Contenuti minimi Matematica
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Home
La scomposizione di un polinomio in fattori
Le operazioni con le frazioni algebriche
Le eguaglianze algebriche: identità ed equazioni
I sistemi di equazioni di 1° grado
La scomposizione di un polinomio in fattori
Scomporre un polinomio in fattori significa trasformarlo
in un prodotto di polinomi e monomi.
Per scomporre un polinomio in fattori si possono applicare
vari procedimenti. La scelta del procedimento dipende da
come si presenta il polinomio da scomporre. Si potranno
anche applicare più procedimenti nella stessa
scomposizione.
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




Raccoglimenti
Binomi
Trinomi particolari
Quadrinomi particolari
Scomposizione mediante la Regola di Ruffini
Quadro riassuntivo dei metodi di scomposizione
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Esempi guidati di raccoglimenti
totali
1 - Scomporre x3+2x2-x=
•Si calcola il massimo comune divisore tra x3, x2,x, cioè si moltiplicano tra
loro i fattori comuni con il minimo esponente. Nel nostro caso MCD = x.
•Si scrive il MCD trovato “in evidenza”, successivamente si apre una parentesi
tonda e si scrivono i termini che si ottengono dividendo ciascun termine del
polinomio di partenza per il MCD, si chiude la parentesi. Cioè:
x ( x3:x + 2x2:x – x:x) =
ATTENTO! Le divisioni nella parentesi si svolgono mentalmente, infatti, in
pratica, si scrive direttamente
x ( x2 + 2x -1 )
Esempi guidati di raccoglimenti
totali
Scomporre 2a( x+1) – 4b( x +1 ) =
•Si calcola il massimo comune divisore tra 2 a ( x+1 ), 4 b ( x+1 ), cioè si
moltiplicano tra loro i fattori comuni con il minimo esponente. Nel nostro
caso MCD = 2 ( x+1 ).
Si scrive il MCD trovato “in evidenza”, successivamente si apre una
parentesi tonda e si scrivono i termini che si ottengono dividendo ciascun
termine del polinomio di partenza per il MCD, si chiude la parentesi. Cioè:
2( x+1 )[ 2a(x+1) : 2(x+1) – 4b(x+1) : 2(x+1)]=
ATTENTO! Le divisioni nella parentesi si svolgono mentalmente, infatti, in
pratica, si scrive direttamente
2(x+1)(a – 2b)
Esempi guidati di raccoglimenti
parziali
Scomporre xa + 4 ay + 2 xb + 8b y=
Osserviamo che non si può procedere con un raccoglimento totale perché
il MCD tra tutti i termini è 1!
Osserviamo, però, che il 1° e 3° termine hanno un MCD diverso da 1
come anche il 2° e il 4°!
Cioè:
xa + 4a y + 2b x + 8b
MCD= x
In pratica si procede così:
y=
MCD = 4y
x (xa:x + 2bx:x) + 4y (4ay:4y + 8by:4y) =
ATTENTO! Le divisioni nella parentesi si svolgono mentalmente, infatti, in
pratica, si scrive direttamente
x ( a + 2b) + 4y (a + 2b)=
Possiamo ora procedere con il raccoglimento totale di (a+2b) e scrivere:
(a + 2b) (x + 4y)
Verifica: Scomponi i seguenti polinomi in fattori
Cliccando su soluzioni potrai controllare i tuoi risultati
1° 27x2-9x4+18x6-9x8=
4° 2ax+2ab+3x+3b= 7° x8-16b4=
2° 8x6-y6=
5° x4-10x2y2+25y4=
8° x2-11x+30=
3° 8x3-14x2+7x-1=
6° 16x3y2-2y5=
9° 4ba2-8ab2+4b3=
soluzioni
Le operazioni con le frazioni algebriche
Una frazione algebrica è il quoziente di due polinomi,
il secondo dei quali diverso da zero.
o Addizione e sottrazione di frazioni algebriche
o Moltiplicazione tra frazioni algebriche
o Divisione tra frazioni algebriche
o Potenza di frazioni algebriche
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Verifica: Risolvi le seguenti espressioni
Cliccando su ogni traccia potrai controllare i procedimenti di risoluzione
2x
2y
2 xy
1 2



2
x  xy xy  y x  y
2
x 2  5x
3
x2  4
. 2
.

x  2 x  2 x 3x  15
a 2  25
5a 2  25a
3
: 3

2
a  5a  25 a  125
dm  m 2 d 2  
d 2  m2 
4
.

.d  m 

2
2  2

2  
d  m 
d m 
 a  2a
5  2
 a 4
3
2
2

 

Le eguaglianze algebriche: identità ed
equazioni
• identità ed Equazioni: generalità (Identità o equazione? – Tipi
di equazione – Equazioni determinate, indeterminate, impossibili – Forma
normale, grado – Soluzioni )
• Principi di equivalenza:
1° principio – 2° principio – L’equilibrio
delle equazioni
• Procedimento risolutivo di una equazione numerica
intera di 1° grado
• Procedimento risolutivo di una equazione numerica
fratta di 1° grado
• Procedimento risolutivo di una equazione letterale
intera di 1° grado
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Verifica: Trova le soluzioni delle seguenti equazioni
Cliccando sulle tracce potrai controllare i procedimenti risolutivi
0
1
2
0
3
0
4
0
9( x  2)  2  9 x  2(12 x  1)
2
2
3  2x 4x  3
5 x  1 43

2

15
5
10
15
x  2 x 1
x 1
6x  1

 2
 2
x  2 x  2 x  4 x  4x  4
ax  (a  1)( a  1)  (a  1)  x
2
I sistemi di equazioni di 1° grado
o Generalità sui sistemi di equazioni:
* soluzioni, forma normale, grado
* sistema determinato, indeterminato,
impossibile.
o Metodi di risoluzione:
* Metodo di sostituzione
* Metodo di riduzione
* Matrici e determinanti – Metodo di Cramer
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Verifica: Risolvi i seguenti sistemi con i metodi indicati.
Cliccando su ogni traccia potrai controllare lo svolgimento
1 Risolvi con il metodo di sostituzio ne :
7 x  5 y  3

 x  2 y  14
2 Risolvi con il metodo di riduzione :
 8 x  3 y  13

2 x  5 y  1
3 Risolvi con il metodo di Cramer :
 x  2 y 3x  4 y
 2 
3
x  y x  2y


1
2
 5
B

Binomio: polinomio formato da due soli termini.
Es: 2x+y ; 5a2 -b
D


Dividendo:è il primo termine della divisione
Divisore: è il secondo termine della divisione
divisore
dividendo
40
4
resto
9
4
quoto
o Denominatore: è il termine che si trova sotto il segno di
frazione
Numeratore
denominatore
7
9
M

o
Monomio: espressione letterale che non contiene operazioni di addizione e
sottrazione
3ab
-ab
- ½ a2
Monomi simili: due o più monomi si dicono simili se hanno la stessa parte
letterale
3ab
-ab
o M.C.D.(massimo comune divisore tra numeri o polinomi): si
scompongono in fattori primi i numeri o i polinomi; si moltiplicano tra loro
i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta, con il minimo
esponente
M.C.D. ( 20; 16 ) = ( 22* 5 ; 24 ) = 22
M.C.D. [ ( x2 – 1 ); x2 – x ] = [ ( x – 1 )( x + 1 ) ; x ( x – 1 ) ] = ( x – 1 )
o m.c.m.(minimo comune multiplo tra numeri o polinomi): si
scompongono in fattori primi i numeri o i polinomi; si moltiplicano tra loro
i fattori comuni, presi una sola volta, con il massimo esponente
m.c.m. ( 15; 18 ) = ( 3 * 5 ; 2 * 32 ) = 2 * 32 * 5 = 90
m.c.m. [ ( x2 – 1 ); x2 – x ] = [ ( x – 1 )( x + 1 ) ; x ( x – 1 ) ] = x ( x – 1 ) ( x + 1 )
N

Numeratore: è il termine che si trova sopra il segno di frazione
denominatore
7
9
Numeratore
P

Polinomio: è la somma algebrica di monomi interi
2ab+4a
4x2  4x 1
Q

Quadrinomio: è un polinomio formato da 4 termini
4 a + 2b – a2 + 5b3
R

Regola di Ruffini: permette di svolgere la divisione tra un polinomio
ordinato e completo e un binomio di 1° grado con il coefficiente del
termine di 1° grado uguale a 1. per illustrare questa regola svolgiamo la
3
2
divisione
2 x

 4 x  x  5 : ( x  3)
+2
Ordiniamo i coefficienti come nel prospetto,
Cambiando il segno del termine noto:
+2
+4
-1
+5
+6
+3
+4
-1
+5
+3
Scriviamo il primo coefficiente sotto la linea orizzontale e moltiplichiamolo
per +3; trascriviamo il risultato +6 sotto il secondo coefficiente +4 e
sommiamo trascrivendo il risultato +10 sotto la linea orizzontale
+2 +10
+2
+3
+4
-1
+5
+6 +30 +87
+2 +10 +29 +92
Moltiplichiamo ora anche +10 per +3 e trascriviamo il risultato +30, sotto
il terzo coefficiente -1; sommiamo algebricamente e trascriviamo il
risultato +29 sotto la linea orizzontale. Moltiplichiamo ancora +29 per +3
e trascriviamo il risultato + 87 sotto il termine noto +5; sommiamo
algebricamente e trascriviamo il risultato +92 sotto la linea orizzontale
Il quoto della divisione sarà il polinomio 2 x2 + 10 x + 29
Osserviamo che il grado del polinomio quoto è inferiore di 1 rispetto
al grado del polinomio dividendo!
con resto +92
S

Semplificazione di una frazione algebrica: Semplificare una frazione
algebrica significa dividere il suo numeratore e denominatore per un
fattore comune. La frazione si dirà semplificata ai minimi termini se non si
potrà ulteriormente semplificare. Per semplificare una frazione si procede
così:
* Si scompongono il numeratore e il denominatore della frazione
* Si eliminano dal numeratore e dal denominatore i fattori
comuni
x 3  5x 2  6 x x( x  3)( x  2) x( x  2)


2
( x  3)( x  3)
( x  3)
x 9
T

Trinomio: è un polinomio formato da tre termini
ad es: 5ab + 6b + c