Dati due insiemi A e B, sottoinsiemi dell’insieme dei numeri reali, si definisce
una FUNZIONE fra i due insiemi una relazione che associa ad ogni elemento
x Î Auno e un solo elemento y Î B
f :x
y oppure y = f ( x )
Esempio di funzione
3
y = - x+3
2
x
y=f(x)
0
3
2
0
4
-3
dove:
x è detta VARIABILE INDIPENDENTE
y è detta VARIABILE DIPENDENTE
f è la legge matematica
Funzione definita a tratti
x
y | x | 
 x
se x  0
se x  0
CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI
Le funzioni possono essere classificate in
ALGEBRICHE e TRASCENDENTI
Se l’espressione analitica che descrive una funzione contiene solo addizioni,
sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni, elevamento a potenza, estrazione di
radice la funzione si dice ALGEBRICA
Tra le funzioni algebriche troviamo:
y  x 2  3x  7
• razionali intere y  5 x  7
• razionali fratte
• irrazionali
y
3x  7
2x  4
y  3 x 1
Le funzioni trigonometriche, esponenziali e logaritmiche sono chiamate
funzioni TRASCENDENTI
DOMINIO DI UNA FUNZIONE
Data una funzione di equazione y=f(x) si definisce il DOMINIO (campo di esistenza o insieme di
definizione) della funzione l’insieme dei valori reali di x per i quali l’espressione f(x) ha significato.
Si indica con D o C.E.
FUNZIONE
Razionale intera
Razionale fratta
Irrazionale
DOMINIO
y  ax n  bx n1  ....c
y
A( x)
B( x)
y  x, n  2
n
Trigonometrica
y  senx
y  cos x
y  tgx
y  cot gx
Logaritmica
Esponenziale
Potenze con
esponente irrazionale
y  log a x con a  R, a  1
y  a x con a  R
y  x
D   ;
B( x)  0
n pari  D  0; 
n dispari  D   ;
D   ;
D  x  R | x  2k  1 / 2, k  Z 
D  x  R | x  k , k  Z 
D  0;
D   ;
D  0;
SEGNO DI UNA FUNZIONE
Studiare il SEGNO di una funzione vuol dire determinare gli intervalli nei quali
la funzione è positiva o negativa
Esempio:
y = 2x - 6
D ( -¥;+¥)
+
y > 0?
2x - 6 > 0
x>3
-
y = x2 + 3
y = ( x - 2)
2
y = x2
y = x2
Traslo il grafico della funzione y=f(x) a destra di
un certo vettore a ottenendo y=f(x-a)
Per disegnare y=f(x+a) traslo il grafico a sinistra
di un certo vettore a
Traslo il grafico della funzione y=f(x) in alto
di un certo vettore b ottenendo
y = f (x)+ b
Per disegnare y=f(x)- b traslo il grafico verso
il basso di un certo vettore b
I GRAFICI DELLE FUNZIONI
LE SIMMETRIE
y=f(-x)
y=f(x)
y=f(x)
y=f(x)
Grafico di y = f (-x)
Simmetria rispetto all’asse y
FUNZIONE PARI
y = - f (x)
Grafico di y = - f (x)
Simmetria rispetto all’asse x
y=-f(-x)
Grafico di y = - f (-x)
Simmetria rispetto ad O
FUNZIONE DISPARI
Grafico di y = |f (x)|
Grafico di y = f ( |x| )
Simmetria rispetto all’asse
Per x>0 il grafico rimane uguale,
delle x della parte negativa del grafico
per x<0 il grafico è il simmetrico
rispetto all’asse y
LE FUNZIONI INIETTIVE, SURIETTIVE
E BIIETTIVE
Una funzione si dice INIETTIVA se due qualunque elementi distinti di A hanno
immagini distinte in B
Una funzione si dice SURIETTIVA se tutti gli elementi di B sono immagini di almeno
un elemento di A
Una funzione si dice BIIETTIVA (o biunivoca) se è iniettiva e suriettiva
y   x 2 4 è suriettiva se si considera come
insieme B quello degli y tali che y < 4,
ma non è iniettiva perché scelto nel codominio
un y diverso da 4, esso è immagine di due valori
distinti di x.
y = 2x-1 è sia iniettiva che suriettiva:
a ogni valore scelto sull’asse y
corrisponde un valore (suriettiva) e
un solo (iniettiva) valore sull’asse x.
La funzione è quindi biiettiva.
FUNZIONI CRESCENTI e DECRESCENTI
Data una funzione y=f(x) di dominio D
Si dice che f è CRESCENTE in senso stretto
in un intervallo I  D
Si dice che f è DECRESCENTE in senso
stretto in un intervallo I  D
se "x1, x2 Î I, x1 < x2 Þ f ( x1 ) < f ( x2 ) se "x1, x2 Î I, x1 < x2 Þ f ( x1 ) > f ( x2 )
Una funzione sempre crescente o decrescente si dice MONOTONA
Crescente in senso lato
se "x1, x2 Î I, x1 < x2 Þ f ( x1 ) £ f ( x2 )
Decrescente in senso lato
se "x1, x2 Î I, x1 < x2 Þ f ( x1 ) ³ f ( x2 )
FUNZIONI PERIODICHE
La funzione f è periodica con periodo T se x  D, f (x  kT)  f(x)
Esempi:
y  senx
y  cos x
y  tgx
T  2
T  2
T 
LA FUNZIONE INVERSA
1
Data una funzione f : A ® B biunivoca, allora si può definire una nuova funzione f : B  A
detta funzione INVERSA di f che associa a ogni y di B il valore x di A tale che y = f (x)
Se una funzione ammette l’inversa allora è invertibile.
Graficamente la funzione inversa è simmetrica a f rispetto alla bisettrice del 1°/3° quadrante
Esempio:
y  f ( x)  x 2 definita per x>0 è BIETTIVA
1
La sua funzione inversa è: x  f ( y)  y
Per rappresentare la funzione inversa
insieme alla funzione f, scambiamo le
variabili, ottenendo così: y 
x
LA FUNZIONE COMPOSTA
Date due funzioni g : A  B e
f :B C
Si indica con f  g o y  f ( g ( x))
La funzione composta da A a C che si ottiene
associando a ogni x di A l’immagine mediante f
dell’immagine di x mediante g
Esempio: f ( x)  x 2 g ( x)  x  1
f  g  y  f ( g ( x))  f ( x  1)  ( x  1) 2
g  f  y  g ( f ( x))  g ( x 2 )  x 2  1