Prof.ssa Alessandra Sia
Il concetto di “disequazione” nella vita di ogni giorno
60
V < 50 (velocità minore di 50 Km/h)
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Voto > 60 (promosso!!)
Il significato dei simboli…….
> Maggiore
> Maggiore uguale
< Minore
< Minore uguale
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Dati due numeri reali a,b
a>b e a<b
sono disuguaglianze
Una disuguaglianza può essere:
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Le disuguaglianze possibili si chiamano
disequazioni
Sono disequazioni, per esempio:
2x < 6
x + 2 ≤ 3x + 1
Se al posto della x sostituiamo un numero la disequazione si
trasforma in disuguaglianza che può essere Vera oppure Falsa
Osserva:
2x+1>7
Se al posto della x sostituisco il numero 4 cosa ottengo???
2(4)+1>7 ovvero 8+1>7 cioè 9 > 7 è una disuguaglianza Vera
Allora 4 è una soluzione della disequazione……………..
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Definizione:
Risolvere una disequazione vuol dire trovare l’insieme dei
numeri che sostituiti all’incognita la trasformano in una
disuguaglianza vera
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Data la disequazione
3x - 1 > 2x + 1
1. Trasporto tutti i termini al primo membro cambiandone il
segno
3x - 1 - 2x - 1 >0
2. Riduco i termini simili
x-2>0
3. Trasporto dopo il segno maggiore il termine noto (-2)
cambiando il segno
x>2
2;+∞ )
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Data la disequazione
3x - 1 > 2x + 1
Trasporto tutti i termini al primo membro cambiandone il
segno:
3x - 1 - 2x - 1 >0
2. Riduco i termini simili
x - 2> 0
2. Pongo x-2 uguale ad y ed ottengo
y=x-2
Y= x-2 è l’equazione di una retta… la vogliamo disegnare????
+
Costruiamo la tabella x y
-1 -3
0 -2
1 –1
La retta è positiva per
2 0
x>2
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+
-3
-2
-1
-
0
1
-
2
La retta è
positiva
nella fascia
maggiore di
2 cioè la
soluzione è
x>2
Schema risolutivo ed esercizio guida
Disequazione:
2(x-3)<x-5
Semplifico l’espressione
 2x-6<x-5
Porto tutti i termini al primo membro
2x-6-x+5<0
Riduco i termini simili
 x-1 <0
Chiamo y il valore di x-1
y = x-1
Costruisco la tabella per disegnare la retta
1
x<1 (- ∞; 1)
(x=0; y=-1) (x=1; y=0)
Disegno la retta y= x-1
1
+
Osservando la retta si vede che risulta
“sotto l’asse x” (y<0) cioè negativa per tutti i valori di x < 1
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-
Disequazioni fratte
Ricordiamo che una disequazione si dice
fratta se contiene l'incognita anche al
denominatore di qualche frazione. Esempio:
3x-4 = 5
x-1
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Per risolvere una disequazione fratta si deve portare
tutto al primo membro e ridurre ad una frazione
unica. Si arriverà ad espressioni del tipo
In ogni caso si tratta di studiare il segno del numeratore
(N) e del denominatore (D);
si consiglia di operare così:
-studio N>0 (N>=0) se la disequazione presenta anche
l'uguale).
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Numeratore: 3 - x > 0, x < 3
- studio D>0 (N.B. si consiglia di studiare sempre D>0 perchè non può essere =0)
Denominatore: x - 1 > 0, x > 1
per determinare il segno della frazione, quindi le soluzioni della disequazione,
devo combinare i segni del numeratore e del denominatore e applicare la legge
dei segni; è comodo costruire uno schema procedendo in questo modo:
1.
ordino su una retta tutti valori dell'incognita che ho trovato studiando il segno
del numeratore e del denominatore (nel nostro esempio 1 e 3) e
2.
opero come nella figura seguente, dove il tratto continuo indica che la quantità
è positiva ed il tratteggio che è negativa.
Applicando la legge dei segni deduco che la disequazione è verificata pe 1 < x < 3.
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Lo schema grafico sopra indicato è semplice da realizzare "con carta e penna";
noi, per essere più rapidi, utlizzeremo i seguenti schemi equivalenti:
1)
La disequazione è verificata per 1 < x < 3: utilizzeremo il colore rosso per indicare che un valore non è accettabile.
2)
1
3
3-x
+++++
+
+++++
O
-------
x-1
-------
0
+++++
+
+++++
-
+
0
-
In questo caso la disequazione è verificata per:
utilizzeremo il colore verde per indicare che un valore è accettabile.
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