Università degli Studi di L’Aquila
Facoltà di Ingegneria
9.9. 2004
Analisi Matematica 1 (A.A. 2003/2004)
Docenti: Fabio Camilli, Klaus Engel
Corsi di Laurea in Ingegneria Ambiente e Territorio, Chimica, Civile, Elettrica, Elettronica, Informatica–
Automatica, Meccanica e Telecomunicazioni
Scritto A
durata della prova: 1 ora e 30 minuti
Cognome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matricola: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Corso di Laurea: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Domanda 1
[4+3 punti]
(i) Dare la definizione di estremo superiore di un insieme.
(ii) Fare un esempio di insieme limitato che non ammette massimo
(giustificare la risposta).
Risposta
(i)
(ii)
D1
D2
E1
E2
E3
E4
Σ
Domanda 2
(i) Dare la definizione di o-piccolo.
(ii) Enunciare il Teorema di Taylor con il resto di Peano.
Risposta
(ii)
[3+4 punti]
Esercizio 1
[4 punti]
Sia f : R → R continua e esistano M , R ∈ R tali che |f (x)| ≤ M per ogni |x| > R. Allora
a
lim f (x) = 0
b
x→+∞
c f é limitata
d
lim f (x) = 0
x→0+
lim f (x) = M.
x→+∞
Risoluzione
Esercizio 2
[4 punti]
Sia (an )n∈N una successione tale che (|an |π )n∈N é decrescente. Allora
a (an )n∈N é monotona
b
c
d (an )n∈N é limitata
lim an non esiste
n→∞
lim an esiste finito
n→∞
Risoluzione
Esercizio 3
Studiare la convergenza della serie
[5 punti]
∞
X
ln(n)
n2 + 3
n=1
Risoluzione
Esercizio 4
[5 punti]
La curva in figura è parte del grafico di
a f (x) =
c f (x) =
1
x
1
x
cos( x1 )
b f (x) = x cos( x1 )
cos(x)
d f (x) = cos2 ( x1 )
Risoluzione
Regole per sostenere l’esame
• Si può entrare in aula solamente con penna, matita, gomma, . . . e libretto universitario (o documento di riconoscimento). In particolare, non si possono portare appunti, libri, calcolatrice e
cellulare.
• Il compito viene corretto solo se la risposta alla domanda 1 è esauriente.
• Il punteggio minimo per superare la prova è 18.