Disequazioni di primo e secondo grado
Il concetto di “disequazione” nella vita di ogni giorno
60
V < 50 (velocità minore di 50 Km/h)
Voto > 60 (promosso!!)
Il significato dei simboli…….
> Maggiore
> Maggiore uguale
< Minore
< Minore uguale
Dati due numeri reali a,b
a>b e a<b
sono disuguaglianze
Una disuguaglianza può essere:
Le disuguaglianze possibili si chiamano
disequazioni
Sono disequazioni, per esempio:
2x < 6
x + 2 ≤ 3x + 1
Se al posto della x sostituiamo un numero la disequazione si
trasforma in disuguaglianza che può essere Vera oppure Falsa
Osserva:
2x+1>7
Se al posto della x sostituisco il numero 4 cosa ottengo???
2(4)+1>7 ovvero 8+1>7 cioè 9 > 7 è una disuguaglianza Vera
Allora 4 è una soluzione della disequazione……………..
Definizione:
Risolvere una disequazione vuol dire trovare l’insieme dei
numeri che sostituiti all’incognita la trasformano in una
disuguaglianza vera
Data la disequazione
3x - 1 > 2x + 1
1. Trasporto tutti i termini al primo membro cambiandone il
segno
3x - 1 - 2x - 1 >0
2. Riduco i termini simili
x-2>0
3. Trasporto dopo il segno maggiore il termine noto (-6)
cambiando il segno
x>2
Data la disequazione
3x - 1 > 2x + 1
Trasporto tutti i termini al primo membro cambiandone il
segno:
3x - 1 - 2x - 1 >0
2. Riduco i termini simili
x - 2> 0
2. Pongo x-6 uguale ad y ed ottengo
y=x-2
Y= x-2 è l’equazione di una retta… la vogliamo disegnare????
+
Costruiamo la tabella x y
-1 -3
0 -2
1 –1
La retta è positiva per
2 0
x>2
+
-3
-2
-1
-
0
1
-
2
La retta è
positiva
nella fascia
maggiore di
2 cioè la
soluzione è
x>2
Schema risolutivo ed esercizio guida
Disequazione:
2(x-3)<x-5
Semplifico l’espressione
 2x-6<x-5
Porto tutti i termini al primo membro
2x-6-x+5<0
Riduco i termini simili
 x-1 <0
Chiamo y il valore di x-1
y = x-1
Costruisco la tabella per disegnare la retta
(x=0; y=-1) (x=1; y=0)
Disegno la retta y= x-1
1
+
Osservando la retta si vede che risulta
“sotto l’asse x” (y<0) cioè negativa per tutti i valori di x < 1
-
Risoluzione di una disequazione di 2° grado
Le disequazioni di 2 grado si devono ricondurre sempre alla forma:
ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c < 0
ax2 + bx + c ≥ 0
ax2 + bx + c ≤ 0
ax2 + bx + c > 0
a>0
D>0
Calcoliamo il Delta
D = b2-4ac
D= b2-4ac >0 soluzioni sono reali e distinte
a > 0 concavità rivolta verso l’alto
Disequazione >0 soluzione: x<x1 ed x>x2 valori esterni
x1
x2
ax2 + bx + c > 0
a>0
D=0
= b2-4ac =0 soluzioni sono reali e coincidenti
a > 0 concavità rivolta verso l’alto
Disequazione > 0 sempre vera la parabola è al di
sopra asse x cioè è sempre positiva
x1 =x2
ax2 + bx + c > 0
a>0
D<0
= b2-4ac < 0 soluzioni complesse coniugate
a > 0 concavità rivolta verso l’alto
Disequazione > 0 sempre vera la parabola è al di
sopra asse x cioè è sempre positiva
ax2 + bx + c < 0
a>0
D>0
Calcoliamo il Delta
D = b2-4ac
= b2-4ac >0 soluzioni sono reali e distinte
a > 0 concavità rivolta verso l’alto
Disequazione < 0 valori negativi (al di sotto asse x)
soluzione: x1 < x < x2 valori interni
x1
x2
ax2 + bx + c < 0
a>0
D=0
= b2-4ac =0 soluzioni sono reali e coincidenti
a > 0 concavità rivolta verso l’alto
Disequazione <0 mai vera la parabola è al di sopra asse x
cioè è sempre positiva
x1 =x2
ax2 + bx + c < 0
a>0
D<0
= b2-4ac < 0 soluzioni sono complesse coniugate
a > 0 concavità rivolta verso l’alto
Disequazione < 0 mai vera la parabola è al di sopra asse x
cioè è sempre positiva
ax2 + bx + c >0
a<0
D>0
D = b2-4ac>0; 2 soluzioni reali e distinte
Disequazione > 0 soluzione: x1 < x < x2 valori interni
x1
x2
ax2 + bx + c >0
a<0
D=0
D = b2-4ac = 0; 2 soluzioni reali e coincidenti
Disequazione > 0 mai vera la parabola è al di sotto
asse x
x x
1= 2
ax2 + bx + c >0
a<0
D<0
D = b2-4ac < 0; 2 soluzioni complesse coniugate
Disequazione > 0 mai vera la parabola si trova al di
sotto dell’asse delle x quindi è negativa
ax2 + bx + c < 0
a<0
D>0
D = b2-4ac>0; 2 soluzioni reali e distinte
Disequazione < 0 soluzione: x<x1; x > x2 valori esterni
x1
x2
ax2 + bx + c < 0
a<0
D=0
D = b2-4ac = 0; 2 soluzioni reali e coincidenti
Disequazione < 0 sempre vera la parabola è tutta al di
sotto asse x
x1=x2
ax2 + bx + c < 0
a<0
D<0
D = b2-4ac < 0; 2 soluzioni complesse coniugate
Disequazione < 0 sempre vera la parabola è sempre al
di sotto dell’asse x
a>0
ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c < 0
Δ>0
due soluzioni
reali e disstinte
x < x1 e x > x2
Valori esterni
x 1 < x < x2
Valori interni
Δ=0
Due sol.
coincidenti
Sempre vera
Mai vera
Δ<0
Nessuna
soluzione reale
Sempre vera
Mai vera
a<0
ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c < 0
Δ>0
due soluzioni
x1 < x < x2
Valori interni
x< x1 e x > x2
Valori esterni
Δ=0
Due sol.
coincidenti
Mai vera
Sempre vera
Δ<0
Nessuna
soluzione reale
Mai vera
Sempre vera