INSIEMI
Presentazione a cura della
Prof.ssa
ANNUNZIATA
DI BIASE
Ottobre 2014
Indice
• Concetto di Insieme
• Sottoinsieme
• Complementare
• Operazioni
• Partizione
Rifletti….
Puoi dare la definizione di insieme? NO. Perché?
Il concetto di insieme è un CONCETTO PRIMITIVO
Ricordi….. Cos’è un concetto primitivo?
Un concetto primitivo è un concetto che non si
può definire, ma serve a determinare altri concetti
che si chiamano concetti derivati.
Conosci altri concetti primitivi? Quali?
Come è formato un insieme?
Un INSIEME in senso matematico è formato da un
raggruppamento di elementi che devono avere una
caratteristica comune che deve essere chiara e
specifica. Tale caratteristica deve essere oggettiva e
non soggettiva, perché preso un elemento esterno ad
esso, dobbiamo essere in grado di stabilire, senza
dubbi e senza incertezze, se l’elemento considerato
appartiene o non all’insieme.
In uno stesso insieme si possono avere anche più
caratteristiche, ma devono essere tutte oggettive.
“Gli studenti belli ” formano un Insieme???
NO
Rifletti…..
Perchè ???
La bellezza come la bontà, la simpatia, ecc.. Sono caratteristiche
soggettive e non oggettive e quindi possono dare adito a dubbi e
incertezze.
Esempi di insiemi matematici:
1) N = insieme dei Numeri Naturali = {0,1,2,3, …}
2) L'insieme degli scolari del primo anno di una scuola
elementare (1°A), ha come caratteristica oggettiva comune
l’appartenenza dei singoli alunni ad una medesima classe nel
medesimo istituto.
3) La terra può essere definita
come l’insieme formato da tutti
gli oceani e le terre emerse
appartenenti al nostro pianeta
oppure
come
l’insieme
costituito da questi elementi.
Tale insieme è finito.
4) Gli insiemi numerici come: N
insieme dei numeri naturali, Z
insieme dei numeri interi
relativi, Q insieme dei numeri
razionali relativi, R insieme dei
numeri reali relativi, ecc.
Tali insiemi sono infiniti.
Gli oggetti, le persone, ecc. che formano un insieme si
definiscono elementi. Essi devono essere riconoscibili
e distinti fra loro.
Generalmente gli insiemi sono indicati con le lettere
maiuscole dell’alfabeto latino
A, B, C…
mentre gli elementi che li compongono sono indicati con le
lettere minuscole dell’alfabeto latino a, b, c…
In un insieme non ha importanza né la natura degli
elementi, né che essi siano dello stesso tipo e né l’ordine
in cui essi sono disposti, ma quello che conta è che NON
bisogna ripetere lo stesso elemento e che dato un insieme,
si possa con “assoluta precisione” dire se un dato elemento
appartiene, oppure no, ad esso.
Rifletti……
• Può esistere un insieme che NON ha elementi ???
Certo!!! E’ detto insieme vuoto.
Si indica con  oppure con { }.
Un esempio ? Le galline con tre zampe !!!
• Può esistere un insieme che ha un solo elemento ???
Certo!!! E’ detto insieme unitario.
Un esempio ? I numeri primi compresi tra 4 e 6!!!
Adesso, trovane tu altri…..
Ricordi la simbologia ?
APPARTENENZA “” e “”
Considera A = {numeri pari < 10}
3 non appartiene all’insieme A : si scrive 3  A
2 appartiene all’insieme A
: si scrive 2 A
Esempio: consideriamo l’insieme U formato dagli elementi a; b; c; d; e; f, si ha:
U
B = b; d
A
A = a; b; d; e; f
e
U = a; b; c; d; e; f
c
a  A, a  U, a  B,
B
a
b
f
d
b  B, b  A, b  U
c  U, c  B, c  A
Dato l’insieme A = { 2, 3, 5, 7 } indica quali delle
seguenti affermazioni sono vere o false:
• a) 2 A
V
F
• b) c A
V
F

• c) 3 A
V
F
• d) 4 A
V
F
Ti ricordi come si rappresenta un Insieme ?
Per rappresentare un insieme abbiamo tre possibilità:
1) Rappresentazione estensiva o tabulare o per
elencazione: A = {0, 1, 2, 3, 4}
2) Rappresentazione intensiva o caratteristica:
A = {x  x  N e x < 5}
A
3) Rappresentazione mediante i
1 3
diagrammi di Eulero – Venn:
4
2
0
1.Nella forma tabulare o per elencazione o estensiva vengono
elencati TUTTI gli elementi uno accanto all’altro separati
da un punto e virgola e chiusi in una parentesi graffa.
A = {2, 4, 6, 8, 10}
2. Nella forma intensiva o caratteristica non si scrivono gli
elementi, ma A è l’insieme degli x (elementi) che
soddisfano la proprietà caratteristica P(x).
A = {x/x è un numero pari }
3. Mediante diagrammi di Eulero - Venn (rappresentazione
grafica della forma tabulare) si elencano TUTTI gli
elementi dell’insieme all’interno di una figura geometrica e
contrassegnati da un punto.
Esempio: rappresentare l’insieme che chiameremo “A” di tutti gli amici di
Marco che sono: Andrea, Marta, Simone, Matteo, Anna, Martina.
1
Con i diagrammi di Eulero Venn:
A
Marta 
Andrea 
2
Attraverso la
rappresentazione tabulare
(estensiva):
Matteo 
Simone 
Martina
Anna
A = Marta; Andrea; Matteo; Martina; Simone; Anna
3
Enunciando la proprietà
caratteristica (intensiva):
A = xx è amico di Marco
Rifletti…..
I tre modi di rappresentazione NON sono del
tutto equivalenti. Perché???
Per gli insiemi infiniti è corretta solo la forma
caratteristica.
Per gli insiemi finiti le forme corrette sono la
forma tabulare e il diagramma di Eulero - Venn.
Cos’è un sottoinsieme?
Un insieme può essere contenuto in un altro
A
0
B
1
3
4
2
Si dice allora che B è un sottoinsieme di A:
BA
Si dice che un insieme B è sottoinsieme di un insieme
A (B incluso o contenuto in A) quando TUTTI gli
elementi di B appartengono anche ad A.
Esempio: L’ insieme dei numeri pari è un sottoinsieme
dei numeri naturali.
Descrizione formale della relazione
di INCLUSIONE
B  A  (" x  B)  (x  A)
A
B
SOTTOINSIEMI PROPRI, inclusione stretta “ “
U
Un sottoinsieme si dice
PROPRIO se il numero
degli elementi è
inferiore all’insieme
principale.
L’insieme Universo U è
l’insieme
che racchiude TUTTI i
sottoinsiemi.
U = a;b; c;d;e;f
b; d  B
A
e
c
B
a
b
f
d
A = a;b; d;e;f
B = b; d
a; b; d  A
d  B
SOTTOINSIEMI IMPROPRI, inclusione larga “”
I sottoinsiemi impropri
sono solo due: il vuoto e
se stesso e sé stesso
U
A
B
Ogni insieme è un
SOTTOINSIEME
(IMPROPRIO) di sé
stesso
A  A, B  B,…..
L’insieme vuoto è un
SOTTOINSIEME
(IMPROPRIO) di ogni
insieme
b
C
a
d
c
  C,   B, …..
SOTTOINSIEMI, INCLUSIONE “, ”
U
B è un SOTTOINSIEME
IMPROPRIO di A
A
B A
B
ALTRI SOTTOINSIEMI
IMPROPRI SONO IL VUOTO
E L’INSIEME STESSO
b
C
a
d
A  A, B  B,…..
c
  C,   B, …..
A è un SOTTOINSIEME
PROPRIO DI U
AU
C è un SOTTOINSIEME
PROPRIO DI B
CB
Considera gli insiemi A = {1,2, 3, 4}, B = {1,2},
C = {2,5}. Quali delle seguenti affermazioni sono
vere e quali false?
a. A  B
V
F
a. B  C
V
F
b. B = C
V
F
c. B  A
V
F
INSIEME DELLE PARTI “P(A)”
A = a; b; c;
A
b

a
Dato un insieme A, l’insieme di tutti i suoi
SOTTOINSIEMI propri e impropri, si
definisce insieme delle parti di A e si indica con
P(A)
a
L’insieme delle parti di A è:
c
b
I possibili SOTTOINSIEMI di A sono:
c
a; b
a; c
b; c
a; b; c
P(A) =  ; a; b; c; a; b; a; c; b; c; a; b; c 
Gli elementi di P(A) sono INSIEMI
Se A contiene n elementi, P(A) ne
contiene 2n
Rifletti……
Può esistere un insieme che non ha i
sottoinsiemi propri ???
Certo!!! E’ detto insieme unitario.
Può esistere un insieme che non ha i
sottoinsiemi impropri?
NO.
APPARTENENZA e INCLUSIONE
APPARTENENZA:
tra elemento e
insieme

L’elemento b
appartiene
all’insieme A
bA
A
b
d
INCLUSIONE: tra
due insiemi
 
L’insieme b è
strettamente
incluso
nell’insieme A
b  A
L’insieme d;b
è uguale ad A
d;b  A
oppure
d;b = A
INSIEMI UGUALI, DIVERSI E DISGIUNTI
• Due insiemi si dicono UGUALI se hanno tutti gli elementi uguali.
A = 1;2;3;4 e B = 4;1;2;4
•
si ha:
A uguale B
Due insiemi si dicono DISUGUALI se hanno almeno un elemento
diverso.
A = 1;2;3;4 e B = 5;1;2;4 si ha:
A disuguale B
• Due insiemi si dicono DISGIUNTI se non hanno nessun elemento
uguale.
A = 1;2;3;4 e B = 5;7;9 si ha:
A disgiunto da B
INSIEME COMPLEMENTARE
È’ l’insieme degli elementi di U che non appartengono ad A.
CuA= xx U e x  A 
U
b
E’ l’insieme degli
elementi di U
a
c
d
f
e
A
g
CuA =a; b; g
Che non appartengono ad A
INSIEME COMPLEMENTARE. CBA
CBA= x/ x B e x  A 
B
b
E’ l’insieme degli
elementi di B
a
c
d
f
e
A
g
CBA =a; b; g
Che non appartengono
ad A
Operazioni tra insiemi
•Unione
•Intersezione
•Differenza
•Prodotto
Unione di insiemi
Cosa metti nell’unione ?
Sia gli elementi di A che di B presi una
sola volta.
A
B
Si definisce unione di due insiemi A e B,
l'insieme degli elementi che appartengono ad
almeno uno dei due insiemi dati.
A
l’unione è la parte
colorata
B
SIMBOLO UNIONE “  ”
Il simbolo  è il simbolo che caratterizza l’operazione. Si può leggere “A unito B” oppure “A o B”.
L’unione tra due insiemi è l’insieme C degli elementi che appartengono
ad A
o
a B, cioè ad almeno uno dei due insiemi dati.
C=A  B = xx A  x  B 
B
A
A B
C=A  B = xx A o x  B 
Dati ad esempio i due insiemi
A = {1,2,3,5} e B = {2,3,4,6}, l’unione tra A e B è data
dal seguente insieme:
C = A  B = {1,2,3,4,5,6}
A  B = {x x  A o x  B}
UNIONE di insiemi DISGIUNTI
L’UNIONE degli insiemi A e B è l’insieme degli elementi che
appartengono ad A “o” a B, cioè ad almeno uno dei due
insiemi dati.
A
B
1
5
6
3
7
4
2
1
5
3
7
2
6
4
A B
CASI PARTICOLARI DELL’UNIONE
AA=A
A =A
A  CuA = U
Se B  A allora A  B = A
Intersezione di insiemi
Cosa metti nell’intersezione ?
Gli elementi che A e B hanno in comune,
cioè che appartengono
contemporaneamente ai
due insiemi.
Si definisce intersezione di due insiemi A e B,
l'insieme formato dagli elementi comuni ad A e B.
A
l’intersezione è la
parte colorata
B
SIMBOLO INTERSEZIONE “  ”
Il simbolo  è il simbolo che caratterizza l’operazione. Si può leggere “A intersecato B” oppure
“A e B”.
L’intersezione tra due insiemi è l’insieme degli elementi
che appartengono ad A
e
aB
C=A  B = xx A e x  B 
B
A
AB
C=A  B =xx A x  B 
Dati ad esempio i due insiemi
A = {0,1,2,3,4} e B = {2,4,6}, l’intersezione tra A e B è
data dal seguente insieme:
A  B = {2, 4}
A  B = {x x  A e x  B}
Rifletti……
Se A e B sono disgiunti.
B
A
Cosa succede????
L’intersezione è l’insieme vuoto { }.
AB=
CASI PARTICOLARI DELL’INTERSEZIONE
AA=A
A =
Se A  B = ,
A e B si dicono DISGIUNTI
AA =
AU=A
Se B  A allora A  B = B
Esempio:
AB
A = a; b; c; d; e; f
A
a
AB
B = d; e; f; g; h; i; l
d
b
e
c
f
A  B = d; e; f
e
B
g
i
h
l
A  B = a; b; c; d; e; f; g; h; i; l
Rifletti……
di quali proprietà gode l’unione e l’intersezione?
Proprietà commutativa
• L‘unione fra l'insieme A e l'insieme B è uguale all’unione
fra l'insieme B con l'insieme A, ovvero…
A B=BA
• L'intersezione fra l'insieme A e l'insieme B è uguale
all'intersezione fra l'insieme B con l'insieme A, ovvero…
AB=BA
Proprietà associativa
• Tutta l‘unione fra l'insieme A e l'insieme B unita con
l'insieme C è uguale a tutta l‘unione fra B e C unita ancora
con A, ovvero…
(A  B)  C = A  (B  C)
• Tutta l'intersezione fra l'insieme A e l'insieme B intersecata
con l'insieme C è uguale a tutta l'intersezione fra B e C
intersecata ancora con A, ovvero…
(A  B)  C = A  (B  C)
Proprietà distributiva
• L'unione degli insiemi B e C intersecata con l'insieme A, è
uguale all'unione fra l'intersezione di A con B e di A con C,
ovvero…
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
• L‘intersezione degli insiemi B e C unita con l'insieme A, è
uguale all‘intersezione fra l‘unione di A con B e di A con
C, ovvero…
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
Differenza generica
Cosa metti nella differenza fra l’insieme A e B ?
Gli elementi che appartengono ad A, ma che non
appartengono a B.
C = A-B = {x | xA  xB}
A
B
SIMBOLO DIFFERENZA GENERICA. “A - B”oppure “A / B”
A
B
A-B
Si tolgono ad A tutti gli elementi che
appartengono a B
E’ costituito dagli elementi di A che
NON appartengono a B
DIFFERENZA.
A
a
A
b
c
g
d
e h
f
l
a
b
“A - B”,
c
g
d
e h
f
l
A
B
i
B
B - A = g; h; i; l
i
a
A - B = a; b; c
“B - A”.
b
c
g
d
e h
f
l
B
i
Ancora un esempio:
A = a; b; c; d; e; f
A
a
d
b
e
c
f
A - B = a; b; c
B = d; e; f; g; h; i; l
B
g
i
h
l
B - A = g; h; i; l
RIFLETTI…..
• Nella differenza generica B  A???
NO
• Se B  A possiamo parlare di differenza tra
A e B???
SI
• Come si chiama tale differenza?
Differenza complementare
DIFFERENZA COMPLEMENTARE
Si definisce differenza complementare fra l’insieme A e il suo
sottoinsieme B, l’insieme degli elementi che stanno in A ma
non in B
A – B = {x x  A e x  B}
A
B A
Il complementare di B
rispetto ad A si indica
con
A
B
CBA = A – B ,
ed è la parte colorata in
figura.
Dati ad esempio i due insiemi
U = {1,2,3,5} e A = {2,3}, il complementare di A
è dato dal seguente insieme:
U-A
U - A = {1,5}
.1
.2 A
.3
.5
CASI PARTICOLARI DELLA DIFFERENZA
TRA INSIEMI
A-A=
A- =A
Se A  B =  allora A - B = A e B - A = B
Se B  A allora B - A = 
Differenza Simmetrica
• Cosa metti nella differenza simmetrica fra l’insieme A e B ?
Gli elementi che appartengono ad A, che appartengono a B, ma
che non appartengono A  B.
C = {x | xA  x x A  B}
Dati ad esempio i due insiemi A = {0,1,2,3,4} e B = {2,4,6}, l’insieme differenza
tra A e B è data dal seguente insieme C:
C = {0;1;3;6}
C
RIFLETTI……
Quale delle differenze studiate
gode della proprietà commutativa???
La differenza simmetrica!!!
OSSERVAZIONI SUL PRODOTTO CARTESIANO
Gli elementi del prodotto cartesiano sono coppie ordinate
Una coppia (x;y) si dice ordinata, quando il primo elemento
appartiene sempre al primo insieme (insieme di partenza) ed il
secondo elemento appartiene sempre al secondo insieme (insieme di
arrivo) .
La coppia (x;y) è diversa dalla coppia (y;x)
Il prodotto cartesiano non gode della proprietà commutativa, perché
AxB  BxA
A x A = A2
Se A e B hanno rispettivamente “n” e “m” elementi, l’insieme A x B possiede
“n per m” elementi.
PRODOTTO CARTESIANO
Si definisce prodotto cartesiano di due insiemi A e B, e si indica
A x B, l’insieme formato da tutte le coppie ordinate (x;y) dove
il primo elemento appartiene ad A e il secondo a B
A x B = (x;y)x  A e y  B 
Dati gli insiemi: A = a; b; c;
e B = 1;2
Si legge A cartesiano B
A
A x B =  (a ;1), (a ;2), (b ;1),
(b ;2), (c ;1), (c ;2) 
a
b
c
B
1
2
RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEL PRODOTTO CARTESIANO
L’insieme A x B = (a; 1); (a; 2); (b; 1); (b; 2); (c; 1); (c; 2)
può essere rappresentato graficamente nei seguenti modi:
A
B
a
Rappresentazione SAGITTALE
1
b
2
c
Rappresentazione mediante
tabella a DOPPIA ENTRATA
Rappresentazione CARTESIANA
2



1



a
b
c
1
(a;1)
(b;1)
(c;1)
2
(a;2)
(b;2)
(c;2)
a
b
c
/A
B
PARTIZIONE DI UN INSIEME
AA
1
A5
Si consideri insieme A e un numero
“n” di sottoinsiemi propri di A.
A2
A4
A3
Si dice che questi sottoinsiemi costituiscono una
PARTIZIONE di A se:
1
Ogni sottoinsieme è proprio
2
I sottoinsiemi sono a
due a due disgiunti
3
L’unione di tutti i
sottoinsiemi dà l’insieme A
Ai  A e Ai  , " i
Ai  Ak =  con i  k
A1  A2  A3  A4  A5 = A
IN SINTESI: La partizione di un insieme deve necessariamente
generare:
1) Insiemi non vuoti.
2) I sottoinsiemi ricavati devono essere disgiunti.
3) L'unione di tutti i sottoinsiemi deve dare l'insieme generatore.
Sia dato quindi un insieme S definito come l'insieme di studenti di una
Scuola Media Superiore, tramite l'operazione di partizione si possono
individuare altri sottoinsiemi propri all'interno di S.
S=x / studenti di Scuola Media Superiore suddivisi in classi
Graficamente, quindi, questa operazione si rappresenta come:
ESERCIZIO N. 1…..
Trova: A  B  C
C
Clicca sulla risposta
corretta
m
n
A
a
d
b
e
c
f
A  B  C = g; h; i; l
A  B  C = d; e; f
B
g
i
h
l
A  B  C = d
A  B  C = e; f
Esercizio
Successivo
ESERCIZIO N. 2…..
Trova: C - (A  B)
C
Clicca sulla risposta
corretta
m
n
A
a
d
b
e
c
f
C - (A  B) = m; n
B
g
i
h
l
C - (A  B) = e; f
C - (A  B) = m; n; d C - (A  B) = g; h; i; l
Soluzione
passo passo
Esercizio
Successivo
ESERCIZIO N. 3…..
Quale espressione
rappresenta l’area
evidenziata?
C
Clicca sulla risposta
corretta
B
A
C - (A  B)
(C  B) - A
CB
(A  B) - C
Esercizio
Successivo
ESERCIZIO N. 4…..
Quale espressione
rappresenta l’area
evidenziata?
C
Clicca sulla risposta
corretta
B
A
C - (A  B)
(C  B) - A
CB
(A  B) - C
Esercizio
Successivo
ESERCIZIO N. 5…..
Quale espressione
rappresenta l’area
evidenziata?
C
Clicca sulla risposta
corretta
B
A
(C - (A  B))  ((A  B) - C)
(C  B) - A
CB
(A  B) - C
Esercizio
Successivo
Problemi con gli insiemi
PROBLEMA 1
Al bar della scuola ci sono 40 studenti.
• 15 alunni mangiano una pizzetta.
• 20 alunni mangiano un panino.
• 10 alunni non mangiano nulla.
Rispondi…….
• Quanti alunni mangiano solo la pizzetta?
• Quanti alunni non mangiano il panino?
• Quanti alunni mangiano il panino, la
pizzetta o tutti e due?
• Quanti alunni mangiano o solo il panino
o solo la pizzetta?
Utilizza le tue conoscenze sugli
insiemi ……
• A = {alunni che mangiano un panino}
• B = {alunni che mangiano una pizzetta}
Utilizza la rappresentazione
grafica …….
Insieme A
Insieme B
Hai trovato la soluzione?
Confronta…….
• 5 alunni mangiano sia il panino che la
pizzetta.
• 20 alunni non mangiano il panino.
• 10 alunni mangiano solo la pizzetta.
• 30 alunni mangiano il panino, la pizzetta
o tutti e due.
• 25 mangiano o solo la pizzetta o solo il
panino.
PROBLEMA 2
In una classe di 20 studenti :
• 10 alunni giocano a pallavolo.
• 14 alunni giocano a calcio.
• 8 giocano sia a calcio che a pallavolo.
Prova a risolvere…..
• Quanti alunni giocano solo a pallavolo?
• Quanti alunni giocano solo a calcio?
• Quanti non giocano a nessuno dei due sport ?
Hai trovato la soluzione?
Confronta…….
• N ° 2 alunni giocano solo a pallavolo.
• N ° 6 alunni giocano solo a calcio.
• N ° 4 non giocano a nessuno dei due sport.
TEORIA DEGLI INSIEMI
FINE DELLA
PRESENTAZIONE
SEGUONO LE DIAPOSITIVE
DI RISPOSTA AI QUESITI
SOLUZIONE ESERCIZIO N. 2…..
Trova: C - (A  B)
Un clic del mouse
Si tolgono
aC
gli
per
avanzare
passoelementi
di= A
n
B
Soluzione
m;
passo
C
m
n
A
a
d
b
e
c
f
B
g
i
h
l
Torna all’esercizio
TEORIA DEGLI INSIEMI
COMPLIMENTI
RISPOSTA
ESATTA!!!!
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precedente
TEORIA DEGLI INSIEMI
MI DISPIACE
RISPOSTA
ERRATA!!!!
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precedente
TEORIA DEGLI INSIEMI
MI DISPIACE
RISPOSTA
ERRATA!!!!
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