GLI INSIEMI
2^PARTE
LE OPERAZIONI
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INTERSEZIONE “A  B”
è l’insieme degli elementi
che appartengono contemporaneamente
ad A e a B
cioè gli elementi in comune
AB
B
A
Scriveremo:
A  B = xx A ^ x  B 
simbolo di congiunzione ,
^
si legge: e contemporaneamente
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esempio - intersezione fra tre insiemi
Dati gli insiemi:
C
A = a; b; c; d; e; f
m
n
B = d; e; f; g; h; i; l
C = m; n; d
Trovare:
ABC
Solo l’elemento
quindi:
A
a
b
c
g
d
e
f
h
d appartiene contemporaneamente ai tre insiemi,
A  B  C = {d}
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B
i
l
CASI PARTICOLARI di INTERSEZIONE
AA=A
A =
AĀ =
A U=A
se A  B = ,
A e B si dicono DISGIUNTI
se B  A allora A  B = B
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UNIONE “A  B”
è l’insieme degli elementi che
appartengono ad A “o” a B,
cioè ad almeno uno dei due insiemi dati
A B
B
A
Scriveremo:
A  B = xx A v x  B 
V simbolo di disgiunzione
si legge: “o” – “oppure”
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CASI PARTICOLARI DELL’UNIONE
AA=A
A =A
A  Ā= U
se
B A
allora
A B =A
A e B sono insiemi disgiunti
allora A  B è formata da tutti gli
elementi di A e di B
se
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AB
A = a; b; c; d; e; f
A
a
b
c
A  B = d; e; f
AB
esempi
B = d; e; f; g; h; i; l
d
e
f
B
g
i
h
l
A  B = a; b; c; d; e; f; g; h; i; l
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DIFFERENZA.
“A - B”
è l’insieme formato da tutti gli elementi di A che non appartengono a B
si tolgono ad A tutti gli elementi che
appartengono a B (cioè A  B)
A
Scriveremo:
A - B = xx A ^ x  B 
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B
esempi:
differenza
A = a; b; c; d; e; f
A
a
b
c
A - B = a; b; c
A-B
e
B-A
B = d; e; f; g; h; i; l
g
d
e
f
B
i
h
l
B - A = g; h; i; l
si noti che A - B ≠ B-A
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CASI PARTICOLARI DELLA DIFFERENZA
A-A= 
A-  =A
se
se
A  B =  allora
A- B =A e
B-A=B
BA
allora
B -A=
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INSIEME DELLE PARTI “P(A)”
A = a; b; c;
A
a
b
c
dato un insieme A,
si definisce insieme delle parti di A e si
indica con P(A)
l’insieme di tutti i SOTTOINSIEMI
propri e impropri di A.
dato l’insieme A di fig. tutti i suoi sottoinsiemi sono:

a
b
c
a; b
a; c
b; c
a; b; c
quindi:
P(A) =  ; a; b; c; a; b; a; c; b; c; a; b; c 
Si noti che gli elementi di P(A)
sono INSIEMI
Se A contiene n elementi,
P(A) contiene 2n sottoinsiemi
Nell’es. di fig. si ha: n =3 → 23 =8
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PARTIZIONE DI UN INSIEME
dato un insieme A, si consideri un certo
numero n di suoi sottoinsiemi (che
indichiamo con Ai)
si dice che questi sottoinsiemi formano una
partizione di A se:
1
2
3
ogni sottoinsieme è proprio
i sottoinsiemi sono
a due a due disgiunti
l’unione di tutti i
sottoinsiemi dà l’insieme A
A
A1
A5
A2
A3
A4
Ai  A e Ai  ,  i
Ai  Ak =  con i  k
A1  A2  A3  A4  A5 = A
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PRODOTTO CARTESIANO
dato due insiemi A e B, considerati gli elementi x  A e y  B,
si definisce prodotto cartesiano dei due insiemi A e B
(si indica A x B, si legge A cartesiano B),
l’insieme formato da tutte le possibili coppie ordinate (x; y)
Scriveremo:
A x B = (x; y)x  A e y  B 
(è un insieme di coppie di elementi)
A a
es. Dati gli insiemi: A = a; b; c; e
B = 1; 2
avremo:
b
c
A x B =  (a; 1), (a; 2), (b; 1), (b; 2),(c; 1), (c; 2) 
IL NUMERO DELLE COPPIE ORDINATE CHE COMPONGONO IL PRODOTTO CARTESIANO
E’ UGUALE AL PRODOTTO FRA I NUMERI DEGLI ELEMENTI DI CIASCUN INSIEME
Nell’es. rappresentato avremo: 3x2 =6 coppie.
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B
1
2
RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEL PRODOTTO CARTESIANO
RAPPRESENTAZIONE DELL’ES. PRECEDENTE:
Rappresentazione SAGITTALE
B
a
A
b
c
y


2
1




c
b

1
2
Rappresentazione CARTESIANA
x
a
B
•sull’asse x si rappresentano nell’ordine gli elementi di A
•sull’asse y si rappresentano nell’ordine gli elementi di B
OGNI PUNTO RAPPRESENTA UNA COPPIA ORDINATA DI ELEMENTI
A
1
(a;1)
(b;1)
(c;1)
2
(a;2)
(b;2)
(c;2)
B/A
a
b
c
Rappresentazione mediante
TABELLE A DOPPIA ENTRATA
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OSSERVAZIONI SUL PRODOTTO CARTESIANO
ogni coppia è una coppia ordinata di elementi, quindi:
(x; y)  (y; x)
di conseguenza:
AxB  B xA
A x A = A2
A x B x C  B x A x C  B x A x C  A x C x B ….
se m, n, p sono il numero degli elementi degli insiemi A, B, C
allora l’insieme prodotto cartesiano dei tre insiemi
conterrà mxnxp elementi.
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il diagramma ad albero
Esso è utile per determinare l’insieme di tutte le possibili “coppie” ordinate di un prodotto cartesiano.
Es. Siano dati gli insiemi: A = a; b B = ;  C = 1; 2; 3
e si voglia determinare il prodotto cartesiano A x B x C
SI DISPONGONO GLI ELEMENTI DI OGNI INSIEME, IN ORDINE, COME IN FIG.
Nel nostro caso
non avremo delle “coppie” ma
delle “terne” ordinate di elementi.

1
2
3
(a; ; 1)
(a; ; 2)
(a; ; 3)

1
2
3
(a; ; 1)
(a; ; 2)
(a; ; 3)

1
2
3
(b; ; 1)
(b; ; 2)
(b; ; 3)

1
2
3
(b; ; 1)
(b; ; 2)
(b; ; 3)
a
Per la determinazione
è sufficiente
seguire il percorso delle frecce
b
ESERCIZIO: ESEGUIRE IL PROD. CARTES.
CxBxA
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Esercizio - intersezione e differenza fra insiemi
Dati gli insiemi:
C
A = a; b; c; d; e; f
m
n
B = d; e; f; g; h; i; l
C = m; n; d
Trovare:
A
C – ( A  B)
troviamo prima A  B :
quindi:
a
b
c
d
e
f
A  B = d; e; f
C – (A  B ) = {m; n}
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g
h
B
i
l
Esercizio - intersezione e differenza fra insiemi
Dati gli insiemi
A, B, C
C
Individuare quale espressione
fra insiemi rappresenta l’area
evidenziata:
B
A
Notiamo che è una parte fra l’intersezione di B con C (C  B) ma
che non appartiene ad A … quindi
(B  C ) – A
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Esercizio - unione e differenza fra insiemi
Dati gli insiemi
A, B, C
C
Individuare quale espressione
fra insiemi rappresenta l’area
evidenziata:
B
A
Notiamo che è una parte fra l’unione di A con B (A  B) ma
che non appartiene ad C … quindi
(A  B ) – C
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Esercizio - intersezione, unione e differenza fra insiemi
Dati gli insiemi
A, B, C
C
Individuare quale espressione
fra insiemi rappresenta l’area
B
evidenziata:
A
Notiamo che:
una 1^parte rappresenta C meno gli elementi di A e B
C – (A  B )
una 2^parte rappresenta gli elementi in comune fra A e B
ma che non appartengono a C
(A  B ) – C
Quindi la l’area evidenziata è l’unione fra le due parti
[C –
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(A  B )]  [(A  B ) – C]
LE PROPRIETA’ DEGLI INSIEMI
Propr. COMMUTATIVA
AB=BA
LEGGI di DE MORGAN
AB=BA
Propr. ASSOCIATIVA
(A  B)  C = A  (B  C)
AB= A B
A B=B A
(A  B)  C = A  (B  C)
Propr. DISTRIBUTIVA
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
Propr. dell’ ASSORBIMENTO
A  (A  C) = A
A  (A  C) = A
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