Modulo o valore assoluto
F. Bonaldi – C. Enrico
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MODULO O VALORE ASSOLUTO
Questo concetto risulta spesso di difficile comprensione.
Per capirlo, occorre applicare rigorosamente la definizione di modulo.
a) MODULO DI UN NUMERO
Se a è un numero reale qualsiasi allora : |a| (che si legge valore assoluto o modulo di a), si intende
che rappresenti il numero stesso se questo è positivo oppure nullo, invece il numero opposto se esso
è negativo.
Quindi la definizione è:
|a| = a se è a > 0
|a| = -a se è a < 0
**Esempi: |3| =3 ; |-4|=-(-4)=4 ;
2
1 1
2
= ; − = ;
7
3 3
7
|4-3|=1;
|3-4| = |-1|=1 ; |-2-5| =|-7| = 7;
b) MODULO DI UNA ESPRESSIONE O FUNZIONE
Adesso generalizziamo il discorso ad una espressione o funzione , e passiamo dal numero a alla
funzione : f(x) .
La definizione è sempre la stessa:
|f(x)| = f(x) se f(x) ≥ 0
|f(x)| = - f(x) se f(x) < 0
In sintesi, e in modo informale, il modulo è un meccanismo, un algoritmo che rende sempre
positivo quello che sta racchiuso tra il simbolo | |.
Nel caso di una funzione f(x), che assumerà valori positivi in certi intervalli e negativi in altri, il
modulo avrà l'effetto che f(x) resti positiva dove già lo è, e diventi positiva dove invece è negativa.
**Esempio: prendiamo |x| ; per definizione si ha :
|x| = x se x>0
|x| = -x se x<0
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Quindi se x=5 , |x|= 5; se x=-5, |x|=5 .
Se si traccia il grafico della funzione y = |x| si ottiene nel primo quadrante ( per x>0 ) : y=x , cioè la
bisettrice del primo e del terzo quadrante; invece nel secondo quadrante ( per x< 0 ) si avrà y = -x (
essendo x negativo, allora y sarà positivo ) e sarà la bisettrice del secondo e quarto quadrante.
Quindi il grafico è una specie di “V” col vertice in O(0,0).
**Se analogamente consideriamo y=|x-2| il grafico avrà sempre una forma a V , ma con vertice in
(2,0):
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**Altro esempio: sia f(x) = |x2-8x+12|, e se ne voglia disegnare il grafico:
È sempre valida la definizione:
|x2-8x+12| = x2-8x+12 per x2-8x+12 ≥ 0
|x2-8x+12| = -x2+8x-12 per x2-8x +12 < 0
Risolvendo la disequazione: x2-8x+12 ≥ 0 si trova che è soddisfatta per x ≥ 6 e x ≤ 2,
mentre è: x2-8x+12 < 0 per 2<x<6 .
Allora si ha: |x2-8x+12| = x2-8x+12 per x ≥ 6 e per x ≤ 2
|x2-8x+12| = -x2+8x-12 per 2<x<6.
Si ottengono dei rami di parabola e nei punti da x=2 a x=6, la funzione si “ribalta” rispetto all’asse
x, risultando così sempre positiva o nulla.
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**Ancora un esempio: f(x) = |x-1| +| x-2|. Disegnarne il grafico:
Si ha per definizione:
|x-1| = x-1 per x ≥ 1
|x-1| = 1-x per x < 1
|x-2| = x-2 per x ≥ 2
|x-2| = 2-x per x < 2
Si devono allora considerare 3 intervalli per studiare e rappresentare la funzione in quanto si
avranno tre espressioni analitiche diverse a seconda dell'intervallo che si considera. Quindi:
a) x ≤ 1 ; f(x) = 1-x+2-x = 3-2x
b) 1 ≤ x ≤ 2 ; f(x) = x-1+2-x= 1
c) x > 2 ; f(x) = x-1+x-2 = 2x-3
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Un ultimo esempio: y = |sin x|: il grafico apparirà come archi continui che si congiungono in punti
aventi ordinata nulla:
EQUAZIONI CON MODULO
**Iniziamo con un esercizio: trovare le soluzioni dell' equazione : |x|+|x-3| = x
Per definizione è:
|x| = x se x > 0
|x| = -x se x< 0
|x-3| = x-3 se x ≥ 3
|x-3| = 3-x se x < 3
Dividiamo in 3 intervalli :
a) x ≤ 0 ; -x-x+3 = x da cui: 3=3x e quindi: x=1 ; soluzione
non accettabile perché esterna all'intervallo considerato.
b) 0 ≤ x ≤ 3 ; x+3-x=x da cui x=3 ; soluzione accettabile
c) x >3 ; x+x-3 = x da cui: x=3 che è la stessa soluzione indicata sopra.
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Quindi l'equazione ha una sola radice : x=3.
È interessante risolvere graficamente l'equazione : provare a tracciare il grafico di y=|x| +|x-3| e poi
intersecarlo con la retta y=x: l’ascissa del punto di intersezione fornisce la soluzione:
**Trovare le soluzioni dell'equazione :
log |x-1| = 0
per definizione si ha :
|x-1| = x-1 per x> 1
|x-1| = 1-x per x<1
Quindi:
a) x>1 ; log(x-1)=0= log 1 da cui : x-1=1 e quindi x=2 che è una soluzione . Infatti : log|2-1| =
log1=0.
b) x<1 ; log(1-x)=0 da cui log(1-x)=log 1 e quindi: 1-x=1 da cui x=0 che è una soluzione ; Infatti :
log|0-1|= log |-1|=log1=0.
Quindi l'equazione ha 2 soluzioni : x=0 e x=2.
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DISEQUAZIONI CON MODULO
Se q(x) è un polinomio in x e a é un numero positivo, allora la disequazione |q(x)| < a sarà
soddisfatta per quei valori di x, se esistono, che fanno assumere a q(x) valori simultaneamente
minori del numero a e maggiori del numero -a.
Infatti se q(x) > 0 allora |q(x)|= q(x) < a , mentre se q(x) < 0 allora
|q(x)|=-q(x) < a che vuol dire : q(x)> -a e quindi in conclusione :
-a< q(x) < a . Quindi |q(x)| < a equivale al sistema :
q ( x ) < a

q ( x ) > − a
Invece nel caso la disequazione sia:|q(x)| > a allora si ha :
se q(x) > 0 allora |q(x)|= q(x) > a mentre dove q(x) < 0 si ha: |q(x)|= -q(x) > a cioè q(x) < -a e quindi
la disequazione : |q(x)|>a è equivalente alle 2 disequazioni :
q(x) > a e q(x) < -a.
**Risolvere la disequazione : |x2-9x+7| < 7 che equivale al sistema:
 x 2 − 9 x + 7 < 7
 2
 x − 9 x + 7 > −7
cioè
 x 2 − 9 x < 0
 2
 x − 9 x + 14 > 0
che risolto dà: 0<x<2 e 7<x<9.
**Risolvere la disequazione :
2x − 5
>1
x +1
equivale alle due disequazioni :
2x − 5
> 1;
x +1
2x − 5
< -1
x +1
ossia alle due disequazioni :
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x−6
> 0;
x +1
3x − 4
< 0.
x +1
La prima è soddisfatta per x<-1 e per x>6; la seconda per : -1 < x <
disequazione data è soddisfatta per : x < -1 ; -1 < x <
Risolvere la disequazione : |5x-2| < x; (soluzione :
4
e perciò la
3
4
;x>6.
3
1
1
< x < ).
3
2
**Ancora un ultimo esercizio:
risolvere la disequazione:
|x-3|+|6-x| ≤ x (x è senz’altro positivo)
Bisogna considerare 3 casi :
a) 0<x<3 , la disequazione diventa : 3-x+6-x ≤ x cioè : x≥3 che
è inaccettabile perché in contrasto con l'ipotesi: 0<x<3.
b) 3≤x≤6 ; la disequazione diventa : x-3+6-x≤x che risolta dà:
x≥3, che però considerando l'ipotesi fatta (3≤x≤6) va limitata a x≤6 ; quindi la soluzione è: 3≤x≤6.
c) x > 6 ; la disequazione diventa : x-3+x-6 ≤ 6 che risolta dà:
x≤9 , ma considerando l'ipotesi fatta va ristretta a : 6<x≤9.
Pertanto nel complesso la soluzione è: 3 ≤ x ≤ 9.
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L’IMPORTANZA DEL VALORE ASSOLUTO NEL CALCOLO DI LIMITI
È opportuno ricordare che:
x2 = x ;
Quindi
∀x ∈ R
x 2 = x se x ≥ 0; x 2 = − x se x ≤ 0, questo perché la radice quadrata aritmetica
di un numero (positivo) non può che essere positiva (o nulla).
Questa precisazione è spesso trascurata e dimenticata con la conseguenza di commettere
errori gravi specialmente nel calcolo dei limiti delle funzioni.
Un esempio servirà a chiarire meglio.
Si consideri la funzione f ( x) = x 2 + 1 e se ne voglia calcolare il limite per x che tende
all’infinito. Elaboriamo così l’espressione sotto radice:
1 
1

x 2 + 1 = x 2 1 + 2  = x 1 + 2
x
 x 
Ricordiamo che : |x| = x se x ≥ 0 , mentre |x| = - x se x ≤ 0 .
1
= 0 ), calcoliamo lim x 2 + 1 ed
2
x →∞ x
x → +∞
Applicando questa definizione (e ricordando che lim
otteniamo ovviamente + ∞ .
Calcoliamo ora lim
x → −∞
x 2 + 1 e ancora otteniamo + ∞ come è corretto che sia .
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Il grafico che segue ben rappresenta la situazione descritta:
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si sarebbe ottenuto (per x che
x2
tende a − ∞ ) il valore errato di − ∞ come limite.
N.B. Se erroneamente si fosse elaborato x 2 + 1 in x 1 +
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