Potenze: alcune semplici equazioni
Fissiamo ora un numero reale a ed un numero intero positivo n.
Vogliamo risolvere l’equazione
xn = a
definizione: Le eventuali soluzioni prendono il nome√di radici
n-esime (algebriche) di a e si indicano con il simbolo n a
Per capire come funzionano le cose, cominciamo con l’analizzare
alcuni casi particolari.
Potenze: alcune semplici equazioni
I
caso n = 2 :
x2 = a
In questo caso parliamo di radici quadrate (algebriche) o
√
semplicemente radici (algebriche) e scriviamo a
È chiaro a tutti che:
se a < 0
se a = 0
se a > 0
√
a)
l’eq. non ha soluzioni
(non esiste
√
l’eq. ha una sola soluzione x = 0
( 0 = 0)
l’eq. ha due soluzioni, di ugual valore assoluto ma segno
√
opposto
( a = ±x)
Si ha lo stesso comportamento per ogni valore pari di n.
Potenze: alcune semplici equazioni
I
caso n = 3 :
x3 = a
In questo caso parliamo di radici cubiche e scriviamo
È chiaro a tutti che:
√
3
a
per ogni valore di a l’eq. ha una sola soluzione.
√
3
a>0
se a > 0
√
3
Inoltre
0=0
√
3
a<0
se a < 0
Si ha lo stesso comportamento per ogni valore dispari di n.
Potenze: alcune semplici equazioni
√
Abbiamo visto che il simbolo n a può indicare uno, due o nessun
valore a seconda dei casi. Talvolta si crea la necessità che il
simbolo di radice indichi un solo risultato.
definizione: Se n pari e a ≥ 0, l’unica radice n-esima (algebrica)
nonnegativa di a prende il nome di radice n-esima (aritmetica) di
a.
Se n dispari e a ∈ R, l’unica radice n-esima (algebrica) di a prende
anche il nome di radice n-esima (aritmetica) di a.
√
1
La radice n-esima aritmetica di a si indica con i simboli n a o a n
√
attenzione: Lo stesso simbolo può indicare due cose diverse:
la√radice aritmetica e la radice algebrica!
√
25 = ±5 (radice algebrica)
25 = 5
(radice aritmetica)
in
generale
√
√
x 2 = ±x (radice algebrica)
x 2 = |x| (radice aritmetica)
mentre
√
3
x3 = x
(radice algebrica
= radice aritmetica)
Espressioni irrazionali
definizione: Un’espressione irrazionale è un’espressione algebrica
in cui la variabile compare sotto il simbolo di radice n-esima.
Nelle espressioni irrazionali la radice si intende sempre in senso
algebrico
√
√
√
√
3
esempi:
4x − 3x 2
2x + 5 − x 3 x − 7 x sono espr. irraz.
√ 3
x −7
√
7x + x
non sono espr. irraz.
5
−18
definizione: L’espressione che compare sotto radice prende il
nome di radicando
definizione: Chiamiamo dominio di esistenza di un’espr. irraz.
l’insieme dei valori della variabile per cui l’espressione risulta ben
definita.
Se la radice ha indice pari, il dominio di esistenza è dato dai valori
di x per cui il radicando risulta nonnegativo.
Dunque per determinare il dominio di esistenza di un’espr. irraz.
pari bisogna risolvere una disequazione (razionale)
Se la radice ha indice inpari, il dominio di esistenza non ha
Equazioni irrazionali - indice dispari
Consideriamo equazioni del tipo
p
n
f (x) = g (x)
dove f (x) e g (x) sono espressioni nell’ incognita x e n è dispari
p
p
3
3
esempi:
x 2 + 11x + 27 = x + 3
x − x3 + x − 1 = 0
In generale
I
I
I
I
p
n
f (x) = g (x)
p
Non servono condizioni di esistenza, poiché n f (x) è ben
definita per qualunque valore di f (x)
p
Non servono condizioni di consistenza, poiché n f (x) può
assumere qualunque valore
Ci si riporta alla forma normale
Si sfrutta la relazione: an = b n se, e solo se, a = b.
Ne segue che l’eq. assegnata è equivalente a
f (x) = (g (x))n
Equazioni irrazionali - indice parip
Consideriamo equazioni del tipo
n
f (x) = g (x)
dove f (x) e g (x) sono espressioni nell’ incognita x e n è pari
p
p
4
esempi:
5 − x 2 = x − 1,
x 4 − 3x 2 − 4 = x,
q
2 − x + (x − 1)2 + 2x − 1 = 0
In generale
p
n
f (x) = g (x)
I
Ci si riporta alla forma normale
I
Si impone la condizione di esistenza
f (x) ≥ 0
p
poiché n f (x) è definita solo se f (x) ≥ 0
I
Si impone la condizione di consistenza
g (x) ≥ 0
p
poiché n f (x) può assumere solo valori nonnegativi
I
Si sfrutta la relazione: an = b n se, e solo se, a = b (se
a, b ≥ 0). Ne segue che l’eq. assegnata è verificata se
f (x) = (g (x))n
Equazioni irrazionali - indice pari
Da quanto abbiamo detto fin qui, un’equazione irrazionale di indice
pari è equivalente ad un sistema misto (di due disequazioni e una
equazione)

 f (x) ≥ 0
g (x) ≥ 0

f (x) = (g (x))n
osservazione: La seconda e la terza condizione, insieme,
assicurano la prima condizione, in quanto
f (x) = (g (x))n ≥ 0 se g (x) ≥ 0.
Pertanto possiamo concludere che un’equazione irrazionale di
indice pari è equivalente ad un sistema misto (di una disequazione
e una equazione)
g (x) ≥ 0
f (x) = (g (x))n
Disequazioni irrazionali - indice dispari
Consideriamo disequazioni del tipo
p
p
p
p
n
f (x) < g (x) o n f (x) ≤ g (x) o n f (x) > g (x) o n f (x) ≥ g (x)
dove f (x) e g (x) sono espressioni nell’ incognita x e n è dispari
p
√
3
3
esempi:
2x − 1 < 1
x3 + 1 − x − 1 ≥ 0
In generale
I
I
I
I
p
<
n
Ci si riporta alla forma normale
f (x) > g (x)
p
Non servono condizioni di esistenza, poiché n f (x) è ben
definita per qualunque valore di f (x)
p
Non servono condizioni di consistenza, poiché n f (x) può
assumere qualunque valore
<
<
Si sfrutta la relazione: an > b n se, e solo se, a > b.
Ne segue che la diseq. assegnata è equivalente a
<
f (x) > (g (x))n
Disequazioni irrazionali - indice pari
Consideriamo dapprima disequazioni del tipo
p
p
n
f (x) < g (x) o n f (x) ≤ g (x)
√
1
x −1< ,
4
p
2
4 − x > 6x − x + 16
esempi:
√
4
x − 1 ≤ −3,
In generale
p
n
f (x) = g (x)
I
Ci si riporta alla forma normale
I
Si impone la condizione di esistenza
f (x) ≥ 0
p
n
poiché f (x) è definita solo se f (x) ≥ 0
I
Si impone la condizione di consistenza
g (x) ≥ 0
p
n
poiché f (x) può assumere solo valori nonnegativi
Si sfrutta la relazione: an < b n se, e solo se, a < b (se
a, b ≥ 0). Ne segue che l’eq. assegnata è verificata se
f (x) < (g (x))n
I
Disequazioni irrazionali - indice pari
In conclusione, una disequazione irrazionale di indice pari del tipo
p
n
f (x) < g (x)
è equivalente ad un sistema di tre disequazioni

 f (x) ≥ 0
g (x) ≥ 0

f (x) < (g (x))n
Disequazioni irrazionali - indice pari
Consideriamo infine disequazioni del tipo
p
p
n
f (x) > g (x) o n f (x) ≥ g (x)
√
6
esempi:
7 − x ≥ −3,
p
x < 6 + x − x2 + 1
p
4x 2 + 3x − 1 > 2x − 3,
In generale
p
n
f (x) > g (x)
I
Ci si riporta alla forma normale
I
Si impone la condizione di esistenza
f (x) ≥ 0
p
poiché n f (x) è definita solo se f (x) ≥ 0
se g (x) < 0
la disequazione è soddisfatta senza ulteriori condizioni
se g (x) ≥ 0
la disequazione è soddisfatta se inoltre
f (x) > (g (x))n
Disequazioni irrazionali - indice pari
Da quanto fin qui detto, le soluzioni della disequazione assegnata si
ottengono considerando tutte le soluzioni dei due sistemi seguenti

 f (x) ≥ 0
[
f (x) ≥ 0
g (x) ≥ 0
g (x) < 0

f (x) > (g (x))n
osservazione: La seconda e la terza condizione dell’ultimo
sistema, insieme, assicurano la prima condizione, in quanto
f (x) > (g (x))n ≥ 0 se g (x) ≥ 0.
Pertanto possiamo concludere che le
assegnata si ottengono considerando
sistemi seguenti
[ f (x) ≥ 0
g (x) < 0
soluzioni della disequazione
tutte le soluzioni dei due
g (x) ≥ 0
f (x) > (g (x))n
Potenze
Abbiamo fin qui definito le potenze del tipo
ax
con x =: n (intero positivo)
−n (intero negativo)
0
1
n (razionale positivo con denominatore unitario)
Abbiamo anche richiamato le proprietà
P1
ax · ay = ax+y
P2
ax · b x = (a · b)x
P3
(ax )y = ax·y
Proseguiamo il discorso definendo le potenze di indice razionale
m
I Se x =
è un numero razionale, si definisce
n
1 m
1
m
a n = (am ) n = a n
Potenze
osservazione: In linea teorica, sarebbe possibile andare a
distinguere se m
n è positivo/negativo, e se n è pari o dispari, e
m
precisare di volta in volta per quali valori di a sdi può calcolare a n .
Per semplicità penseremo sempre d’ora in avanti che a > 0
È facile convincersi che le propietà P1, P2, P3 valgono anche per
esponenti razionali. Inoltre
P4
ax > 0
P5
a−x = 1/ax
ax < ay se
ax > ay se
x
a < bx
se 0 < a < b allora
ax > b x
P6
P7
P8
se x < y allora
se a 6= 1 e ax = ay allora x = y
a>1
0<a<1
se x > 0
se x < 0
Potenze
esercizio: Semplificare le espressioni:
(1 + a)2/3
3/8
(3 − b)4/3 : (3 − b)1/3
√
1
2· √
6
2
√
6
p
√
64 6 (−2)6 3 −40 · 25
−1
esercizio: L’espressione a2 b 1/3
è uguale a
esercizio: Calcolare:
ab 1/6
1
ab 2
esercizio: L’espressione b a6 b 3
1
a12 b 5
√
b 2 a a3
a−2
b 1/3
1/2
(ab)−1/3
è uguale a
√
b 2 a3 b
√
b b a3
Potenze
Per estensione, possiamo definire la potenza
valore di a > 0 e x reale
ax per qualunque
esempio: Ci possiamo fare un’idea di quanto valga 2π mediante
l’approssimazione decimale di π. Sappiamo che π = 3, 147 · · · .
31
Con approssimazione a 1 cifra decimale, π ≈ 3, 1 = 10
e dunque
√
10
π
31
2 ≈ 2
Con approssimazione a 2 cifre decimali, π ≈ 3, 14 = 314
100 e dunque
√
100 314
π
2 ≈
2
Con approssimazione a 3 cifre decimali, . . .
Come avevamo già detto, quando si maneggiano i numeri reali non
è necessario sapere esattamente quanto valgono, bensı̀ piuttosto
conoscere le proprietà di cui godono.
Nel caso delle potenze reali, valgono le proprietà P1–P8.