Disequazioni irrazionali
Definizione:
Una disequazione si dice irrazionale quando l’incognita
compare sotto il segno di radice.
Tipi di disequazione
Caso 1
f x   g x 
Caso 2
f x   g x 
Caso 3
n
f x   g x 
o
n
f x   g x 
n dispari
Caso 4
n
f x   g x 
o
n
f x   g x 
n pari
Caso 1
f x   g x 
Quando ha senso questo problema?
1. Deve esistere la radice quadrata
f x   0
2. Il secondo membro deve essere positivo
g x   0
Per risolvere ora si può elevare al quadrato ambo i membri
della disequazione.
f x   g x 
equivale a risolvere
 f x   0

 g x   0
 f x   g x  2

Osservazione: se f (x) e g (x) non sono funzioni razionali
intere si deve inoltre tener conto del loro campo di
esistenza e lo si deve indicare nel sistema precedente.
4 x  13x  3  2 x  3
2
4 x 2  13x  3  0
(1)
2x  3  0
(2)
4 x 2  13 x  3  2 x  3
2
Risolvendo si ha
1
x
4
3
x
2
x  6

(3)
x3
-6
La soluzione è
1/4
x3
3/2
3
f x   g x 
Caso 2
Quando ha senso questo problema?
1. Deve esistere la radice quadrata
f x   0
2. Il secondo membro può assumere qualunque segno.
Dobbiamo fare una scelta:
a)
g x   0
In tal caso basta risolvere
 f x   0

 g x   0
b)
g x   0
Per risolvere la disequazione irrazionale ora si deve elevare al
quadrato ambo i membri della disequazione, quindi:
 f x   0

 g x   0
 f x   g x  2


 g x   0

2
 f x   g x 
f x   g x 
equivale a risolvere
 f x   0

 g x   0
V
 g x   0

2
 f x   g x 
Osservazione: se f (x) e g (x) non sono funzioni razionali
intere si deve inoltre tener conto del loro campo di
esistenza e lo si deve indicare nel sistema precedente.
x  8  x  9 x  14
2
x 8  0
(*)
V
(**)
x 8  0
x  82  x 2  9 x  14
x 2  9 x  14  0
Risolvendo (*) si ha
x2
Risolvendo (**) si ha
x 8
 7 x 8
Dall’unione delle soluzioni di (*) e di (**) si ha
x2
 x7
Caso 3
n
f x   g x 
o
n
f x   g x 
n dispari
Quando ha senso questo problema? Sempre perché ….
Se n è dispari, dati a e b numeri reali si ha che:
a < b => an < bn
a > b => an > bn
quindi per analogia le disequazioni precedenti equivalgono
rispettivamente a:
f  x   g  x 
n
o
f x   g  x  
n
x 1  x  6x  7
3
x  1
3
 x  6x  7
2
x  1  x  1x  7   0
3
2
x  1


x 1x 2  2 x  1  x  7  0
3
 x  1x  7 
x  1 x  1
2


 x  7   0
x  1x 2  3x  6  0
La soluzione finale è
3  33
3  33
x
 1 x 
2
2
Caso 4
n
f x   g x 
n pari
Quando ha senso questo problema?
1. Deve esistere la radice n-esima
f x   0
2. Il secondo membro deve essere positivo
g x   0
Per risolvere ora si può elevare alla potenza n-esima ambo i
membri della disequazione.
f x   g x  n
n
f x   g x 
equivale a risolvere
 f x   0

 g x   0
 f x   g x  n

Osservazione: se f (x) e g (x) non sono funzioni razionali
intere si deve inoltre tener conto del loro campo di
esistenza e lo si deve indicare nel sistema precedente.
Caso 4
n
f x   g x 
n pari
Quando ha senso questo problema?
1. Deve esistere la radice n-esima
f x   0
2. Il secondo membro può assumere qualunque segno.
Dobbiamo fare una scelta:
a) g x   0
In tal caso basta risolvere
 f x   0

 g x   0
b)
g x   0
Per risolvere la disequazione irrazionale ora si deve elevare
alla n ambo i membri della disequazione, quindi:
 f x   0

 g x   0
 f x   g x  n


 g x   0

n
 f x   g x 
n
f x   g x 
equivale a risolvere
 f x   0

 g x   0
V
 g x   0

n
 f x   g x 
Osservazione: se f (x) e g (x) non sono funzioni razionali
intere si deve inoltre tener conto del loro campo di
esistenza e lo si deve indicare nel sistema precedente.