Proprietà
Definizione
Disequazioni di primo grado
Disequazioni di secondo grado
Disequazioni di grado
superiore al secondo
Disequazioni Frazionarie
Disequazioni contenenti valori assoluti
Disequazioni Irrazionali
DISEQUAZIONI
Titoli di coda
Definizione di disequazione
• Una diseguaglianza in cui compare un’incognita si chiama disequazione (in
un’incognita).
• Se in una disequazione si sostituisce un numero al posto dell’incognita, la
disequazione si trasforma in una diseguaglianza, che , se ha senso, può
essere vera o falsa. Si dice che un numero è soluzione di una data
disequazione se, sostituendolo all’incognita, rende la disuguaglianza vera.
*in alcuni casi tale intervallo può ridursi a un unico elemento.
Proprietà
• Primo principio di equivalenza della disequazione. Se a entrambi i membri di
una disequazione si somma o sottrae uno stesso numero, si ottiene una
disequazione equivalente‫ ٭‬a quella data.
• Secondo principio di equivalenza delle disequazione. Moltiplicando o
dividendo entrambi i membri di una disequazione per uno stesso numero
positivo, si ottiene una disequazione equivalente alla data.
• Terzo principio di equivalenza delle disequazione. Moltiplicando o dividendo
entrambi i membri di una disequazione per uno stesso numero negativo e
cambiando il verso del simbolo di disuguaglianza, si ottiene una disequazione
equivalente a quella data.
Es. Applichiamo il primo principio di equivalenza sommando 3 a entrambi i membri:
5x + 3 > 2x → 5x – 3 + 3 > 2x + 3 → 5x > 2x + 3
Applicando il secondo principio di equivalenza dividendo per 3 entrambi i membri:
3x > 12 → x > 4
Applichiamo ora il terzo principio di equivalenza dividendo entrambi i membri per il numero negativo 7 e cambiando quindi il verso della disequazione:
-7x ≥ 42→ x ≤ -6
*due disequazione si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni
Disequazioni di primo grado
• Risolvere una disequazione significa trovare i valori dell’incognita per i quali la disequazione si
trasforma in una diseguaglianza vera, ossia significa determinare l’insieme delle soluzioni.
• Nel polinomio P(x)>0 il grado della disequazione dipende dal grado del polinomio P(x) rispetto alla
lettera x.
• Per risolvere una disequazione intera di primo grado si opera nel seguente modo:
1. Si svolgono eventuali prodotti indicati e si libera la disequazione dai denominatori, se questi sono presenti.
2. Si trasportano tutti i monomi contenenti l’incognita al primo membro e tutte le costanti (termini noti) al
secondo membro, poi si riducono i termini simili.
La disequazione si riduce così a queste forme:
ax>b , ax<b , ax≥b , ax≤b .
3. Se il coefficiente dell’incognita è diverso da zero, si dividono entrambi i membri della disequazione per tale
coefficiente, ricordando che se esso è negativo, si deve cambiare il verso e il simbolo di disuguaglianza. Se
invece il coefficiente dell’incognita è zero qualsiasi numero si sostituisca al posto dell’incognita il primo
membro assume il valore di 0, perciò la disequazione si riduce ad una disuguaglianza che vero o falsa
indipendentemente dal valore che si attribuisce all’incognita.
Es. Risolvere la disequazione:
4x  1 5  2x 3x  2


2
3
2
2
Liberiamo la disequazione dai denominatori e successivamente trasportiamo al membro sinistro i termini contenenti
x e al membro destro i termini noti:
2(4 x  1)  3(5  2 x) 3(3x  2)  12

 8 x  2  15  6 x  9 x  6  12  8 x  6 x  9 x  6  12  2  15
6
6
Riducendo quindi i termini simili dividiamo entrambi i membri per -7 cambiando il verso del simbolo di
diseguaglianza:
 7 x  11 
 7 x 11
11

x
7
7
7
Disequazioni Frazionarie
•
•
Una disequazione in cui l’incognita compare al denominatore di qualche frazione si dice
frazionaria.
Per risolvere tali tipi di disequazioni:
ax  bcx  d   0
mx  q
ax  bcx  d mx  q  0
ax  b
0
cx  d
1. Se il secondo membro della disequazione non è zero, si trasportano tutti i termini al primo
membro in modo che al secondo membro compaia solo lo zero.
2. Si cerca di scrivere l’espressione al primo membro come prodotto di polinomi di primo grado in
x, oppure come un’unica frazione, avente per numeratore e denominatore polinomio di primo
grado in x, o prodotti di tali polinomi.
3. Si studia il segno di ciascuno dei polinomi di primo grado prima determinati
4. Si riporta il segno del denominatore e numeratore ricordando che la linea continua indica i valori
positivi e la tratteggiata valori negativi.
5. La soluzione della disequazione è data dal prodotto dei segni che corrispondono al verso della
disequazione, tenendo presente che in corrispondenza dei valori di x per cui si annulla il
numeratore si annulla l’intera espressione (purché per tale valore non si annulli anche il
denominatore) e in corrispondenza dei valori di x per cui si annulla il denominatore l’espressione
perde senso e con essa anche la disequazione.
Risolvere una disequazione frazionaria
Es. Per risolver le seguente disequazione frazionaria:
1
3 x
5
1 x
1 x
Trasportiamo tutti i termini al primo membro e riduciamo allo stesso denominatore
1
3 x
1  4(1  x)  (3  x)
2  5x
4
0
0
1 x
1 x
1 x
1 x
Ora studiamo il segno del numeratore e del denominatore risolvendo la disequazione che si ottiene
ponendo ciascun termine maggiore a zero:
N  2  5x  0  x 
2
5
D  1 x  0  x  1
Rappresentiamo ora il segno del numeratore
su due linee parallele, tratteggiate in
corrispondenza dei valori di x per cui
ciascuno dei due termini, N e D, è negativo e
continua in corrispondenza dei valori di x per
cui ciascuno dei due termini è positivo.
Sulla terza linea rappresentiamo il segno della
frazione. In quanto il segno è positivo in
questo caso prenderemo i valori per i quali la
disequazione è positiva ovvero
2
x
5
 x 1
2
5
1
________________
N _____ _ _ _ _ _ _ _
__________ _ _ _
D
N _____ _ _ _ ______
+
+
D
Disequazioni contenenti valori assoluti
Prima di affrontare le disequazioni con valori assoluti chiariamo il concetto di valore assoluto o modulo.
Il valore assoluto di x, un generico numero reale, è:
per x  0
x
x 
 x per x  0
Ad esempio se è x=+2>0 sarà |+2|=2; se invece è x=-2<0 sarà |-2|=-(-2)=2. Se poi x=0 sarà |0|=0. In
sostanza, la definizione data implica che qualsiasi numero diverso da zero ha valore assoluto positivo
|x|>0 per x≠0. In generale sarà x  0 x  R
Sempre dalla definizione data risulta che due numeri reali avranno lo stesso valore assoluto se sono
uguali o opposti.
Perciò possiamo iniziare con un esempio.
Es. Risolvere la disequazione x  2  3x  5
Come sappiamo la quantità dentro il valore assoluto potrebbe essere sia negativa che positiva, perciò
poniamo il valore assoluto un volta maggiore a zero e una volta minore. Così lo dividiamo in due
sistemi, uno per cui il valore assoluto è negativo e uno per cui lo stesso è positivo. L’unione dei due
sistemi determina, poi, la soluzione del valore assoluto.
x  2 x  2
x  2  0
x  2  0
3
3





7
3  x  2  x  2  x 
2
2
x
 x  2  3 x  5 2  x  3 x  5  x 
4 
2

In alcune applicazioni capita di dover risolvere disequazioni del tipo
|f(x)|<k oppure |f(x)|>k
Disequazioni del tipo f ( x)  k
• Da |f(x)|<k si deduce –k<f(x)<k.
Ricordando la definizione di valore assoluto
 f ( x) se è f ( x)  0
f x   
 f ( x) se è f ( x)  0
Infatti, la disequazione |f(x)|<k, equivale a:
 f ( x)  0  f ( x)  0


 f ( x)  k  f ( x)  k  f ( x)  k
Quindi la disequazione è verificata per
cioè
 k  f ( x)  k
Riassumendo
0  f ( x)  k  k  f ( x)  0
| f ( x) | k  k  f ( x)  k
Si noti che risolvere la relazione –k<f(x)<k equivale a risolvere il sistema  f ( x)  k

 f ( x)  k
Es. Sia da risolvere la disequazione
| 3  2 x | 4
Essa equivale a
 4  3  2x  4
Che riducendo a forma normale
 4  3  2 x  4  3  7  2 x  1  
7
1
x
2
2
Disequazioni del tipo f ( x)  k
• Da |f(x)|>k si deduce f(x)<-k V f(x)>k.
Infatti, la disequazione |f(x)|>k, dà luogo ai due sistemi
 f ( x)  0
 f ( x)  k

f
(
x
)

k

oppure
 f ( x)  0
 f ( x)  0

 f ( x)  k

 f ( x )  k
 f ( x)  k
Quindi la disequazione f ( x)  k
è verificata per
f ( x)  k  f ( x)  k
Riassumendo
| f ( x) | k  f ( x)  k  f ( x)  k
Es. Risolvere la disequazione
| 5  12 x | 9
Equivale a
5  12x  9  5  12x  9
Cioè, risolvendo,
7
1
12 x  14  12 x  4  x    x 
6
3
Disequazioni di secondo grado
Una disequazione di secondo grado ad una incognita è una disequazione riducibile ad una di queste
forme ( forme canoniche):
ax 2  bx  c  0
ax 2  bx  c  0
ax 2  bx  c  0
ax 2  bx  c  0
Per capire come risolvere una disequazione di secondo grado è necessario studiare il segno del trinomio
di secondo grado.
Consideriamo la funzione quadratica ossia il trinomio di secondo grado
f ( x)  ax 2  bx  c
Dove x è la variabile reale e i coefficienti a, b, c sono numeri reali assegnati.
Le radici del trinomio sono le soluzioni reali, se esistono, dell’equazione ax2+bx+c=0 e si indicano con x1
e x2 e, convenzionalmente, quando sono distinte x1<x2.
Queste rappresentano gli unici punti in cui il trinomio si annulla, infatti sostituendo alla x un valore
diverso da quello delle radici il trinomio assume un valore positivo o negativo.
L’intervallo (x1; x2) è detto intervallo delle radici. Si dice che un numero c è interno all’intervallo delle
radici se x1<c<x2; si dice invece che il numero c è esterno all’intervallo se è c<x1 oppure c>x2.
Il discriminante dell’equazione, cioè l’espressione ∆=b2-4ac è anche il discriminante del trinomio.
• Nel caso in cui il trinomio di secondo grado ha il discriminante positivo, e quindi esistono due
soluzioni reali e distinte (x1<x2), è noto che
ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).
Analizziamo ora il caso in cui sostituiamo alla x valori esterni all’intervallo delle radici e quello in cui
sostituiamo invece valori interni all’intervallo delle radici.
Nel primo caso possiamo avere valori esterni all’intervallo delle radici per x>x2 o per x<x1.
Se x>x2, avendo noi posto x1<x2, sarà anche x>x1 quindi x-x1>0 e x-x2>0 da cui il prodotto (x-x1)(x-x2) è
sicuramente positivo.
Se x<x1, avendo noi posto x1<x2, sarà anche x<x2 quindi x-x1<0 e x-x2<0 da cui il prodotto (x-x1)(x-x2) è
anche in questo caso sicuramente positivo.
In entrambi i casi il trinomio avrà il segno del suo primo coefficiente e si dice che il trinomio è concorde
col suo primo coefficiente per tutti i valori di x esterni all’intervallo delle radici.
Nel secondo caso, valori interni all’intervallo delle radici, x1<x<x2 quindi x-x1>0 e x-x2<0 da cui il
prodotto (x-x1)(x-x2) è negativo ed il trinomio avrà segno opposto a quello del suo primo coefficiente e si
dice che il trinomio è discorde col suo primo coefficiente per tutti i valori di x interni all’intervallo delle
radici.
• Nel caso in cui il trinomio di secondo grado ha il discriminante uguale a 0 esistono due soluzioni
reali e coincidenti (x1=x2), in questo caso ax2+bx+c=a(x-x1)2, essendo (x-x1)2>0 sempre positivo il trinomio
ha il segno del suo primo coefficiente per qualsiasi valore di x diverso da x1.
• Nel caso in cui il trinomio di secondo grado ha il discriminante negativo il trinomio non ha radici reali
2

b 

perciò non si annulla mai. Sapendo che ax  bx  c  a  x    2  è facile verificare che il
2a 
4a 

termine in parentesi quadra è sempre positivo poiché è la somma di due addendi di cui il primo,
essendo un quadrato, è sempre positivo o al massimo nullo e il secondo è positivo essendo -∆ >0 dato
che per ipotesi è ∆<0.
Possiamo quindi concludere che il trinomio ha il segno del suo primo coefficiente per qualsiasi valore di
x.
2
Dopo aver studiato il segno del trinomio è possibile risolvere una disequazione di secondo grado,
come negli esempi.
Es. Risolvere la disequazione 2 x 2  5 x  3  0
Occorre determinare i valori di x in corrispondenza dei quali la funzione quadratica ax2+bx+c
assume valori positivi. Essendo, in questo caso ∆>0, il trinomio f(x) risulta positivo, cioè concorde
1
con il suo primo coefficiente per valori esterni all’intervallo delle radici. Poiché è x1   e x 2  3
2
1
la disequazione data è soddisfatta per x    x  3
2
Risolvere la disequazione x 2  14 x  49  0
Il trinomio f(x)=x2-14x+49 ha ∆=0 ed è x1=x2=7.
Poiché il trinomio deve essere o negativo o nullo, cioè discorde con il suo primo coefficiente, la
disequazione è soddisfatta per x=7.
Risolvere la disequazione x 2  3x  10  0
Dobbiamo determinare i valori di x per cui la funzione f(x)=x2-3x+10 è positiva, cioè concorde con il
suo primo coefficiente. Essendo ∆<0 la funzione risulta positiva per qualsiasi valore di x, perciò la
disequazione data è verificata x  R
Schema riassuntivo per la disequazioni di
secondo grado
∆=b2-4ac
Valori di x che verificano la disequazione
ax2+bx+c>0 ax2+bx+c≥0 ax2+bx+c<0 ax2+bx+c≤0
∆>0
(x1<x2)
x<x1Vx>x2
∆=0
a>0
x≤x1Vx≥x2
x1<x<x2
qualsiasi x
b
con x  
x  R
nessun
valore di x
x  R
x  R
nessun
valore di x
2a
∆<0
x1≤x≤x2
x
b
2a
nessun
valore di x
Disequazioni irrazionali
Prima di intraprende lo studio delle disequazioni irrazionali è utile ricordare due principi delle
disuguaglianze tra numeri.
1. Se a e b sono numeri positivi o nulli e se 2n è un generico numero pari, si ha
a  b  a 2n  b 2n
a, b  R0 ; n  N 0
In particolare a noi interesserà il caso 2n=2
2. Se invece a e b sono due generici numeri reali e si indicano con 2n+1 un generico numero dispari, si
ha
a  b  a 2n1  b 2 n1
a, b  R; n  N
In particolare a noi interesserà il caso 2n+1=3
• Una disequazione in una incognita si dice irrazionale quando in essa compaiono uno o più radicali
contenenti l’incognita. Si chiama dominio di una disequazione in un’incognita l’insieme dei numeri che,
sostituiti al posto dell’incognita, trasformano la disequazione in una diseguglianza dotata di senso.
Pertanto se la disequazione contiene solo radicali di indice dispari, in particolare radicali cubici, non si
deve porre alcuna condizione per l’esistenza dei radicali stessi, se invece la disequazione contiene radicali
di indice pari, in particolare radicali quadratici, occorre porre le condizioni di esistenza dei radicali: tutti i
radicali devono essere contemporaneamente positivi o nulli.
Per risolvere una disequazione irrazionale è necessario trasformarla in una razionale, per mezzo di
opportuni elevamenti di entrambi i membri a una stessa potenza.
Ricordando quanto detto prima, l’innalzamento a una potenza con esponente pari di entrambi membri
di una disequazione è possibile solo se entrambi i membri sono positivi; la nuova disequazione che così
si ottiene è equivalente alla data.
L’innalzamento a una potenza con esponente dispari di entrambi i membri di una disequazione, la
trasforma in un’altra sempre equivalente a quella data.
Disequazioni del tipo
f ( x)  g ( x )
Vediamo un particolare tipo di disequazione irrazionale.
f ( x)  g ( x )
Occorrerà innanzitutto porre le condizioni di esistenza del radicale, e se il primo membro è positivo
anche il secondo membro lo sarà
f ( x)  0
g ( x)  0
Se sussistono entrambi si ha una disuguaglianza tra numeri positivi quindi possiamo elevarli al
quadrato.
f ( x)  g ( x)
2
Possiamo concludere che la disequazione è equivalente al seguente sistema
 f ( x)  0

f ( x)  g ( x)   g ( x)  0

2
 f ( x)  g ( x)
Es. Per risolvere la disequazione x 2  4x  3  5  x
Applicando quanto appena visto, possiamo affermare che le soluzioni della disequazione proposta
sono quelle del sistema

x  1  x  3
x 2  4x  3  0

11

 x  5
 x  1 3  x 
5  x  0
3
 x 2  4 x  3  (5  x) 2

11

x 
3

Disequazioni del tipo
f ( x)  g ( x)
Vediamo ora come si risolver una disequazione del tipo
f ( x)  g ( x)
Anche in questo caso occorrerà porre la condizione di esistenza del radicale
f ( x)  0
A differenza di prima, il secondo membro della disequazione può essere sia positivo o nullo, infatti se
sussiste la condizione di accettabilità la disequazione può essere verificata sia se g(x)>0, sia se g(x)<0 e sia
se g(x)=0. Nel caso in cui il secondo membro sia positivo o nullo, si potranno elevare al quadrato
entrambi i membri. Nel caso invece in cui il secondo della disequazione sia negativo, la disequazione
stessa sarà soddisfatta perché sussiste la condizione di accettabilità, in tal caso infatti il primo membro sarà
senz’altro maggiore di una quantità negativa.
L’insieme delle soluzioni della disequazione di partenza sarà quindi dato dall’unione degli insieme delle
soluzioni dei seguenti sistemi
 g ( x)  0
 g ( x)  0
f ( x)  g ( x)  

2
 f ( x)  g ( x)  f ( x)  0
*la condizione f(x)>[g(x)]2 implica che f(x) sia maggiore di un quadrato, quindi la prima delle tre
condizioni può essere tralasciata.
Per risolvere la disequazione 4  x  x  2
Applicando quanto ora visto, si ha
x  2  0
x  2  0 x  2
x  2 x  2
x  2





 2  x  3 x  2  x  3






2
2
4  x  ( x  2) 4  x  0  x  3x  0  x  4 0  x  3  x  4
Disequazioni di grado superiore al
secondo
Per risolvere una disequazione di grado superiore al secondo bisogna abbassarla di grado fino a
ricondurla al secondo grado.
Esistono vari modi per scomporre un trinomio.
Il più semplice è il raccoglimento totale che si applica quando tutti i termini del polinomio hanno un
fattore comune [ax2+2axy=ax(x+2y)].
Se non c’è un fattore comune per tutti i membri è possibile che vi siano fattori comuni in gruppi di
termini (raccoglimenti parziale) [ax-bx+2a2-2ab=x(a-b)+2a(a-b)=(x+2a)(a-b)].
Inoltre si può scomporre attraverso i prodotti notevoli come lo sviluppo di un quadrato (a2+2ab+b2) o un
cubo di polinomio (a3+3a2b+3ab2+b3), differenza di quadrati (a2-b2), somma o differenza tra cubi (a3-b3) o
attraverso la scomposizione di un particolare trinomio di secondo grado (x2+Sx+P).
Un altro metodo di scomposizione dei polinomi è secondo la regola di Ruffini.
Es. Scomporre in fattori il polinomio P(x)=2x2-x-1 osserviamo innanzitutto che il polinomio assume il
valore zero se x=1 infatti si ha P(1)=2 · 12 -1-1=0 possiamo concludere che il polinomio è divisibile per x1 applichiamo la regola di Ruffini per determinare il quoziente della divisione (2x2-x-1):(x-1).
2
-1 -1
1
2 1
→ Q(x)=2x+1
2
1 0
Pertanto si ha che P(x)=2x2-x-1=(x-1)(2x+1)
Lavoro sulle disequazioni
realizzato da:
Alvaro
Chiara
Demasi
Linachiara
Diano
Martina
Gitto
Idabelle
della classe 2°B
Liceo Scientifico
“P.Mazzone” Roccella J.
anno 2006/ 2007
Colonne Sonore:
“Va pensiero” dal coro del Nabucco di G. Verdi, cantata da Cecilia Bartoli, Andrea Bocelli, Bryan Terfel.
Bibliografia:
“Lineamenti di matematica”,
N.Dodero, P.Baroncini, R.Manfredi,
Ghisetti e Corvi editori.