (x)2  (2y)
3  x  (2y)2
9
La fattorizzazione dei polinomi
Riconoscimento dei prodotti notevoli
ESEMPIO
2.
a6 − 9a4b + 27a2b2 − 27b3 = (a2 − 3b)3
(a2)3
(−3b)3
3(a2)2  (−3b)
3(a2)  (−3b)2
10
La fattorizzazione dei polinomi
Forma del trinomio caratteristico:
Trinomio caratteristico
x2 + (a + b)x + ab
Procedura di scomposizione
• si scrive il polinomio per esteso eseguendo la moltiplicazione indicata: x2 + ax + bx + ab
• Si effettua un raccoglimento parziale fra i primi due e i secondi due monomi: x(x + a) + b(x + a)
• Si esegue un raccoglimento totale: (x + a) (x + b)
Regola di scomposizione:
x2 + (a + b)x + ab = (x +a) (x + b)
ESEMPIO
x2 + 5x + 6 = x2 + (2 + 3)x + 2  3 = (x + 2) (x + 3)
11
La fattorizzazione dei polinomi
Ricerca dei divisori di un polinomio
• Quando la scomposizione di un polinomio P non può essere effettuata con uno dei metodi precedenti
si cerca di individuare dei divisori del polinomio della forma (x – a).
• Applicando il teorema di Ruffini si cercano i valori di a per i quali P(a) = 0.
• Se il coefficiente di grado massimo di P è uguale a 1, i valori di a, se esistono, vanno ricercati fra i
divisori del termine noto di P(x).
ESEMPIO
x3 + 4x2 + x − 6
Possibili valori di a: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6
12
La fattorizzazione dei polinomi
Ricerca dei divisori di un polinomio
Se il coefficiente del termine di grado massimo di P è diverso da 1, i valori di a, se esistono, vanno
ricercati fra i divisori del termine noto di P(x) e fra le frazioni che hanno al numeratore i divisori del
termine noto e al denominatore i divisori del coefficiente del termine di grado massimo.
ESEMPIO
2x3 + 3x2 + 11x + 6
Divisori di 6: ± 1, ± 2, ± 3, ±6
Divisori di 2: ± 1, ± 2
1
2
Possibili valori di a: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ±
3
,±
2
13
La fattorizzazione dei polinomi
Scomposizione con Ruffini
ESEMPIO
P(x) = 2x3 + 9x2 + 7x – 6
1
2
• Possibili valori di a: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ±
• Calcolo di P(a):
3
,±
2
P(1) = 2 + 9 + 7 – 6 ≠ 0
P(−1) = −2 + 9 − 7 – 6 ≠ 0
P(−2) = −16 + 36 − 14 – 6 = 0
continua
14
La fattorizzazione dei polinomi
Scomposizione con Ruffini
• Divisione con la regola di Ruffini
2
9
−4
2
5
−2
• 1a scomposizione di P(x): (x
• Scomponiamo
7 −6
−10 6
−3
0
+ 2) (2x2 + 5x –3)
Q(x) = 2x2 + 5x – 3
seguendo i passi precedenti:
3
2
 Possibili valori di a: ± 1, ± 3, ±
Inutile provare per ± 1 in quanto P(± 1) ≠ 0
 Q(3) = 18 + 15 – 3 ≠ 0
Q(−3) = 18 − 15 – 3 = 0
continua
15
La fattorizzazione dei polinomi
Scomposizione con Ruffini
2
 Regola di Ruffini
2
Quindi:
−3
−6 +3
−3
 scomposizione:
5
−1
0
(x + 3) (2x – 1)
2x3 + 9x2 + 7x – 6 = (x + 2) (x + 3) (2x – 1)
16
La fattorizzazione dei polinomi
Somma e differenza di cubi
Applicando il teorema di Ruffini si ottiene:
x 3 + a3
=
(x + a)

(x2 – ax + a2)
somma delle basi
quadrato della
prima base
quadrato della
seconda base
prodotto cambiato
di segno delle due basi
x 3 − a3
=
(x − a)

(x2 + ax + a2)
differenza delle basi
ESEMPIO
x3 – 27 = (x – 3) (x2 +3x + 9)
8y3 + 1 = (2y + 1) (4y2 − 2y + 1)
17
La fattorizzazione dei polinomi
Somme e differenze di potenze
Ricorda che:
• Qualunque differenza di potenze pari può essere interpretata come differenza di quadrati.
ESEMPI
x4 – 1 = (x2)2 – (1)2 = (x2 – 1) (x2 + 1) = (x – 1) (x + 1) (x2 + 1)
x6 − 1 = (x3 – 1) (x3 + 1) = (x – 1) (x2 + x + 1) (x +1) (x2 – x + 1)
differenza
di cubi
somma
di cubi
• Le somme di potenze con esponenti multipli di 3 possono essere scomposte come somme di cubi.
ESEMPIO
x6 + 1 = (x2)3 + 1 = (x2 + 1) (x4 − x2 + 1)
somma di cubi
18
La fattorizzazione dei polinomi
Sintesi
Nella pratica, per scomporre un polinomio conviene tenere presenti le seguenti considerazioni:
• controllare se è possibile eseguire un raccoglimento totale o parziale
• riferirsi a regole particolari guardando il numero dei termini del polinomio; se è un:
binomio
trinomio
quadrinomio
polinomio di sei termini
differenza di quadrati
x2 – a2 = (x – a) (x + a)
somma di quadrati
x2 + a2 irriducibile
somma di cubi
x3 + a3 = (x + a) (x2 − ax + a2)
differenza di cubi
x3 – a3 = (x − a) (x2 + ax + a2)
quadrato di un trinomio
a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2
trinomio caratteristico
x2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)
cubo di un binomio
a2 ± 3a2b +3ab2 ± b3 = (a ± b)3
differenza di due quadrati
a2 + 2ab + b2 – x2 = (a + b)2 – x2 = (a + b + x) (a + b − x)
quadrato di un trinomio
a2 + 4b2 + 9 + 4ab − 6a – 12b = (a + 2b – 3)2
differenza dei quadrati di due binomi
a2 + 2a + 1 – x2 + 2xy − y2 = (a + 1)2 − (x – y)2 =
= (a + 1 + x – y) (a + 1 – x + y)
• cercare i divisori della forma x – a con il teorema di Ruffini.
19
La fattorizzazione dei polinomi
M.C.D. e m.c.m. tra polinomi
Per determinare il M.C.D. fra due o più polinomi:
•si scompongono i polinomi in fattori,
•si scrive il prodotto dei soli fattori comuni con l’esponente più piccolo con cui compaiono.
Per determinare il m.c.m. fra due o più polinomi:
•si scompongono i polinomi in fattori,
•si scrive il prodotto dei fattori comuni e non comuni con l’esponente più grande con cui compaiono.
Seguono esempi
20
La fattorizzazione dei polinomi
M.C.D. e m.c.m. tra polinomi
ESEMPIO
Dati i seguenti polinomi, calcoliamo M.C.D. e m.c.m.:
8x2 + 16xy + 8y2
4x4 – 4x2y2
12x2 + 12xy
Scomponiamo in fattori i tre polinomi:
• 8x2 + 16xy + 8y2 = 8(x2 + 2xy + y2) = 8(x + y)2
• 4x4 – 4x2y2 = 4x2(x2 – y2) = 4x2(x – y) (x + y)
• 12x2 + 12xy = 12x(x + y)
M.C.D. = 4(x
+ y)
m.c.m. = 24x2(x
+ y)2 (x – y)
21