3 8 .I z s e z í o t t id i D e d e k i r t d
Af{inché ìa sorrma S sia convergerìtequando tutti i òdiventano infin i t a m e n t e p i c e o l i ,o l t r e a l t a t t o c h e l a h r n z i o n e f ( x ) s i a l i m i t a t a , o c corre aìncheche ì'ampiezza complessivadegl'inten'alli, in cui le osciÌlazioni sono > o qtralr.rnqrre
si;t o, possaessereresa arbitrariamene piccola mediante un'opportuna sceltac'lid.
Per qrrestoteorenliì vale anche il viceversa:
S e ì a f r r n z . i o n e l i r /è s c n r p r el i n i i t a t e e s c a l c l e c r e s c e rien f i n i t a m e n t e
cì.itr"rttele granclezze6l'ampiez-z-a
contplessivas degl'intervalli,in cui
le oscillazioni clella funzione sono maggiorì di una granclezzadata
o , c l i v e n t as e m p r ea' l l a f i n e i n f i n i t a m e n t ep i c c o l a ,a l l o r a l a s o m m a S
e c o n \ / e | g e n t eq, l r a n d ot u t t i i ó c l i v e n t a n oi n f i n i t a m e n t ep i c c o l i .
BERNHARD
RIEÀ'IANN,
Uberdie Darstellbarkeiteiner Funktiort
durch eine trigortornetischeReihe,58 4 e 5.
3 8 .L ES E Z I O NDI I D E D E K I N D
N e l 1 8 7 2D e d e k i n d a v aa ì l es t a m p er r no p u s c o l oi n c u i p r e s e n t a vuan a d e f i n i z i o n er i g o r o s a( e c l u n q u e
a s L r oc l i r e u
, aritmeticau
c l)e U a
n o z i o n ei n t u i t i v a d i c o n t i n u i t àd e l l ar c t t a .I n q u e s t os c l i t t o ,o r i g i n a t od a l l es r r el e z i o n n
i el
1858al Politecnicocli Zurigoe dir,'entato
rrn classicodellaletteraturamatematica,Dedekindstudiaviìle proprielàtopologichee cli orclirramento
clell'insiemecleinr-rmeri
razionalie cli cluellodei ptrntidellaretta,introduceva
il concettodi sezionedel carnpodei numeri razionalie, per questavia, clefiniva la nozionecli ntrmeroirrazionalee cltrelladi ntrmeroreale,che sta
aÌlabasecìeipiùrimportanticoncettidell'analisr.
Nel considerareuna grandezzavariabiìetendentead un valore-limitefisso
(e cio nelìa dimostrazione ciel teoremir che ogni grandezzasempre ma non
illimitatamente crescentetende ceftamente ad r-rnlimite), ricorrevo all'intuizione geometrìca.Ritengo anche adessoche daì punto di vista didattico
l'uso cli consideraz-ioni
geometrichesia molto trtile nel primo insegnamento del caicolo differenzialee che anzi essosia indispensabile,se si r,uol evitare una eccessivapercìitadi tempo. Ma nessuno,credo, von'a sostenere
che una tale introduzione nel calcolo differenzialepossavantarsi di essere
scientifica,Tanto era il mio malcontentoche presi la ferma decisionedi rifletterefinché non trovassiuna baseplrramentearitmetica e completamen--te dgorosa dei prìncipii del calcolo clifferenziale.
Spessosi dice che il calcolo differenzialesi occr-rpa
di grandezzecontinue, eppure non si dà mai una
definizione di questa continuità. Le trattazioni piu rigorose che si hanno
deì caìcolo differenz-iale
non basano le loro dimostrazioni sulla contirruita,
ma fanno invece appello piu o meno coscientementea rappresentazioni
geometricheo si setrono di teoremi che a loro volta non furono mai rigo-
Anali si in{ìn i tesimalè
J-ló
rosamente dimostrati con mezzi plrramelÌte aritmetici. A questi teoremi
apparliene,per esempio,ii teorema sopra menzionato ed io, dopo un esame più accurato,mi sono convinto che questo teorema o ogni altro teorema aclessoeqrrivalentepuò essereconsicleratoin un ceúo sensocome base
suf{ìciente clel calcolo ditferenziale. E allora si trattava soltanto di scoprire
ncgli elementi dell'aritmeticala vera origine cli questo teorema,acquistani
do con ciò nello stessotempo trna definizioneeffettivadella continuita.i,,.]'
Per il nostro scopo immediato ha [...] imporranza una [...] proprietà dei sistema R clei nun'rerirazionali, ia quale si può esprimeredicendo che il sistema R costitrrisceLln campo ben ordinato ad una dimensione e che si estenileall'infinito in due direzioneopposte.[...]
Per esprinrereche i simboli a, ó indicano lo stessonunlero razionale,si
sclive c = b, come pLrreb = c. L'esseredue numeri razionali a e D distinti
tra ìoro si manifesta nel fatto che Ia differenza a - b ha un valore positivo o
negativo.Neì primo caso4 si dice maggiore clib e lt minore di a, in simboli
u > h , b < ( 1 r ) . N e ls e c o n d o c a s o , a v e n dbo- c u n v a l o r e p o s i t i v o , s e g u e
b > u, a < b. fuguardo a questa doppia possibilitàche si presentaper due
numeri clistinti,valgonoIe leggi seguenti:
1 ' S e s i h a a > b e b > c , a l l o r a s i h a a > c , Q u a n c l oa e c s i a n o d u e n u m e r i
distinti (diseguali)e b sia rnaggioredell'uno e minore dell'altro,allora,senza temere aììusioni a rappresentazionigeometriche, diremo brevemente
c l r c ó s t a t r a i d t r en u m e r i c e c .
2" Se a, c sono due numer-iclistinti,allora esistonoinfiniti numeri b Irz a e c.
3o Se c è rrn numero dato, allora tr.rttii numeri del sistemaR si ripartiscono
ir.rch-reclzissiA,, e A' contenenti ognuna ir-rfinitielementi;la prima classe
A, compre'ndetutti i ntrmeri c, che sono < n, la secondaclasseA, comprencìetLrttii tlrnrerj a, che sono > c. I1 nr.rmerod stessopuò essereincluso a
piacereo nella prima o neìla secondaclasse,e sarà allora corrispondentelllente o il numero massimo della prima classe,o il numero minimo della
secondaclasse.In ogni caso la ripartizione del sistema R nelle dr"reclassi
A' A2 è di tale natura che ogni numero della prima classeA, è minore di o-'
gni numero della secondaclasseA..
g2
CorurRoxro rRa I NUtlfERlRAZ.IoNALI
I] I PUNTIDI IJNARETTA
Le proprìetàcleinumeri razionali sopra accennatericordano le mutue relazioni cii posizioneche intercedonotra i punti di una retta L. Se chramerem o ( d e s t r o , e ( s i n t s t r o ) i)d u e ' , , e r s io p p o s t is u l l ar e t t a ,a l l o r a ,e s s e n d o pq,
tltre pturti distinti, o p sta a clestracli q, e contemporaneamenteq sta a sini-'
stra cli p, o inversamenteq sta :i destra di p, e in pari tempo p sta a sinistra
di q. Un terzo caso è impossibile,sep e q sono effettivamentepunti distinti.
Riguardo a questerelazioni di posizionevalgonole leggi seguenti;
l' Sep sta a destradi q e q sta ancora a destradi r, aììora anchep sta a de.
337
3 8 .I z s e z i o n ì t l i D e d e k i t r t )
stra di r, e si dice che 4 sta lia i punti p eclr.
2 Sep, r sono punti distinti, .illom vi sono sempre intiniti ptrnti 4 trz p ed r.
3" Se p è un punto dato cli L, allora ttrtti i punti di L si ripartiscono in due
classiP,, P, contenenti ognr-rnainfiniti elementi;la prima classeP,, comprendetutti i punti p, situati a sinistra di p, e la secondaclasseP, comprende tutti i punti p2 situati a destradi p. Il punto p stessopuò essereincluso a
piacereo nella prima o nella secondaclasse.In ogni nrodo la ripaniz.ione
della retta L neìle due classi è dì tale natura che ogni pur-rtodella prima
classeP, sta a sinistra di ogni punto clellasecondaclassePr.
Questaanalogia tra i numeri razionali e i ptrnti di una retta diventa notosi fissi sr-rllaretta un ptlnto come ot-iriamente un legameeffettivo,c1-ralora
gine, cioè il punto zero 0, e si scelgauna detetminata unità di lunghezzzt
per misurare le distanze.I'er ogni numero mzionale c si può allora costmire una lunghezzacorispondente, e si porta questalunghezzasulla retta, a
destrao a sinistra del punto 0, secondochéa è positivo o negativo,allora si
arriva a un punto estremo deterrninato p, il qtrale può essereconsíderato
come plrnto corrispondente al numertl c. Al numero razionale zero corrispondeil punto 0. In questa maniera ad ogni numero tazionalea, cioè ad
ogni eìementodi R, viene a colr-isponderetlno e un solo punto p, cioè un elemento di L. Se a cltre numerí a, b corispondono ríspettivamente due
punti p, q, e se si ha, a > b, allorap sta a ciestradi q. [...]
s3
DELLARETTA
La coN-t'rt'it;trÀ
Ora è deila massima impoflanza il fatto che esistonosulla retta L infiniti
pr-rntii quali non corlispondono a nesstlnnttmero razionale.Se un punto p
corrisponde a un nrrmerciraz.ionalea, allora Ia lunghezza o p è notoriamente commensLrrabilecon la trnità di lLrnghezzapresceìtanelìa costnrziola cosidetta misr-tracomune, dí cui
ne, v. a d. esisteuna terza h-rnghezza,
quelle due siano multiple intere. Ma già i Greci antichi sapevanoe hanno
dimostrato che esistono iunghezz.eittcomtrerrsurabili con una data lunghezzaunitaria, p. es.,la diagonaìedi un quadrato il cui lato si assumaper
strlla retta ei partire dal
unita di lunghezza.Se si potta trna tale h-rnghezz-a
punto o, allora il punto estremo che si ottiene non corrisponde a nessun
nlìmero razionale.Siccomeinoltre si Jruòdimostrare facilmenteche esiston o i n f i n i t e ì u n g h e z z ei n c o m m e n s t r r a b i l ci o n l a d a t a l t r n g h e z z au n i t a r i a ,
possiamo affermare che la retta L è infinitamente pitr ricca di punti che
non il campo razionale R cli numeri. Quindi i numeri razionali non bastano per poter seguireairitmetican)entetuttì i fenorneni sulìa retta, e appare
percio inclispensabileraffinare r;ostanzialmentelo stnrmento R, creando
numeri nuovi, di gr.risache il carnpo dei nurneri acquisiti sia altrettanto
completoo, diciamo subito, altrettanto contìnuo,quanto lo è la retta.
Le considerazioni precedenti sono tanto note e familiari a tuftì, che il ripeterle Duò sembrare suoerfluo. Cio nondimeno ne ho ritenuto necessariala
Annlisiinfirùtesímalc
l lLìalllt()luìzlone
l)er preparare oppofiunarlente il ten'eno alla questioner
p'incipale. L:r via per ra qtraìefinora si sole'ano
introcrurrei numeri irrai
zi.rrali a\/evacomc punto di
r)artenzair co'cetto cli grandezzal.tensiua,il
"e
qrriileper'ònon è mai stato csso stcssoben
definito, seguencloquestavia)
si n'riva'. :r definir-eiì n'mero come risultzrto
creila;.;;
dì una tarq
gr-a.clezze pcr mczzo di un'altra gr.anclezzariello
. r)
stessog"""."ì;.
I' sra 'ece io chiecloclre |aritmetica si svorga
du r" n-,"E.rir',u.si puo conl
ceclet'cin 'ia generaleche l'occasioneimmeàiata clell'estenri"r.
.r.r concet-.:
t'cli rrrme'o f' fb.nita da rappr.esentazioni
non aritmetiche (tuùvra, que,
sto non è stalo affatto il caso pe. qtrel che r-iguarcla
l'introdJzione dei nu_,
rreri complessi).Ma cio senza dubbio non òostituisce
una ragione suffi,
cicltle per raccogliereqtlesterappresentazioninella
stessascieiza r_leinu.
rneri, cìoè nell'arri{r'etica.come i .umed negati'i
e razionali fratti debbo_
'c) e poss()noessereintrodotti con un libero atto
creativo,e come ie leggi
clelleoperaz.iorisrr di ìor-osi <iebbonoe si possono
riconclurrealle leggidel_
lc opcrazioni s'i nunreri interi positi'i - ailo stesso
modo si clevecercaredi
cla.errna definizioneconlpìetacrcinLrmeriirrazionali
unicamente per mezzr clei'Lrme.i razionali. fumane soltantora q'estione;
cclmetarlo?
Dal c'.horto fzrttosopra tra ir campo R creinumeri
razionari e ra retta sianro srlrti portati a riconoscereil caratterelacunare,
incompleto,la disconti_
rr.ità clerlpri'ro, rnentre alla retta noi attribuiamo qualità
Ia
cli esserecomp i c t a , s c n z - aI a c u r . r c. s, s i a c o n t i n r r a .M a q u e s t . ì
continuitàproprio in che
crtsiic<tr-tsistt
?
[.a .ispostaa qlrestaclomandadevecomprencìere
in sé tutto, ed essasoltanIo pern]etter'àcli svolgeresu bzrsiscientilichelo .stuclio
a; ttr.tiii .'Àpi conti^tri Naturalmente,nuiìa si raggiungequando, p".
rpr"gu." la continuita,
parla in moclovago di uno .onn.rrionè ininr"r-.otta'neìie
pu.ti-piu pi..o1i
le; cirì che si nchiede invece è di formurare ,na propnetà
caratteristicae
p.ecisa clellacontin'ita, la qr-ralepossa servire
cli base a cleduzionivere e
proprìe..Viavevopensatosenzafmtto per molto
tempo, -u finJÀ"nr" ,.o_
vai cio che cercavo.Il mio risurtato.oà forse giucricat"
a^ ,.J" f",=one in
varic'rnroclo, ma la maggior parte, credo, sarà concorde
ner ritenerro assai
banale.Esso consisten"lru cònsiderazioneseguente.
Si è rilevato ner $ precedenteche ogni punto p delra retta determi-na
una decomporlrrune deìta
mede.si*a in due parti.d.itare natrrra che ogni ptrnto
di una di essesra a srnistra cli ogni p'nto ciell'altra.ora io veclofbssenza
clellacontintrità nell,inr,,crsione
(li questaproprietà,e cioè nel principio
scguente:
u-Serrna liparlizione di tutti i punti cleliaretta
in clueclassiè 4i tale natura
clic .gni pLrntodi una delle classista a sinisrra
cli ogni punrn a.tioiìra, alrora esisterrno e Lrnsolo punto dal quarequestarrpartiziàne
di tutti i punti in
clueclarssi,
o qilestaclecomposizione
creilaretta in cruepar1i,è procìotta>.
conre ho già cletto,credo cii non sbagliareammettencrà
ch. og.r.,.roriconosceia .srbit()l'esattezzaclelprincipio enunciato.La maggior
iarre creimiei
lctt.r i p'over'àrrna grancledisiil*iione nel|apprenc1"."
i[.e il;;;
banari_
tà che cler,es'elare il mistero cìeìlacontinr.riià.A questo proposito
osservo
339
38. I-e .sezioni di Dedekin,l
quanto Segue.Che ognLrnotrovi il prirrcipio t:nunciatotanto evidentee tanto concorclantccon la stra propria I'appresentazionedella retta - ciò rni
sodclisfaal massirnograclo,perché tté a me né ad altri è possibiledare cli
q r r a l s i a s iL. a p r o p r i e t à d e l l a . r e t t ae q u e s t op r i n c i p i o u n a ( l i m o s t t ' a z i o n e
spressada questo ptincipio non è che ttl assiomzr,ed è soìo sotto forrna di
questo assiomache noi pensiamo la continrritàrlella retta, clte riconosciamO alla retta ìa sr-racontinlità. Non occorTeaffatto cl're19 spazio, se eSSo
contintro; moltissinle clellesrre
ha lna reale esistenza,sia necessariamente
proprietà dman-ebberotali e quali, anc:Ìrese essoftossecliscontinuo.Se noi
che lo spazioè cliscontinuo,ntrlla c'impeclirebbe,se
iapèssimocon certezzaì
ciiacessecomodo, di colmare le srtelactrnenelìa nrlstra nlente e cìi renderl o q u i n c i i c o n t i n u o , N 4 aq u e s t a o p e r a z i o n em e n t a l e c o n s i s t e r e b b en e l l a
creazionedi nuovi elementi puntrrali e dorî'ebbeessereesegtritaconfonncmente al principio sucldetto.
s1
I)EI Nt.rN,thRI
IRR{zIONALI
LA cREAZIONE
L e u l t i m e p a r o l ei l l u n t i n a n oc h i a r a m e n t el a v i a p e r l a q L r a l es i p t r ò g r r r n g e re a Un Campo Continuo, ampliantlq íl campo cliscontintroR clei nr-rmeri
razionaìi.Nel $ I (t1) abbianro rileyato che ogni nLlmeroraz-ìonalec deterntina una ripartizione del sistentaR in cltrer:ìassiA,, A. cli tale natura che
o g n i n u m e r o a , d e l l a p r i m a c l a s s eA , è t l i n o r e d i o g n i n t l l n e r o a , c ì e l l as e con<ìaclasse A"; il numero d stessoè o il nlrmerci massirno tlella prima
e
classe,o iì nurner,-lminimo della seconda.Ora, noi chiameremo.seziotte
in
cltre
R
(A,
sistema
clel
ripartizione
indicheremo col simbolo
, A,) ogni
classi A,, A, che goda soltanto cli qtrestaprgprietà caratteristicache ogni
numero delìa classeA,, sia minore di ogni numero clellaclasseAr. Possiamo dire allora che ogni numero lazionaìe a cleterminattna sezioneo piuttostO due sezioni, le quaii però noi non considereremo come essenzialmente distinte. Questasezione gctdeinoltre rlella proprietà rtlteriore,che o
tra i numerì clelìaprima classeesistetln ntlrnero massimo, o tra i nLlmen
della secondaclasseesisteun lìLllnerotninimo. E inversamente,se tlna sezione gode di quest'trltimaproprictà, allora essaè prodotta cla clttestonttn r e r cr a z i o n a l em a s s i m oo m i n i t n o .
d i i n f i n i t e s e z i o n in o n p r o d o t t e d a n e s s t t n
M a è f a c i l e p r o v a r eì ' e s i s t e n z a
r
a
z
i
o
n
a
l
e
,
numero
[...]
Nel fatto che non tutte le sezioni sono proclotte da nttnleri razionaìi consiste ì'incompletezzao la discontinr.ritaclel (lampo R di tutti i nr'rmerirazionali.
Orbene, ogni volta che è data rrnzrsezione(A' A1) che non sia proclottacìa
tln nllovo nttnlero, ttn nttntefOirrnnesslrnnutlero raz.tonale,nO\CreiAtttO
Zionalea, che ncli consicleriamocome comllletamente definito cla qtresta
sezione;noi ciiremo che il numero rr con-islrondea questa sezione e che
esso la procluce.Aclessoclunque acl ogni sezione conìsponde ttno ed un
J40
Arta li s i itr lìtùtes ittnle
solo numero deterrninato,razionaleo irrazioltale,e noi consideret.emocome distinti due numeri, quando e solo quanclo essi corrispondono a ciue
sezioni sostanzi;ìlmentedistinte.
fu cnano D EDEKIND,St et i gk e i t t t rul ina t i o n ale'/rLhlet t.
l) In seguito dunqtte itermini (maggiore' e (mÌrìore), se non saranno accompagnati dalle parole nin valore assoluto,, vcrrarlno intesi ncl sensoalgebrico [N.d.A.]
2) Il pregio apparentedi qtrestadefinizioneclelnLrmero,cioè la sua generalitrì,
sparisccquando si pensa ai numeri cornplessi.Il ruio palere invece è che il
concetto di rapporto fra due grandezzecìellostessogenere possa esseresviluppato solo quando i nrrmeri inazionali siano già stati introdotti. [N.d.4 ]