GLI INSIEMI
Dispensa a cura del prof.
CAVAGNA GIANCARLO
Luglio 2002
Presentazione
Questa dispensa nasce come supporto alla lezione. Il docente può
integrare le proprie spiegazioni proiettando le diapositive anche
non in sequenza. Animazioni e chiarezza grafica sono sicuramente
da considerarsi aspetti vantaggiosi rispetto agli strumenti
tradizionali. Le animazioni inoltre, possono aiutare lo studente
nell’apprendimento graduale del concetto. Questa presentazione
può anche essere utilizzata come valido supporto allo studio.
L’allievo può utilizzarla per rivedere autonomamente le parti
fondamentali dell’unità didattica. Sono state inoltre introdotte
alcune diapositive di approfondimento sugli insiemi infiniti e i
paradossi che ne derivano, queste diapositive richiedono il
sostegno di una spiegazione. Vengono infine proposti alcuni
esercizi grazie ai quali l’allievo può autoverificare il proprio grado
di preparazione.
RAPPRESENTAZIONE
Per rappresentare un qualsiasi insieme possiamo utilizzare tre diversi metodi. Si
voglia ad esempio rappresentare l’insieme che chiameremo “A” di tutti gli amici
di Marco che sono: Andrea, Marta, Simone, Matteo, Anna, Martina.
1
Con i diagrammi di Eulero Venn:
A
Marta 
Andrea 
2
Attraverso la
rappresentazione tabulare
(estensiva):
Matteo 
Simone 
Martina
Anna
A = Marta; Andrea; Matteo; Martina; Simone; Anna
3
Enunciando la proprietà
caratteristica (intensiva):
A = xx è amico di Marco
APPARTENENZA “”
U
B = b; d
A
A = a; b; d; e; f
e
U = a; b; c; d; e; f
c
a  A, a  U, a  B,
c  U, c  B, c  A
B
a
b
f
d
b  B, b  A, b  U
SOTTOINSIEMI, INCLUSIONE “, ”
B è un SOTTOINSIEME
U
IMPROPRIO di A
Ogni insieme è un
SOTTOINSIEME
(IMPROPRIO) di sé stesso
L’insieme vuoto è un
SOTTOINSIEME
(IMPROPRIO) di ogni
insieme
A
B
b
C
a
d
c
A è un SOTTOINSIEME
DI U
C è un SOTTOINSIEME
DI B
BA
A  A, B  B,…..
  C,   B, …..
A U
C B
SOTTOINSIEMI, INCLUSIONE
U
U = a; b; c; d; e; f
A = a; b; d; e; f
B = b; d
b; d  B
a; b; d  A
d  B
A
e
c
B
a
b
d
f
APPARTENENZA e INCLUSIONE
APPARTENENZA
INCLUSIONE
A

L’elemento b
appartiene
all’insieme A
bA
b
d

L’insieme b è
strettamente
incluso
nell’insieme A
b  A

L’insieme d;b
è uguale ad A
d;b  A
oppure
d;b = A
INSIEME COMPLEMENTARE. A
A = CuA= xx U e x  A 
U
b
E’ l’insieme degli
elementi di U
a
c
d
f
e
A
g
A =a; b; g
Che non appartengono
ad A
INSIEME COMPLEMENTARE. CBA
CBA= xx B e x  A 
B
b
E’ l’insieme degli
elementi di B
a
c
d
f
e
A
g
CBA =a; b; g
Che non appartengono
ad A
INTERSEZIONE “A  B”
E’ l’insieme degli elementi
che appartengono sia ad A
sia a B
A  B = xx A e x  B 
B
A
AB
CASI PARTICOLARI DELL’INTERSEZIONE
AA=A
A =
Se A  B = ,
A e B si dicono DISGIUNTI
AA =
Se B  A allora A  B = B
AU=A
UNIONE “A  B”
E’ l’insieme degli elementi
che appartengono ad A
“o” a B, cioè ad almeno
uno dei due insiemi dati.
A
A B
A  B = xx A o x  B 
B
UNIONE di insiemi DISGIUNTI
L’UNIONE degli insiemi A e B è l’insieme degli elementi che
appartengono ad A “o” a B, cioè ad almeno uno dei due
insiemi dati.
A
B
A B
CASI PARTICOLARI DELL’UNIONE
AA=A
A =A
AA =U
Se B  A allora A  B = A
A B
AB
A = a; b; c; d; e; f
A
a
B = d; e; f; g; h; i; l
d
b
e
c
f
A  B = d; e; f
B
g
i
h
l
A  B = a; b; c; d; e; f; g; h; i; l
DIFFERENZA. “A - B”
E’ l’insieme formato
gli elementi
A -daBtutti
= xx
A e dix Ache
B non appartengono a B
A
B
A-B
Si tolgono ad A tutti gli elementi
che appartengono a B
E’ costituito dagli elementi di A
che NON appartengono a B
DIFFERENZA.
A = a; b; c; d; e; f
A
a
d
b
e
c
f
A - B = a; b; c
“A - B”, “B - A”.
B = d; e; f; g; h; i; l
B
g
i
h
l
B - A = g; h; i; l
DIFFERENZA.
A
a
A
b
c
g
d
e h
f
l
a
b
“A - B”, “B - A”.
c
g
d
e h
f
l
A
i
B
B - A = g; h; i; l
i
a
A - B = a; b; c
B
b
c
g
d
e h
f
l
B
i
CASI PARTICOLARI DELLA DIFFERENZA
TRA INSIEMI
A-A=
A- =A
Se A  B =  allora A - B = A e B - A = B
Se B  A allora B - A = 
INSIEME DELLE PARTI “P(A)”
Dato un insieme A, l’insieme di
tutti i suoi SOTTOINSIEMI
propri e impropri, si definisce
insieme delle parti di A e si indica
A = a; b; c;
A
b

a
a
con P(A)
c
b
I possibili SOTTOINSIEMI di A
L’insieme delle parti di A è:
sono:
c
a; b
a; c
b; c
a; b; c
P(A) =  ; a; b; c; a; b; a; c; b; c; a; b; c 
Gli elementi di P(A) sono
INSIEMI
Se A contiene n elementi,
P(A) ne contiene 2n
PARTIZIONE DI UN INSIEME
AA
1
A5
1
2
3
Si consideri un numero “n” di
sottoinsiemi di A.
A2
A4
A3
Si dice che questi sottoinsiemi costituiscono una
PARTIZIONE di A se:
Ai  A e Ai  ,  i
Ai  Ak =  con i  k
A1  A2  A3  A4  A5 = A
Ogni sottoinsieme è proprio
I sottoinsiemi sono a
due a due disgiunti
L’unione di tutti i
sottoinsiemi dà
l’insieme A
PRODOTTO CARTESIANO
Si definisce prodotto cartesiano di due insiemi A e B, e si indica
A x B, l’insieme formato da tutte le coppie ordinate (x;y) dove
il primo elemento appartiene ad A e il secondo a B
A x B = (x;y)x  A e y  B 
Dati gli insiemi: A = a; b; c;
e B = 1;2
Si legge A cartesiano B
A
A x B =  (a ;1), (a ;2), (b ;1),
(b ;2), (c ;1), (c ;2) 
a
b
c
B
1
2
RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEL PRODOTTO CARTESIANO
L’insieme A x B = (a; 1); (a; 2); (b; 1); (b; 2); (c; 1); (c; 2)
può essere rappresentato graficamente nei seguenti modi:
A
B
a
Rappresentazione SAGITTALE
1
b
2
c
Rappresentazione
mediante
tabella a DOPPIA ENTRATA
Rappresentazione CARTESIANA
2
1


a


b

1
(a;1)
(b;1)
(c;1)

2
(a;2)
(b;2)
(c;2)
a
b
c
c
B
/A
OSSERVAZIONI SUL PRODOTTO CARTESIANO
La coppia (x;y) è diversa dalla coppia (y;x)
Gli elementi dell’insieme cartesiano sono coppie
A x A = A2
AxB

BxA
Se A e B hanno rispettivamente “n” e “m” elementi,
l’insieme A x B possiede “nxm” elementi.
LE STRANEZZE DEGLI INSIEMI
INFINITI
L’insieme dei numeri pari P è un
sottoinsieme proprio dell’insieme dei
numeri naturali N?
Rispondi:
N = 0; 1; 2; 3;
P = 0; 2;
4; 6;
4;
8;
5; 6;
7;
10….
8; 9;
10;
11;
12;.. 
Si! Infatti per costruire P
scelgo solo alcuni elementi
di N.
Quale insieme ha più elementi? N o P?
Se P ha meno elementi, come si è portati a pensare essendo P
un sottoinsieme proprio di N, contando gli elementi di P ad un
certo punto ci si dovrà fermare, proprio come succede quando
si conta il numero delle stanze della casa dove abitiamo!
PROVA A CONTARE UTILIZZANDO LE DITA IL
NUMERO DELLE STANZE DELLA TUA CASA!!!!
Proviamo a contare quanti elementi (numeri) ha P. Invece che
contare utilizzando le dita come facciamo qualche volta,
utilizziamo l’insieme N e delle frecce. Per ora trascuriamo lo
zero.
N = 1;
2;
3; 4;
P = 2; 4;
5;
6; 7;
8;
9; 10;
11;
12;.. 
6; 8; 10; 12; 14; 16; 18….
A quale numero ci fermiamo????? Quanti sono gli elementi di P??
Chi ha più elementi N o P?
Abbiamo ottenuto un risultato assai strano! Dato un insieme
con un numero infinito di elementi è possibile che un suo
SOTTOINSIEME PROPRIO abbia lo stesso numero di
elementi!!!
L’HOTEL DI HILBERT
1

2


3


4


5


6


7


...


1

2

3

4

5

6

7

...

1
2

3
4

5
6

7
...

In rete:
http://multifad.formazione.unipd.it/~insiemi/paradossi.htm
In questo sito troverete:
•nozioni fondamentali sugli insiemi;
•animazioni riguardanti le operazioni fra insiemi;
•un po’ di storia relativa allo sviluppo della teoria degli insiemi;
•il paradosso dell’Hotel infinito di Hilbert.
http://www.dm.unibo.it/matematica/AlgebraLineare/diz1/insiemi.htm
Un ipertesto con brevi note teoriche, alcuni esempi ed esercizi.
ESERCIZIO N. 1…..
Trova: A  B  C
C
Clicca sulla risposta
corretta
m
n
A
a
d
b
e
c
f
A  B  C = g; h; i; l
A  B  C = d; e; f
B
g
i
h
l
A  B  C = d
A  B  C = e; f
Esercizio
Successivo
ESERCIZIO N. 2…..
Trova: C - (A  B)
C
Clicca sulla risposta
corretta
m
n
A
a
d
b
e
c
f
C - (A  B) = m; n
B
g
i
h
l
C - (A  B) = e; f
C - (A  B) = m; n; d C - (A  B) = g; h; i; l
Soluzione
passo passo
Esercizio
Successivo
ESERCIZIO N. 3…..
Quale espressione
rappresenta l’area
evidenziata?
C
Clicca sulla risposta
corretta
B
A
C - (A  B)
(C  B) - A
CB
(A  B) - C
Esercizio
Successivo
ESERCIZIO N. 4…..
Quale espressione
rappresenta l’area
evidenziata?
C
Clicca sulla risposta
corretta
B
A
C - (A  B)
(C  B) - A
CB
(A  B) - C
Esercizio
Successivo
ESERCIZIO N. 5…..
Quale espressione
rappresenta l’area
evidenziata?
C
Clicca sulla risposta
corretta
B
A
(C - (A  B))  ((A  B) - C)
(C  B) - A
CB
(A  B) - C
Esercizio
Successivo
RISPOSTE AI QUESITI
SOLUZIONE ESERCIZIO N. 2…..
Trova: C - (A  B)
Un clic del mouse
Si tolgono
aC
gli
per
avanzare
passoelementi
di= A
n
B
Soluzione
m;
passo
C
m
n
A
a
d
b
e
c
f
B
g
i
h
l
Torna all’esercizio
TEORIA DEGLI INSIEMI
COMPLIMENTI
RISPOSTA
ESATTA!!!!
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MI DISPIACE
RISPOSTA
ERRATA!!!!
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