Le funzioni
Prof.ssa A. Sia
Definizione:
Le funzioni sono uno dei concetti più importanti della
matematica. Ma che cosa è una funzione? Possiamo
intenderla come un apparecchio di Input-Output.
Prende un oggetto come Input e fornisce un oggetto
come Output. E questo avviene secondo una precisa
(univoca) relazione.
Per noi "oggetto" per adesso significa "numero".
Quindi una funzione per noi per ora è una macchina
che prende un numero come Input e lo trasforma in
un numero come Output. Ecco una macchina del
genere:
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Relazione
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La macchina eleva al quadrato il numero
dato. L'idea è di assegnare a ciascun
numero il suo quadrato. La relazione è
dunque "elevare al quadrato". Così
abbiamo definito una funzione. Potremmo
chiamarla "funzione quadrato".
Per scrivere le funzioni in matematica esistono 2
notazioni:
1. Quella con la freccia f: x -> x2
2. Quella con l’uguale f(x)= x2
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Definizione di funzione:
Dati due insiemi A e B, si dice funzione
(f: A B) una relazione di natura
qualsiasi tale che ad ogni elemento di A
associa uno ed uno solo elemento di B
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Si possono
considerare
funzioni anche per
oggetti matematici
diversi dai numeri.
Per definire una
funzione abbiamo
bisogno di due
insiemi che
chiamiamo A e B.
Noi ci occuperemo
e studieremo solo
funzioni numeriche
ovvero funzioni
reali di variabile
reale
Ogni volta che il valore di una grandezza dipende dal
valore di un'altra grandezza, si ha una funzione. La
natura e la nostra vita sono piene di questo tipo di
dipendenze
La grandezza...
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è una funzione...
posizione di un veicolo
del tempo
energia di un asteroide in caduta
della sua velocità
precipitazioni medie
della posizione sul nostro pianeta
quantità di vernice necessaria
dell'area della superficie da verniciare
importo sul libretto di risparmio (su
cui sono depositati 1000 Euro) dopo
un anno
degli interessi
quantità di funghi raccolti
delle precipitazioni nei giorni
precedenti
x1,x2 A x1x2f(x1) f(x2)
Se la funzione è iniettiva noto un elemento di arrivo yB da questo è possibile risalire in modo univoco all'elemento xA
Funzioni iniettive:
Una funzione da A in B si dice iniettiva
se ad elementi distinti di A (Dominio)
corrispondono elementi distinti di B
(Codominio).
Si può anche scrivere
x1≠x2  A -> f(x1) ≠ f(x2)  B
Funzione iniettiva
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Funzione non iniettiva
x1,x2 A x1x2f(x1) f(x2)
Se la funzione è iniettiva noto un elemento di arrivo yB da questo è possibile risalire in modo univoco all'elemento xA
Funzioni suriettiva:
Una funzione da A a B si dice
suriettiva se ogni elemento di B è
immagine di almeno un elemento di
A.
Ogni elemento del codomino deve
avere almeno un corrispondente nel
dominio
Funzione suriettiva
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Funzione non suriettiva
x1,x2 A x1x2f(x1) f(x2)
Se la funzione è iniettiva noto un elemento di arrivo yB da questo è possibile risalire in modo univoco all'elemento xA
Funzioni biettiva:
Una funzione da A a B che sia
contemporaneamente iniettiva e
suriettiva viene detta corrispondenza
biunivoca.
Ad ogni elemento del dominio
corrisponde uno e uno solo elemento
del codominio
Funzione biettiva
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cosa succede se dobbiamo risolvere delle
disequazioni in cui una o più espressioni
contenenti l’incognita compaiono in valore
assoluto?
Per risolvere queste disequazioni è necessario
studiare prima di tutto il segno di ciascuna
espressione in cui compare il valore assoluto i
valori che si possono attribuire all’incognita
restano divisi in intervalli, in base al valore
assoluto, e l’equazione data assume “forma
diversa” nei suddetti intervalli
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Esempio disequazione con valore assoluto:
studiamo l’espressione con il v.a. |x-1|>4-2x
Quando |x-1|>=0 ossia x>=1 il valore assoluto vale x-1
quando |x-1|<0 ossia x<1 il valore assoluto vale -x+1
quindi |x-1| assume valori diversi nei due intervalli 1
-x+1
x+1
e di conseguenza anche l’equazione assume “forme
diverse” in ciascuno di questi intervalli:
Quando x>=1 l’equazione diventa
x - 1 > 4 - 2x
quando x<1 l’equazione diventa
- x + 1 > 4 - 2x
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Perciò risolvere l’equazione con il valore assoluto
|x-1|>4-2x
vuol dire risolvere due sistemi, contenenti le “forme
diverse” dell’equazione negli intervalli determinati dal
v.a.
x  1

x 1  4  2x
x  1

 x  1  4  2 x
e la soluzione finale si ottiene unendo le soluzioni dei
due sistemi
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e se i valori assoluti nella disequazione sono
due oppure più di due?
Niente paura.. il ragionamento da seguire non
cambia!! Si studiano i singoli v.a., si ricavano
le “forme diverse” di equazioni e si ricavano i
sistemi da risolvere!!
Occhio, però, i sistemi da risolvere aumentano!
L’unione di tutte le soluzioni dei sistemi
determinerà la soluzione finale!
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http://precorso.dicom.uninsubria.it/lezioni/funzioni.
htm#WasisteineFunktion
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