GLI INSIEMI
Presentazione a cura della
Prof.ssa
anNUNZIAta DI BIASE
Concetto d’insieme
Rappresentazione degli
insiemi
Insiemi uguali, diversi,
disgiunti, finiti ed
infiniti
Insieme vuoto, unitario
e coppia
Sottoinsiemi ed insieme
delle parti
Operazioni con gli
insiemi
Prova di verifica
Concetto d’insieme
La parola insieme è sinonimo di aggregato, collezione, raccolta…di oggetti.
Il concetto matematico di insieme è un concetto primitivo ossia non
definibile.
Costituisce un insieme, dal punto di vista matematico, ogni
raggruppamento di oggetti, persone, simboli, numeri o cose (che vengono
detti elementi) aventi una proprietà caratteristica comune.
In un insieme non ha importanza né la natura degli elementi, né che essi
siano dello stesso tipo e né l’ordine in cui essi sono disposti, ma quello che
conta è che dato un insieme, si possa con “assoluta precisione” dire se un
dato oggetto appartiene, oppure no, ad esso e che i suoi elementi siano tutti
distinti tra loro.
Gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole dell’alfabeto latino: A, B,
C,…gli elementi con le lettere minuscole dello stesso alfabeto: a, b, c,…
Non
sono
insiemi
i
raggruppamenti individuati
dalle seguenti proposizioni:
i ragazzi simpatici della tua
classe;
le città più belle d’Italia;
i fiumi più lunghi d’Europa;
perché i concetti di: bellezza,
bruttezza, bontà, ecc. sono
concetti soggettivi e possono
dare adito ad equivoci o
incertezze.
Sono
insiemi
invece
i
raggruppamenti individuati
dalle seguenti frasi:
le città della Campania con
più di 10000 abitanti;
i rettangoli che hanno la base
lunga 25 cm;
il computer in figura, i cui
elementi sono:
Elementi
cd-rom
RAPPRESENTAZIONE DEGLI INSIEMI
Gli insiemi si possono indicare nei
seguenti modi:
tabulare (o per elencazione),
caratteristica,
diagramma di Eulero-Venn.
Forma Tabulare: all’interno di una coppia
di parentesi graffe, si elencano TUTTI
gli elementi che appartengono
all’insieme, separandoli con una virgola.
Es: l’insieme delle note musicali
A = do, re, mi, fa, sol, la, si.
Es: l’insieme delle lettere della parola
mamma; B = m, a.
Forma Caratteristica: all’’interno di una coppia di parentesi
graffe, si scrive l’elemento generico dell’insieme e la proprietà
caratteristica che li accomuna.
A = x / x è una nota musicale; B = x / x è una lettera della
parola mamma.
Rappresentazione Eulero-Venn:
Un insieme può anche essere rappresentato in modo grafico,
racchiudendo i suoi elementi all’interno di una linea chiusa non
intrecciata. Gli elementi dell’insieme vengono evidenziati con
punti interni alla linea, gli elementi che non appartengono
all’insieme con punti esterni.
A
B
do
re mi
fa sol la si
m
a
Insiemi uguali, diversi,disgiunti, finiti ed infiniti
Due insiemi si dicono:
uguali quando sono formati dagli stessi elementi;
es: A = m, a; B = a, m e si scrive A = B ,
diversi quando non tutti gli elementi sono uguali;
es: A = m, a; B = m, b; A = B,
disgiunti quando nessun elemento di A appartiene a B;
es: A = m, a; B = c, d.
Un insieme si dice:
finito quando si possono elencare tutti gli elementi;
es: l’insieme dei fogli di un quaderno,
infinito in caso contrario;
es: gli insiemi numerici: N, Q a, R a, Z, Q, R.
Insieme vuoto, unitario e coppia
Un insieme si dice VUOTO quando
non contiene elementi e si indica con
il simbolo:  oppure  .
Es: l’insieme dei numeri pari che
hanno 5 come ultima cifra; A = 
Un insieme si dice UNITARIO
quando contiene solo un elemento.
Es: l’insieme dei numeri interi pari
compresi tra 3 e 5; A = 4.
Si chiama COPPIA un insieme
formato da due elementi distinti.
Es: l’insieme formato dalle lettere
della parola mamma; A = m, a.
Es: l’insieme formato dai due
sportivi in figura.
SOTTOINSIEMI
Dati due insiemi A = 2, 4, 6, 8, 10 e B = 4, 8 , si dice che B è un
sottoinsieme di A se TUTTI gli elementi di B appartengono anche ad
A. Si dice anche che B è incluso in A.
Se invece B = 4, 9 si dice che B non è sottoinsieme di A, perché non
tutti i suoi elementi appartengono ad A, infatti 4 appartiene ad A, ma
9 no. Si dice anche che B non è incluso in A.
A
A
6
10
4 8 B
2
B incluso in A
6 8
2 10 4
9 B
B non incluso in A
L’insieme vuoto può essere considerato sottoinsieme di qualunque
altro insieme.
Ogni insieme A ha almeno due sottoinsiemi: l’insieme A stesso e
l’insieme vuoto; tali insiemi si dicono sottoinsiemi impropri di A.
Qualunque altro sottoinsieme che non sia improprio si dice proprio.
Insieme delle parti
Dato un insieme A, si chiama insieme delle parti, e si indica con P (A),
l’insieme che ha per elementi tutti i sottoinsiemi propri ed impropri di
A.
Il numero degli elementi dell’insieme delle parti di A, dipende dal
numero degli elementi di A. Se A ha n elementi, P (A) ne ha 2n .
Sia A = . Poiché A non contiene elementi, l’unico suo sottoinsieme è
l’insieme vuoto stesso, infatti 20 = 1 e P (A) = .
Sia A l’insieme delle consonanti della parola “mamma”; poiché
A = m, i soli sottoinsiemi che si possono formare sono i due insiemi
impropri  e A stesso, infatti 21 = 2 e P (A) = , A.
Sia A l’insieme delle lettere della parola “mamma”; poiché
A = m, a i sottoinsiemi che si possono formare sono quattro: due
impropri e due propri, infatti 22 = 4, e P (A) = , A, m,  a .
Sia A l’insieme dei numeri interi pari compresi tra uno e sette;
poiché A = 2, 4, 6 i sottoinsiemi che si possono formare sono
otto: due impropri e sei propri, infatti: 23 = 8 e
P (A) = , A,  2 , 4 ,  6 ,  2, 4 ,  2, 6 ,  4, 6 .
P (A)
4
22
A
66
E così via.
Operazioni fra insiemi
Le OPERAZIONI tra due o più insiemi sono: unione, intersezione,
differenza, differenza simmetrica, prodotto cartesiano.
Dati due insiemi A = 2, 3, 4e B = 3, 5, si dice loro unione l’insieme
D i cui elementi appartengono ad A oppure a B. Per indicare che D è
l’unione di A e B si scrive: D = AUB = 2, 3, 4, 5. L’unione gode della
proprietà commutativa, perché invertendo l’ordine degli insiemi il
risultato non cambia.
A
3 5 B
2 3 4
D
2
3 4 5
Dati due A = 2, 3, 4 e B = 3, 5, si dice loro intersezione
l’insieme C i cui elementi appartengono sia ad A che a B. Per
indicare che C è l’intersezione di A e B si scrive: C = A n B = 3.
Se i due insiemi sono disgiunti l’intersezione è uguale al vuoto.
L’intersezione gode della proprietà commutativa.
A
2
C
4
B
3
5
Dati due insiemi A = 2, 3, 4 e B = 3, 5, si dice
insieme differenza l’insieme degli elementi di A che non
appartengono a B e si scrive A – B = 2, 4; invertendo
gli insiemi si ottiene B – A = 5, da ciò si può dedurre
che la differenza NON gode della proprietà
commutativa, perché i risultati ottenuti sono diversi.
A
2
B
4
C =A– B
3
5
D =B –A
Dati due insiemi A = 2, 3, 4 e B = 3, 5, si dice
differenza simmetrica l’insieme degli elementi di A e di
B esclusi gli elementi comuni e si scrive: A B = 2, 4,
5. La differenza simmetrica gode della proprietà
commutativa.
A
2
3 4
2
B
3
5
4
5
A
B
Dati due insiemi A e B non vuoti, si chiama prodotto cartesiano
A x B l’insieme formato da tutte le coppie ordinate tali che il
primo elemento appartiene all’insieme A e il secondo all’insieme
B.
Es: se A = 2, 3, 4 e B = 3, 4 allora
A x B = (2; 3), (2; 4), (3; 3), (3; 4), (4; 3), (4; 4);
B x A = (3; 2), (3; 3), (3; 4), (4; 2), (4; 3), (4; 4).
Esso NON gode della proprietà commutativa.
Il prodotto cartesiano può essere rappresentato nei seguenti
modi:
diagramma cartesiano
diagramma a frecce
tabella a doppia entrata
diagramma ad albero
diagramma cartesiano A x B
B
4
(2;4)
( 3;4)
(4;4)
3
(2;3)
(3;3)
(4 ; 3 )
2
3
4
A
diagramma sagittale ( o a frecce ) A x B
2
3
3
4
4
tabella a doppia entrata A x B
B
3
4
A
2
( 2; 3)
( 2; 4)
3
( 3; 3)
(3; 4)
4
(4; 3)
(4; 4)
diagramma ad albero A x B
( 2; 3)
2
(2; 4)
(3; 3)
3
(3; 4)
(4; 3)
4
(4; 4)
PROVA DI VERIFICA
Ora prova tu: prendi penna e foglio e risolvi i seguenti esercizi.
Riconosci quale delle seguenti frasi individuano un
insieme e rappresentalo nel modo che ritieni più
opportuno:
il lago più piccolo d’Italia;
i triangoli;
i punti cardinali;
i libri di avventure più avvincenti;
i libri della biblioteca;
i tuoi amici più cari;
i poligoni che si disegnano più facilmente;
i mesi dell’anno.
Utilizzando le frecce associa i seguenti simboli alle loro
descrizioni:
C
intersezione
U
diff. simmetrica
n
inclusione
unione
E’ dato il diagramma di Venn rappresentato in figura.
A
B
C
D
Di’ quali delle seguenti affermazioni sono vere (V) e quali false
(F):
V F
V F
B è sottoinsieme di A
A e D sono disgiunti
D è sottoinsieme di A
B e D sono disgiunti
C è sottoinsieme di B
B e C sono disgiunti
Osserva le seguenti figure e per ognuna determina gli
insiemi:
A; B; A U B; A n B; A – B; B – A; A B;
fig.1
E
5
A
B
fig.2
F
5
4
1
2
3
4
1 2
B
A
3
6
8
6
Stabilisci quali delle seguenti affermazioni
sono vere (V) e quali false (F):
V
1.
2.
3.
4.
5.
AuB
A–B
AnB
A B
AxB
=
=
=
=
=
B uA
B–A
B nA
B A
BxA
F
La presentazione è terminata.