Immaginiamo di voler dividere il polinomio
P(x)
per il binomio
(x - a).
E' possibile trovare il QUOZIENTE e il RESTO della divisione senza eseguirla applicando la
REGOLA di RUFFINI.
Vediamo in cosa consiste tale regola.
Supponiamo di avere un POLINOMIO di GRADO n ORDINATO secondo le POTENZE
DECRESCENTI di x.
Esempio:
2x3 -4x2 +7x +5
polinomio di grado 3 ordinato secondo le potenze decrescenti di x.
Vogliamo DIVIDERE il polinomio per il binomio (x-a),
Esempio:
vogliamo dividerlo per
x - 4.
Quindi vogliamo eseguire:
(2x3 -4x2 +7x +5) : (x - 4).
Il QUOZIENTE della divisione sarà un POLINOMIO ORDINATO di grado n-1. Quindi il
nostro quoziente sarà un polinomio di grado 2, del tipo:
x2 +x + termine noto.
Per trovare i COEFFICIENTI del QUOZIENTE scriviamo su una LINEA ORIZZONTALE i
COEFFICIENTI del DIVIDENDO ricordando che il termine noto va scritto al di là di una linea
verticale posta alla destra degli altri coefficienti,. Come segue:
Al di là della linea verticale di sinistra scriviamo il valore di a, nel nostro caso 4.
Iniziamo ora a calcolare i coefficienti del quoziente: essi verranno scritti al di sotto della linea
orizzontale.
Il PRIMO COEFFICIENTE del quoziente è uguale al PRIMO COEFFICIENTE del
DIVIDENDO. Nel nostro caso esso è 2: lo riscriviamo al di sotto della linea orizzontale.
Ogni COEFFICIENTE SUCCESSIVO si ottiene MOLTIPLICANDO il COEFFICIENTE
PRECEDENTE per a e AGGIUNGENDO al prodotto il COEFFICIENTE del DIVIDENDO
che ha lo STESSO POSTO.
Quindi il secondo coefficiente lo otteniamo moltiplicando il primo coefficiente del quoziente
(ovvero 2) per a (nel nostro caso 4) e aggiungendo al prodotto (8) il coefficiente del dividendo che
ha lo stesso posto (-4).
Il terzo coefficiente lo otteniamo moltiplicando il secondo secondo coefficiente del quoziente
(ovvero +4) per a (nel nostro caso 4) e aggiungendo al prodotto (+16) il coefficiente del dividendo
che ha lo stesso posto (+7).
Infine moltiplichiamo per a (nel nostro caso 4) l'ULTIMO COEFFICIENTE del quoziente
(ovvero +23) e AGGIUNGIAMO al prodotto (+92) il termine noto del DIVIDENDO. Il valore
così trovato rappresenta il RESTO della DIVISIONE: lo scriviamo sotto il termine noto a destra
della seconda linea verticale.
Noi abbiamo detto che il QUOZIENTE è un POLINOMIO ORDINATO di grado 2, del tipo:
x2 +x + termine noto.
Completiamo ora tale polinomio con i coefficienti e avremo:
2x2 +4x + 23.
Infatti:
Il resto della nostra divisione è 97. Pertanto possiamo scrivere:
(2x3 -4x2 +7x +5) : (x - 4) = 2x2 +4x + 23 con resto di 97.
Se il DIVIDENDO non è un POLINOMIO COMPLETO bisogna ricordarsi di scrivere, al posto
dei coefficienti mancanti, nella prima riga della tabella, degli ZERI.
Esempio:
(x5 -3x3 -2) : (x 1).
Come possiamo notare nel dividendo mancano i termini con parte letterale x4, x2 e x. Nella tabella
che segue, mettiamo al loro posto degli zeri:
Il QUOZIENTE è un POLINOMIO ORDINATO di grado n-1. Quindi il nostro quoziente sarà
un polinomio di grado 4. Quindi avremo:
(x5 -3x3 -2) : (x 1) = x4 -x3 -2x2 +2x -2 con resto di 0.