Equazioni di 2◦ grado
Antonino Leonardis
Introduzione
Solitamente per trovare la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado si utilizza il completamento del quadrato. Adesso vedremo un modo
leggermente alternativo per ottenere tale formula, che però fa capire come
essa sia legata alla somma, differenza e prodotto delle due soluzioni.
Ricordiamo che un polinomio generico di 2◦ grado in una sola incognita
x è della forma ax2 + bx + c per certi parametri a, b, c (con a 6= 0 altrimenti
non è di 2◦ grado). Un’equazione di 2◦ grado in una sola incognita è quindi,
ridotta in forma normale, un’uguaglianza del tipo:
ax2 + bx + c = 0.
Ricordiamo anche che un sistema di più equazioni ha per grado il prodotto
dei gradi delle singole equazioni. Nei prossimi capitoletti considereremo due
valori incogniti x1 , x2 , la loro somma s, la loro differenza d e il loro prodotto
p.
1
Problema: trovare due numeri sapendo la loro
somma e la loro differenza
Il problema si traduce nel sistema:
x1 + x2 = s
x1 − x2 = d.
Col metodo di riduzione si ottiene:
2x1 = s + d
2x2 = s − d
cioè:
x1 = s+d
2
x2 = s−d
2 .
Si osservi che questa soluzione semplicemente ci dice che geometricamente i
due valori si ottengono (sulla retta reale) aggiungendo e sottraendo al loro
punto medio (s/2) la metà della loro distanza (|d|/2).
1
2
Problema: trovare due numeri sapendo la loro
somma e il loro prodotto
Anche qui abbiamo il sistema:
x1 + x2 = s
x1 x2 = p.
Si noti che questo sistema è di 2◦ grado, perché tale è il grado della seconda
equazione1 . Abbiamo la seguente uguaglianza notevole:
s2 − d2 = 4p
ottenibile in due modi:
1. Usando s2 = x21 + x22 + 2p, d2 = x21 + x22 − 2p.
2. Scrivendo s2 − d2 = (s + d)(s − d) e utilizzando i valori trovati prima
per i due termini di tale prodotto (2x1 e 2x2 ).
Dunque abbiamo d in funzione di s e p:
p
d = ± s2 − 4p
e usando le formule viste nel paragrafo precedente otteniamo:
p
s ± s2 − 4p
.
x1 , x2 =
2
Formula risolutiva delle equazioni di 2◦ grado
3
Per il teorema di Ruffini, un polinomio monico (cioè con coefficiente di x2
uguale a 1) che si annulli per almeno un valore di x, supponendolo scritto
nella forma x2 − sx + p (quindi s è l’opposto del coefficiente della x), si può
sempre scomporre come:
x2 − sx + p = (x − x1 )(x − x2 )
dove x1 , x2 sono i valori (eventualmente coincidenti) per cui tale polinomio
vale 0. E in effetti con un calcolo diretto vediamo subito che s e p sono
esattamente somma e prodotto delle soluzioni x1 , x2 , in accordo con le
notazioni usate nel paragrafo precedente. Dunque l’equazione generica ax2 +
bx + c = 0 può essere riscritta, dividendo per a, come:
b
c
x2 + x + = 0
a
a
1
E in effetti ci sono due soluzioni, ottenibili per simmetria una dall’altra scambiando
le incognite.
2
e cosı̀ si vede che vale s = − ab e p = ac . Riutilizzando le formule precedenti
abbiamo la formula risolutiva:
q
b
b2
c
√
− a ± a2 − 4 a
−b ± b2 − 4ac
x1 , x2 =
=
2
2a
in cui si suole scrivere ∆ = b2 − 4ac, che viene chiamato discriminante
dell’equazione. Esso è dunque legato alla differenza delle radici, e determina
se l’equazione ha soluzione o meno (se è negativo non ci sono soluzioni, se è
0 la differenza tra le soluzioni è 0 cioè coincidono, se è positivo ci sono due
soluzioni). La scrittura dunque si semplifica come:
√
−b ± ∆
x1 , x2 =
.
2a
4
Problema: punti estremali di un polinomio di 2◦
grado
Si ponga d’ora in poi x0 = s/2, senza supporre necessariamente che il polinomio x2 − sx + p abbia effettivamente delle soluzioni reali. Nel caso in
cui le abbia, x0 è per quanto visto la loro media aritmetica. Vedremo ora
un’altra dimostrazione della formula risolutiva, che si focalizza soprattutto
su tale x0 e che quindi ci farà capire molte proprietà di tale valore.
Consideriamo il seguente polinomio:
(x − x0 )2 = x2 − 2x0 x + x20 = x2 − sx + x20 .
Si vede dunque che il polinomio di partenza x2 − sx + p differisce da esso
solo per una costante. Scriviamo dunque:
(x − x0 )2 − k = x2 − sx + p
e vediamo tale costante k che valore ha:
x20 − k = p → k = x20 − p =
s2 − 4p
4
che nel caso l’equazione sia risolubile corrisponde come abbiamo già visto a
d2
4 .
Dunque abbiamo che l’equazione di partenza è equivalente a (x − x0 )2 = k, e
nel caso k ≥ 0 (che equivale alla solita condizione ∆ > 0) possiamo estrarre
la radice quadrata ottenendo:
√
√
x − x0 = ± k → x = x0 ± k.
3
Sostituendo al posto di x0 e k le formule in s e p che li definiscono riotteniamo
quindi, come era da aspettarsi, la solita formula:
p
s ± s2 − 4p
x1 , x2 =
.
2
Proprietà importanti
• Abbiamo scritto il polinomio x2 − sx + p nella forma (x − x0 )2 − k:
dunque esso assumerà valori sempre maggiori o uguali a −k, e solo per
x = x0 assume tale valore minimo.
• Da tale forma si vede anche che per valori equidistanti da x0 il polinomio assume lo stesso valore (ovvero il quadrato della distanza meno
k).
• Il polinomio generico ax2 +bx+c lo potremo scrivere come a(x−x0 )2 −
∆
∆
4a (Esercizio: fare i conti). Dunque il valore − 4a è il massimo o il
minimo (a seconda del segno di a) assunto dal polinomio e tale valore
viene assunto solo per x = x0 . Anche in questo caso resta la simmetria
vista precedentemente.
5
Altre combinazioni notevoli di x1 , x2
Dato un numero intero n (preferibilmente non nullo) indichiamo con sn la
somma delle potenze n-esime di x1 e x2 , cioè sn = xn1 + xn2 . Ad esempio,
s1 = s, la somma semplice delle due soluzioni incognite. Per n negativo
supponiamo che nessuna delle radici sia uguale a 0 (cioè per Ruffini che
c 6= 0). In generale è possibile trovare relazioni notevoli tra tale valore e
i valori di s e p, ed eventualmente anche con a, b e c del polinomio più
generico (non monico). Vediamo alcuni esempi importanti:
• Si ha s2 = s2 + 2p (somma dei quadrati più doppio prodotto), quindi:
s2 = s2 − 2p =
b2 − 2ac
a2
• Si ha, riducendo a denominatore comune:
s−1 =
1
1
s
−b/a
b
=− .
+
= =
x1 x2
p
c/a
c
Tale valore poteva essere ottenuto anche notando che gli inversi delle
radici sono le soluzioni dell’equazione cy 2 + by + a = 0, e la somma
delle soluzioni di tale equazione è chiaramente − cb .
4
• Combinando i ragionamenti già fatti nel modo che più si preferisce si
può ottenere anche:
s2
b2 − 2ac
s−2 = 2 =
p
c2
Regola di Cartesio
Osservazioni preliminari
Ricordiamo che per due numeri positivi distinti a, b vale a > b ↔ 1/a < 1/b.
Supponiamo che la somma di due numeri con segno diverso sia negativa:
allora il numero negativo è necessariamente quello predominante, ovvero
avrà valore assoluto più grande. Ad esempio −56 + 47 è negativo perché
56 > 47. Se adesso passiamo agli inversi dei due numeri, però, la somma
deve diventare positiva: infatti i valori assoluti si scambiano di ordine per
quanto osservato inizialmente e quindi è adesso l’inverso positivo ad essere
1
1
predominante. Nel nostro esempio − 56
+ 47
è positivo (per la precisione
56−47
9
uguale a 56·47 = 56·47 ).
Dimostrazione della regola
Supponiamo che il polinomio ax2 + bx + c non abbia coefficienti nulli e non
abbia discriminante negativo. Sappiamo dunque che s1 = s = −b/a (la
somma delle radici) e s−1 = −b/c (la somma dei loro inversi). Tra la prima
somma e la seconda notiamo che i segni degli addendi non cambiano ma
viene invertito il rapporto dei loro valori assoluti (se la prima radice è più
piccola in valore assoluto, il suo inverso sarà più grande dell’inverso dell’altra sempre in valore assoluto).
Associamo al polinomio la sequenza dei segni dei suoi coefficienti. Ad esempio a −x2 −x+2 associamo −−+. Contiamo in tale sequenza i cambiamenti
di segno (nell’esempio considerato c’è un solo cambiamento, dal secondo −
al terzo +, mentre i segni di a e b sono uguali), che corrisponderanno a
quanti tra s1 e s−1 sono positivi2 . Si ha:
• Se non ci sono cambiamenti di segno vuol dire che s1 e s−1 sono
entrambi negativi, quindi almeno una radice è sicuramente negativa;
anche l’altra deve essere negativa, altrimenti come osservato prima s1
e s−1 avrebbero segni diversi (il che si può anche vedere osservando
che in tal caso p = c/a = s1 /s−1 sarebbe negativo). Dunque le due
soluzioni sono negative.
2
La frazione −b/a è positiva se e solo se a e b hanno segno diverso, e similmente per
−b/c.
5
• Se ci sono due cambiamenti di segno vuol dire che s1 e s−1 sono
entrambi positivi e con un ragionamento simile al precedente si ottiene
che anche le due soluzioni sono positive.
• Se c’è un solo cambiamento di segno vuol dire che s1 e s−1 sono
discordi, dunque anche le due soluzioni sono discordi con valore
assoluto diverso. Nel caso il cambiamento di segno sia tra a e b significa
che s1 è positivo, dunque la soluzione positiva ha valore assoluto più
grande (è predominante), mentre nel caso il cambiamento avvenga tra
b e c avviene il viceversa.
Disequazioni generiche di 2◦ grado
6
Come già visto, possiamo facilmente fattorizzare un polinomio generico di
2◦ grado conoscendone le radici:
ax2 + bx + c = a(x2 − sx + p) = a(x − x1 )(x − x2 ).
Dunque per studiare il segno di un polinomio di 2◦ grado basta trovare
i valori di x1 e x2 e poi studiare il segno del prodotto appena ottenuto.
Nel caso invece non ci siano soluzioni, ovvero per ∆ < 0, dalla scrittura
ax2 + bx + c = a(x − x0 )2 + −∆
4a otteniamo:
• a(x − x0 )2 ha lo stesso segno di a tranne nel caso x = x0 in cui si
annulla.
•
−∆
4a
ha numeratore positivo e denominatore che è multiplo positivo di
a, quindi ha lo stesso segno di a.
Equivalentemente, abbiamo visto che in questo caso x2 − sx + p è sempre
positivo (≥ −k) e il polinomio di partenza si ottiene moltiplicando quest’ultimo per a. Da tali considerazioni è facile dedurre la regola generale: se il
polinomio ax2 +bx+c ha discriminante ∆ < 0, allora esso ha segno costante
ed uguale a quello di a.
7
Problema: trovare due numeri sapendo la somma dei loro quadrati e il loro prodotto
Abbiamo già considerato la somma s2 dei quadrati di x1 e x2 . Con questa
notazione, i prodotti notevoli del quadrato di un binomio, che lo studente dovrebbe a questo punto conoscere molto bene, si possono scrivere brevemente
come:
s2 = s2 + 2p
d2 = s2 − 2p
cioè a parole:
6
• Il quadrato della somma è la somma dei quadrati più il doppio prodotto.
• Il quadrato della differenza è la somma dei quadrati meno il doppio
prodotto.
Ricordando la formula x1 , x2 = s±d
2 , i prodotti notevoli appena ripassati
ci permettono di risolvere il problema del titolo, che come lo studente può
verificare (scrivendo le definizioni di s2 e p come sistema) è di 4◦ grado e
quindi ammette quattro soluzioni:
√
√
± s2 + 2p ± s2 − 2p
x1 , x2 =
.
2
La formula appena scritta ammette quattro scelte per i due segni (++,
+−, −+, −−) che corrispondono appunto alle quattro soluzioni. Possiamo
scriverla meglio come:
√
√
s2 + 2p ± s2 − 2p
x1 , x2 = ±
2
in cui il segno tra i due addendi distingue le due incognite x1 e x2 . Ogni
incognita dunque potrà assumere i quattro valori possibili, e l’altra incognita
assumerà il valore in cui si cambia il segno tra i due radicali3 . La precisazione
appena fatta si può giustificare osservando che il prodotto delle due soluzioni
(che è un prodotto notevole di somma e differenza) deve necessariamente
dare p.
8
Problema: trovare due numeri sapendo la somma e la differenza dei loro quadrati.
Consideriamo ora anche la differenza dei quadrati di x1 e x2 : con notazione
simile, scriviamo d2 = x21 − x22 . Come possiamo dunque trovare x1 , x2 in
funzione di s2 e d2 ? Beh, pensandoci un po’, possiamo trovare i loro quadrati
x21 e x22 : infatti conosciamo la loro somma (s2 ) e la loro differenza (d2 ), e il
problema relativo l’abbiamo già risolto:
x21 , x22 =
s2 ± d2
2
e dunque:
r
s2 ± d2
2
ma ovviamente non sappiamo se x1 e x2 sono positivi o negativi.
|x1 |, |x2 | =
3
Quindi ci sono due coppie di soluzioni identiche, a seconda del segno davanti alla
frazione, ma in cui x1 e x2 vengono scambiati: si osservi che p e s2 non vengono modificati
da tale operazione di scambio per la proprietà commutativa di somma e prodotto.
7
9
Problema: trovare la differenza dei quadrati (d2 )
di due numeri conoscendo la somma dei quadrati
(s2 ) e il prodotto (p).
Supponiamo adesso di conoscere s2 e p. Come possiamo calcolare facilmente
d2 ? Facendo un ragionamento analogo, conosciamo la somma di x21 e x22 e
il loro prodotto (x21 x22 = p2 ). Dunque vale la relazione notevole (vedi il
problema già trattato “trovare due numeri sapendo la loro somma e il loro
prodotto”):
s22 − d22 = 4p2
p
da cui d2 = ± s22 − (2p)2 .
10
Problema: radicale doppio
p
√
Supponiamo che un radicale doppio a ± b si possa scrivere nella forma
s = x1 + x2 in cui x1 e x2 siano radicali (quadrati) semplici.
√ Per definizione
2
di radicale, saranno valide solo le soluzioni di s = a ± b con s > 0 (mi
raccomando: assicurarsi di aver capito bene questo passaggio). Siccome
i√loro quadrati sono liberi da radicali, si dovrà avere che a = s2 mentre
b conterrà per forza di cose tutta la parte del doppio prodotto, in cui
potrebbero invece comparire radicali. Dunque b = (2p)2 . Cerchiamo ora di
scrivere d2 in funzione di a e b. Nel paragrafo precedente abbiamo risolto
questo problema, ottenendo:
q
p
d2 = ± s22 − (2p)2 = ± a2 − b
e siccome, come appena ribadito, i quadrati di x1 e x2 sono liberi da radicali,
a2 − b dovrà necessariamente essere un quadrato perfetto per poter avere
una scrittura del genere. Scriviamo dunque x1 e x2 in funzione di s2 e d2 ,
come visto in precedenza (problema “trovare due numeri sapendo la somma
e la differenza dei loro quadrati”):
s
r
√
s2 ± d2
a ± a2 − b
|x1 |, |x2 | =
=
.
2
2
Dunque il radicale doppio (che abbiamo scritto come s = x1 + x2 ) vale:
s
s
√
√
2
a+ a −b
a − a2 − b
s=
±
.
2
2
Attenzione: dei quattro segni possibili per x1 , x2 abbiamo escluso i due casi
in cui la prima radice abbia segno negativo, altrimenti è facile vedere che s
è negativo contro le ipotesi, come osservato prima. Il segno della seconda
8
√
radice, invece, è necessariamente uguale al segno di b nel radicale doppio
originario
(infatti
la soluzione col + è maggiore di quella col −, cosı̀ come
p
p
√
√
a + b > a − b).
Ricapitolazione - riassunto dei concetti fondamentali
Problema: trovare due numeri sapendo la loro somma e la
loro differenza
• Risolvendo il sistema:
x1 + x2 = s
x1 − x2 = d
si ottiene 2x1 = s + d, 2x2 = s − d cioè:
x1 = s+d
2
x2 = s−d
2 .
Problema: trovare due numeri sapendo la loro somma e il loro
prodotto
• Il sistema da risolvere (di secondo grado) è:
x1 + x2 = s
x1 x2 = p.
p
Usando l’uguaglianza notevole s2 − d2 = 4p si ha d = ± s2 − 4p e
quindi la formula risolutiva:
p
s ± s2 − 4p
.
x1 , x2 =
2
Formula risolutiva delle equazioni di 2◦ grado
• Per il teorema di Ruffini e per calcolo diretto si ha sempre x2 − sx +
p = (x − x1 )(x − x2 ) e quindi, siccome l’equazione di secondo grado
ax2 + bx + c = 0 si può riscrivere x2 + ab x + ac , ottenendo s = − ab e
p = ac , abbiamo la formula risolutiva:
√
−b ± b2 − 4ac
x1 , x2 =
2a
in cui sostituendo ∆ = b2 −4ac (il discriminante) si ottiene la scrittura
compatta:
√
−b ± ∆
x1 , x2 =
.
2a
9
• Il discriminante è legato alla differenza delle eventuali soluzioni e determina se l’equazione è risolubile:
– Per ∆ < 0 l’equazione non è risolubile (sotto radice compare un
numero negativo).
– Per ∆ = 0 l’equazione ha due soluzioni con differenza 0, ovvero
coincidenti.
– Per ∆ > 0 l’equazione ha due soluzioni distinte.
Problema: punti estremali di un polinomio di 2◦ grado
• Il polinomio x2 − sx + p si può scrivere nella forma (x − x0 )2 − k con
x0 = s/2 e k = x20 − p.
√
• Da tale scrittura si ottengono facilmente le soluzioni x1 , x2 = x0 ± k
e questa formula è identica a quella trovata precedentemente tramite
Ruffini.
∆
.
• Più in generale ax2 + bx + c si può scrivere nella forma a(x − x0 )2 − 4a
• Questo significa anche che per x = x0 il polinomio assume valore
∆
estremale (massimo o minimo a seconda del segno di a) uguale a − 4a
.
• Inoltre per valori di x che hanno la stessa distanza da x0 il polinomio
assume lo stesso valore (ovvero a per il quadrato della distanza meno
∆
la costante 4a
).
• Dunque il grafico di y = ax2 + bx + c ha la retta x = x0 come asse di
simmetria e lo interseca
in quello che viene chiamato vertice, ovvero il
∆
punto V x0 , − 4a
.
Altre combinazioni notevoli di x1 , x2
• Le combinazioni notevoli delle radici sn = xn1 + xn2 si possono ottenere
in funzione di s e p (e quindi a, b, c), e in questi appunti viene visto
qualche esempio.
• Importanti sono s1 = s = − ab e s−1 = − cb perché dal loro segno si può
dedurre la regola di Cartesio.
Disequazioni generiche di 2◦ grado
• Studio del segno di ax2 + bx + c - distinguiamo due casi:
1. ∆ ≥ 0: in questo caso esistono le soluzioni x1 , x2 dell’equazione
associata e possiamo scrivere ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ),
quindi il segno si ottiene con il solito schemino per i tre fattori del
prodotto (per il primo fattore a il segno è ovviamente costante).
10
2. ∆ < 0: in questo caso possiamo scrivere ax2 + bx + c = a(x −
2
x0 )2 + −∆
4a da cui deduciamo la regola: se il polinomio ax +bx+c
ha discriminante ∆ < 0, allora esso ha segno costante ed uguale
a quello di a.
• Piccola curiosità: se il discriminante è nullo (quindi x1 = x2 = x0 ), le
due scritture a(x − x1 )(x − x2 ) e a(x − x0 )2 + −∆
4a coincidono.
• In particolare da quanto visto finora è possibile stabilire alcune caratteristiche fondamentali del grafico di y = ax2 + bx + c quali: l’asse
di simmetria, il vertice, le intersezioni con gli assi (sostituendo y = 0
per l’asse x e x = 0 per l’asse y), l’appartenenza al semipiano y > 0 o
y < 0 a seconda del segno del polinomio.
11
Problema: trovare due numeri sapendo la somma dei loro quadrati e il loro prodotto
• Ripasso: indichiamo con s2 la somma dei quadrati di x1 e x2 (s2 =
x21 + x22 ).
• I prodotti notevoli del quadrato di un binomio si possono scrivere
usando le nostre notazioni nella seguente forma compatta:
s2 = s2 + 2p
d2 = s2 − 2p
• Usando i prodotti notevoli appena visti possiamo risolvere il problema
(che è di 4◦ grado) ottenendo le quattro soluzioni (corrispondenti alle
quattro scelte dei segni ++, +−, −+, −−):
√
√
± s2 + 2p ± s2 − 2p
x1 , x2 =
.
2
• Notazione: indichiamo con d2 = x21 − x22 la differenza dei quadrati
delle solite incognite x1 e x2 .
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Problema: trovare due numeri sapendo la somma e la differenza dei loro quadrati.
• Questo, sempre di 4◦ grado, può essere risolto cercando dapprima i
quadrati dei numeri, di cui conosciamo somma e differenza. Questo fornisce i valori assoluti delle due incognite (i segni sono invece
indeterminati, ottenendo quindi quattro possibili coppie):
r
s2 ± d2
|x1 |, |x2 | =
2
11
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Problema: trovare la differenza dei quadrati
(d2 ) di due numeri conoscendo la somma dei
quadrati (s2 ) e il prodotto (p).
• Applicando la formula notevole s2 −d2 = 4p ai quadrati dei due numeri,
si ottiene:
s22 − d22 = 4p2
p
da cui d2 = ± s22 − (2p)2 .
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Problema: radicale doppio
p
√
• Il radicale doppio a ± b può essere semplificato come somma di
due radicali (quadrati) semplici x1 e x2 solo nel caso in cui a2 − b sia
un quadrato perfetto perché questo è appunto il quadrato di d2 . In tal
caso, applicando le varie formule appena ricapitolate, si ha la formula
risolutiva:
s
s
√
√
q
√
a + a2 − b
a − a2 − b
a ± b = s = x1 + x2 =
±
2
2
√
con segno tra le due radici uguale a quello di b nel radicale doppio
originario.
12