Funzioni e trasformazioni
Vincenza Russo
1
Outline:
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Quesiti.
La funzione: iniettiva, suriettiva, biettiva.
Alcune trasformazioni: simmetrie, traslazioni.
Soluzione dei quesiti.
2
1)Quale dei seguenti grafici rappresenta una funzione:
3
2)Se f ( x)   x  3
qual è il valore di f(x+3) ?
2
a)
b)
c)
d)
x2  6x  9
x2  6
x 2  12 x  36
x2  9
4
3)Il grafico dell’area A di un triangolo in funzione
dell’altezza h di un triangolo con base costante è
dato da:
a
b
d
c
e
5
4)
1
3
C
D

2
3
6
5) La funzione
a)ha un solo zero in x=0
b)è simmetrica rispetto all’origine
c)per x>0 si ha f(x)>0
d)si ha sempre f(x)>0
e)non si ha mai f(x)<0
7
6) La funzione
è minore di zero per:
a) x<0
b)x<-1
c)x<-1 oppure x>0
d)tutti i numeri reali
e)x<-1 oppure x>1
8
7)La funzione inversa di f(x)= ln(2x+3) è:
x3
2
a)
f 1 ( x ) 
b)
f 1 ( x)  e x  3
c)
ex  3
f ( x) 
2
d)
f 1 ( x)  3  ln
1
x
2
9
FUNZIONE
Dati due insiemi A e B , la funzione è una
legge che ad ogni elemento di A associa un
ed un sol elemento di B.
10
A
f
B
x
f(x)
DOMINIO
11
A
f
B
f (A)
12
A
f
INIETTIVA
B
13
Funzione iniettiva
x1  x 2  f (x1 )  f (x 2 )
14
A
f
SURIETTIVA
B
1
2
3
7
9
4
11
15
Funzione suriettiva
y  B, x  A
tale che f(x)= y
16
A
f
INIETTIVA e
SURIETTIVA
B
biettiva
17
A
f
-1
inversa di
?
f
B
18
A
f
1
B
19
A partire dal grafico delle funzioni , individuarne tutte le
caratteristiche studiate.
-1
+1
-2
20
f(x)=senx
21
22
23
1)Quale dei seguenti grafici rappresenta una funzione:
0
0
0
24
a
b
c
La risposta esatta è la c perché ad ogni x corrisponde uno ed un
solo f(x).
25
f ( x)   x  3
2
2)Se
qual è il valore di f(x+3) ?
a)
b)
c)
d)
x2  6x  9
x 6
2
x 2  12 x  36
x 9
2
26
Si tratta di trovare il corrispondente di x+3.
Pertanto si ha:
f ( x  3)  ( x  3  3)  ( x  6)  x  12 x  36
2
2
2
La risposta esatta è la c
27
3)Il grafico dell’area A di un triangolo in funzione
dell’altezza h di un triangolo con base costante è dato da
a
b
d
c
e
28
b.h
A
2
hx
b
k
2
f ( x )  kx
La funzione richiesta è una retta passante per l’origine.
La risposta esatta è la b.
29
4)
C
D
1
3

2
3
30
f (b)  1
f (a )  3
b2
a  4
f (b)  f (a)  1  (3) 2 1

 
ba
2  (4) 6 3
La risposta esatta è la c
31
5)La funzione
a)ha un solo zero in x=0
b)è simmetrica rispetto all’origine
c)per x>0 si ha f(x)>0
d)si ha sempre f(x)>0
e)non si ha mai f(x)>0
32
f ( x)  x  x  x(1  x )  x(1  x )(1  x )
5
f(x)=0
4
2
2
per x=0 , x=1, x=-1
f ( x)  0
f ( x)  0  x  x  x(1  x )  x(1  x )(1  x )  0
5
4
2
2
 x(1  x 2 )  0  x  1oppure0  x  1
33
Una trasformazione geometrica nel piano
è una corrispondenza biunivoca che associa
a ogni punto del piano uno e un solo punto
del piano stesso.
y
O
x
34
Simmetria rispetto all’asse y
Se f(x)= f(-x) la
funzione si dice pari
'

x
  x
 '

y  y
'

x


x


'

y  y
35
Simmetria rispetto all’origine
Se f(x)= -f(-x) la funzione si
dice dispari ed il suo
grafico è simmetrico
rispetto all’origine.

x   x
 '

y  y
'
'

x


x


'

y


y

36
La funzione è dispari in quanto:
5
5
f ( x)   x  x  ( x  x )   f ( x)
f(x)=-f(-x)
Pertanto è simmetrica rispetto
all’origine.
La risposta esatta è la b
37
5)La funzione
è minore di zero per:
a) x<0
b)x<-1
c)x<-1 oppure x>0
d)tutti i numeri reali
e)x<-1 oppure x>1
38
crescente
a>1
39
0<a<1
f ( x)  a
decrescente
x
40
Funzione esponenziale
a R , a  0
f ( x)  a
a 1
x
x  R  a  0;
x
 1
e  lim 1  
x 
 x
x
e = 2.71828...
41
Disequazioni esponenziali: attenzione
alla base!
42
La funzione esponenziale è biettiva e,
pertanto, è invertibile.(STRETTAMENTE
CRESCENTE O STRETT. DECR.)
f ( x )  log a x
x  0;  log a x  R
y  log a x  a  x
y
43
Il logaritmo è l’esponente da dare alla base per
avere l’argomento
X>0
log a x  y  a  x
y
44
a>1
45
0<a<1
46
47
48
Disequazioni logaritmiche: attenzione
alla base!
49
5)La funzione
è minore di zero per:
a) x<0
b)x<-1
c)x<-1 oppure x>0
d)tutti i numeri reali
e)x<-1 oppure x>1
50
Il dominio della funzione si ottiene risolvendo la
disequazione fratta:
1
x2 1
1
 0
 0
2
2
x
x
Si ottiene:
x<-1 oppure x>1
-1
+1
51
Per stabilire dove la funzione è minore di 0
occorre risolvere la disequazione:
1 
1 


log 10 1  2   0  log 10 1  2   log 10 1
 x 
 x 
x2 1
x2 1  x2
1
1
 0 
 0
2
2
2
x
x
x
Essa è verificata per
x<-1 oppure x>1
La risposta esatta è la e
Attenzione alla risposta d!
52
6)La funzione inversa di f(x)= ln(2x+3) è:
x3
2
a)
f 1 ( x ) 
b)
f 1 ( x)  e x  3
c)
x
e
3
f 1 ( x) 
2
d)
x
f ( x)  3  ln
2
1
53
y  ln( 2 x  3)  e  e
y
ln(2 x  3)
 e  2x  3
y
e 3
 2x  e  3  x 
2
y
y
e 3
f ( x) 
2
x
La risposta esatta è la c
54
Esaminiamo dei quesiti nei quali è utile la
conoscenza delle traslazioni.
55
1)Qual è il grafico della funzione
f ( x)   x  1
2
1
-1
a
b
c
56
2)Qual è il grafico della funzione
f ( x)  x  1
2
1
-1
a
b
c
57
3)
58
4)Il grafico qui rappresentato corrisponde alla funzione:
2
a
y  e x 1
b
e
c
y  e x 1
d
y  ex  2
e
y  ex 1
x
0
59
5) Il grafico della
a)
b)
c)
d)
e)
f ( x)  log 10 ( x  2)
Giace sempre sopra l’asse x
Giace sempre sotto l’asse x
Giace tutto nel primo e quarto quadrante
Interseca due volte l’asse
Non interseca mai l’asse x
60
6)La funzione f(x)= ln(x+1):
a)Non interseca l’asse x
b)È sempre positiva
c)È positiva per x>-1
d)È positiva per x>0
61
7)Qual è il grafico della funzione f(x)= lnx+1
b
a
1
2
c
d
1
62
Una trasformazione geometrica nel piano
è una corrispondenza biunivoca che associa
a ogni punto del piano uno e un solo punto
del piano stesso.
y
O
x
63
Una traslazione è una isometria di equazioni:

x  x  a
 '

y  y  b
'
64
Come si possono determinare le traslazioni?
Che relazione c’è tra equazione della
funzione e vettore traslazione?
Basta partire da un esempio semplice per
capire e poi estenderlo agli altri casi.
Consideriamo il seguente esempio.
Da y = x (retta blu), vogliamo ottenere la
retta rossa traslata di 1 verso destra,
osserviamo che essa ha equazione y=x-1
y=x
0
1
y=x-1
-1
In generale se mi sposto in
orizzontale di a, ottengo da
y = f(x) , y = f(x-a)
65
 x  x  a  x  x  a

 '
 y  y
 y  y '
'
'
y  f ( x)  y  f ( x  a )
'
'
66
Operiamo ora una traslazione verso l’alto.
Da y = x passiamo a y=x+1
In generale se mi sposto in verticale di b, ottengo da
y = f(x) , y = f(x)+b
y=x+1
1
y=x
0
y = f(x) , y = f(x)+b
67
 x  x
 x  x

 '
 y  y  b  y  y '  b
'
'
y  f ( x)  y  b  f ( x )  y  f ( x )  b
'
'
'
'
68
Attenzione:
y = f(x+5) traslazione di 5 a sinistra
y = f(x-8) traslazione di 8 a destra
Y = f(x)+5 traslazione verso l’alto di 5
y = f(x)-8 traslazione verso il basso di 8
69
1)Qual è il grafico della funzione
f ( x)   x  1
2
1
-1
a
b
c
70
2)Qual è il grafico della funzione
f ( x)  x  1
2
1
-1
a
b
c
71
yx
2
f ( x)   x  1
2
f ( x)  x 2  1
72
3)
73
yx
2
Non è biettiva
y x
È biettiva
74
y  x 1
y x
-1
0
 x '  x  1  x  x '  1

 '
 y  y
 y  y '
0
y  f ( x)  y '  f ( x '  1)
75
4)Il grafico qui rappresentato corrisponde alla funzione:
a
x
b
e
c
y  e x 1
d
2
y  e x 1
e
y  ex  2
y  ex 1
0
76
ye
y  ex 1
x
1
1
2
La risposta esatta è la e.
77
5) Il grafico della f ( x)  log 10 ( x  2)
a)
b)
c)
d)
e)
Giace sempre sopra l’asse x
Giace sempre sotto l’asse x
Giace tutto nel primo e quarto quadrante
Interseca due volte l’asse x
Non interseca mai l’asse x
78
f ( x)  log 10 x
1
f ( x)  log 10 ( x  2)
0
0
3
La risposta esatta è la c
79
log 10 ( x  2)  0  log 10 ( x  2)  log 10 1
 x  2 1 x  3
80
6)La funzione f(x)= ln(x+1):
a)Non interseca l’asse x
b)È sempre positiva
c)È positiva per x>-1
d)È positiva per x>0
81
Traslazione verso sinistra di 1
-1
0
0
La risposta esatta è la d
82
7)Qual è il grafico della funzione f(x)= lnx+1
b
a
1
2
c
d
1
83
y  0
y  0
y  0



 y  ln x  1 ln x  1  0 ln x  1
y  0

1

1
 x  e  e
84
y=lnx
y=lnx+1
1
1
La risposta esatta è la b
85
GOTTFRIED WILHELM VON LEIBNIZ
1646 – 1716
86
ISAAC NEWTON
1643- 1727
87
Grazie e in bocca al lupo!
88