ESEMPI DISEQUAZIONI
IRRAZIONALI
Classe III
a.s. 2012/2013
prof.ssa R. Schettino
Disequazioni irrazionali
x  2  1  6 x  12 x
3
2
È una disequazione irrazionale di indice dispari.
Quindi il Dominio del radicale è , bisogna elevare alla
terza i due membri della disequazione
x  2  1  6 x  12 x
3
x  2
3
2
3
2

  1  6 x  12 x 


3
sviluppiamo i calcoli
x 3  6 x 2  12 x  8  1  6 x 2  12 x
x 9  0
3
x3  9
estraiamo la radice cubica di entrambi i membri
x3 9
soluzioni della disequazione data
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2
Disequazioni irrazionali
7
x 1
 1
x 1
7
È una disequazione irrazionale di indice dispari. Va
considerato il Dominio del radicando: x 1 .Bisogna
elevare alla settima potenza entrambi i membri
della disequazione
 x 1 
7
   17
 x 1 


x 1
 1 disequazione fratta da risolvere col falso sistema
x 1
svolgendo i calcoli si ha
2x
0
x 1
0
1
x0
x0

x 1  0
x 1
soluzioni 0  x  1
+
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-
+
3
Disequazioni irrazionali
x  2  x 3 1
3
x  2 
3
  3 x 3  1 


È una disequazione dello stesso tipo delle precedenti.
Il Dominio è . Eleviamo alla terza entrambi i membri
della disequazione
3
x 3  6 x 2  12 x  8  x 3  1
6 x 2  12 x  9  0 dividiamo per 3
2x 2  4x  3  0
x
2 46
2
È una disequazione di 2° grado di cui calcoliamo le radici
Poiché <0, non ci sono radici reali e, essendoci concordanza
tra a (2) e il segno della disequazione (entrambi positivi) , la
disequazione è verificata  x
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4
Disequazioni irrazionali
5
x  100
2
x 1
È una disequazione irrazionale di indice dispari. Il Dominio del
radicando è x -1. Eleviamo alla quinta entrambi i membri
della disequazione
5
 x  100 
5
  32


x

1


x  100
 32
x 1
 31 x  68
 0 Cambiamo segno al numeratore ed il verso della disequazione
x 1
31 x  68
0
Disequazione fratta da svolgersi con il falso sistema
x 1
68
31 x  68  0
x

31
-1
68/31
x 1  0
x  1
soluzioni : 1  x 
68
31
+
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-
+
5
Disequazioni irrazionali
x  5x  6  x  1  0
2
x 2  5x  6  x  1
È una disequazione irrazionale di indice pari. Bisogna
vedere di che tipo è, quindi isoliamo il radicale al 1°
membro
È del tipo
A( x)  B( x)
 x 2  5x  6  0  x  1  0
 2

 x  1  0
 x  5x  6  x  12

x


x
x

x
5 1
2
1

 x  2, x 2  3
  1
x  1
 2 x  3
1
1
che va risolta con i due sistemi
Risolviamo il 1° sistema che presenta una
disequazione di 2° grado ed una di 1° grado.
Ricordiamo che per risolvere la disequazione di
2° grado vanno determinate le radici
dell’equazione associata
Poiché le radici sono reali e distinte e c’è concordanza
tra a e il segno della disequazione , essa è verificata
per valori esterni all’intervallo delle radici
2
3
soluzioni : x  1
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6
Disequazioni irrazionali
Risolviamo ora il 2° sistema, sviluppando i calcoli algebrici
x  1
 x  1
x  1



 2

 5
3
x

5
 x  5 x  6  x 2  2 x  1

x  3

soluzioni : 1  x 
1
5/3
5
3
Uniamo ora gli intervalli di soluzioni trovati ed otteniamo le soluzioni della
disequazione data: x  5
3
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7
Disequazioni irrazionali
x  1  x  4x
2
4
È una disequazione irrazionale di indice pari del tipo A( x)  B( x)
Si risolve impostando due sistemi e le soluzioni della
disequazione sono date dall’unione delle soluzioni dei due
sistemi
2
4

x  4x  0 
x  1  0

 2
2
4
2


x

4
x

x

1
x  1  0




Risolviamo il 1° sistema la cui prima disequazione si risolve
scomponendo il polinomio in fattori e applicando il metodo
del falso sistema

3

x x  4  0 
 x  3 4  x  0

 2
verificato perché non ci sono


 Mai
x  1  0
radici reali e c’è discordanza
3 4
0
Questo 1° sistema non ammette soluzioni.
Risolviamo il 2° sistema
x  


x  


 4
 2
4
2


x

4
x

x

2
x

1
2
x

4
x

1

0


x  
x  



2 2  
2
2
 x  1
x 
1 
2
2
2


soluzioni : 1 
2
2
 x  1
2
2
Notiamo in questa disequazione che,
2
tenendo conto che il termine x  1
è sempre positivo in quanto somma di
due quadrati, sin dall’inizio si poteva
elevare alla seconda i due membri della
disequazione ed ottenere più
direttamente la risoluzione dell’esercizio
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8
Disequazioni irrazionali
x2  x  x2  4
È una disequazione irrazionale di indice pari, contenente due
radicali. Bisogna considerare il Dominio di ciascun radicale e,
poiché sono entrambi positivi, si elevano alla seconda i due
membri della disequazione. Queste condizioni devono
coesistere per cui si imposta un sistema
In queste due disequazioni di 2° grado, ci
x 2  x  0
 x1  1, x 2  0
sono radici reali concordanza tra a e il segno

 2

  x1  2, x 2  2 della disequazione, quindi entrambe sono
x  4  0
 2

verificate per valori esterni all’intervallo delle
x  x  x 2  4  x  4


radici
 x  1, x  0

  x  2, x  2
-4
-2
-1
0
2
 x  4

soluzioni : 4  x  2  x  2
prof.ssa R. Schettino
9
Disequazioni irrazionali
x 1

2x 1
2 x  1 13

x 1
6
 x 1
 2x 1  0

 2x 1
0

x

1

169
 x  1 2x 1


2

 2x 1 x  1
36

È una disequazione irrazionale contenente due radicali quadratici.
Bisogna considerare i domini dei radicali ed elevare alla seconda i due
membri della disequazione. Attenzione che al 1° membro va fatto il
quadrato di un binomio
Osserviamo che le prime due disequazioni fratte sono una l’inversa
dell’altra per cui basta risolverne una posta solo maggiore di zero e va
fatta con il falso sistema. L’ultima disequazione è una fratta da svolgere
anch’essa con il falso sistema
 x 1
 x 1
 2x 1  0
 2x 1  0





2

14
x

169
x

169
14 x 2  169 x  169


0
0
 2 x  1x  1
 2 x  1x  1
x  1
x
-1
1
2
soluzioni : x  1  x 
Risolviamo la prima disequazione fratta
1
2
+
1/2
prof.ssa R. Schettino
+
10
Disequazioni irrazionali
Risolviamo la seconda disequazione fratta
x  13  x 
14 x  169 x  169  0
1
2x 1  0
 x
2
x 1  0
x  1
2
soluzioni : 13  x  1 
13
14
1
13
x
2
14
-13
+
½
-1
-
+
13/14
-
+
Ora le soluzioni delle due disequazioni fratte vanno messe a sistema e …..
Fate voi lo schema grafico. Vi dò le soluzioni.
soluzioni : 12  x  1 
1
13
x
2
14
prof.ssa R. Schettino
11