Gli insiemi e i suoi elementi
A
•2
6
•14
•10
•4
•12
•8
L’ insieme è un raggruppamento, un’aggregazione,una raccolta, una
collezione di elementi. Un insieme si può considerare definito solo se
è possibile decidere inequivocabilmente se un elemento appartiene o
no all’ insieme.
Per indicare che un elemento a appartiene a un insieme A si usa il
simbolo di appartenenza ““ ; la scrittura “ aA “ si legge: “ a
appartiene ad A “; per indicare che un elemento x non appartiene
all’insieme A, si scrive “ x A “ e si legge “ x non appartiene ad A “.
Generalmente gli insiemi si indicano con lettere maiuscole: A, B, C,
…, X, Y, …; i suoi elementi invece con lettere minuscole: a, b, c, …, x,
y, … .
COME SI PUO’ RAPPRESENTARE UN INSIEME…
Un insieme si rappresenta in tre modi diversi:
con il diagramma di Eulero-Venn una rappresentazione geometrica di cui
si delimita con una linea chiusa una regione del piano.
A
•2
•4
•6
Per rappresentazione estensiva o per elencazione:consiste nell’elencare
gli elementi tra parentesi graffe;
A=2,4,6
Per rappresentazione intensiva o per caratteristica:
A=x x è un multiplo di 2
Insieme vuoto, sottoinsiemi e Insieme Universo
Un insieme è vuoto quando con contiene nessun elemento e si può indicare in
due modi:   o 0
Un sottoinsieme si verifica quando ogni elemento di B appartiene anche ad A. I
sottoinsiemi si distinguono in propri e impropri . Sono del primo caso tutti quelli che non
sono vuoti e che contengono alcuni elementi di A che non appartengono a B. Rispettano
invece il secondo caso se si tratta dell’ insieme stesso o di un’ insieme vuoto.
L’insieme universo viene indicato generalmente con la lettera “U” ed è l’ambiente
da cui trarre gli elementi x dell’ insieme.
Unione: l’unione di 2 insiemi (A e B ) è quell’ insieme a cui
appartengono gli elementi o di A o di B. Per indicarla in simboli
si scrive
L’UNIONE tra due insiemi si esprime con A U B e si legge “A unione B”o A unito B” .
In forma simbolica , si scrive :
AB= {x|xA^xB}
Nella figura la parte colorata in giallo rappresenta A U B .
Intersezione: Dati 2 insiemi A e B, si definisce intersezione l’insieme
degli elementi appartenenti sia ad A sia a B.
L’intersezione tra due insiemi si esprime con A  B e si legge “A intersezione B”o A
intersecato B” . Usando i simboli, invece, si scrive
AB= {x|xA^xB}
Nella figura la parte colorata in rosso rappresenta A  B.
Esempio
Dati gli insiemi A = { a,b,c,d,e } e B = { e,d,f,g,h,m }
Quando l’intersezione tra A e B è un insieme vuoto si dice che questi due insiemi sono
DISGIUNTI
L’intersezione e l’ unione godono delle proprietà
commutativa e della proprietà associativa:
A B=BA
A  (B  C) = (A  B)  C =
AUB= BUA
AU(B UC ) = (AUB) UC
Insieme complementare.
Si definisce complementare di un insieme A, rispetto ad un insieme
ambiente , l’ insiemi degli elementi di U che non appartengono ad A.
U
CuA
A
Differenza.
Si definisce differenza di due insiemi A e B,l’insieme costituito dagli
elementi di A che non appartengono a B.
A-B= {x | x  A ^ x  B}
Partizione .
Tutti i sottoinsiemi formano una partizione di A se rispettano 3 condizioni :
Ai Ak =0 , essendo i =
Ai =
k
0
A1U A2 U… U An = A
Prodotto Cartesiano
Il prodotto cartesiano o insieme prodotto di A per B è l’ insieme di tutte le coppie
ordinate (a,b) aventi per prima componente un elemento a  A e per seconda
componente un elemento b B. Molto importante da ricordare è il fatto che
per questa operazione non vale la proprietà commutativa.
Il prodotto cartesiano in simboli si rappresenta in diversi modi:
1.
FORMA ESTENSIVA
A X B ={(a,b)|a A, b B}
2.
CON IL DIAGRAMMA CARTESIANO
Per il prodotto cartesiano è possibile anche avere 3 o più insiemi, come per esempio: A X
B X C ={(a,b,c)|a A, b B, c C} e si può rappresentare più comodamente e
facilmente con un diagramma ad albero.
1° componente
x
y
2° componente
Gli elementi di AXB
a
b
(x,a)
c
(x,c)
(x,b)
a
(y,a)
b
(y,b)
c
(y,c)