Lavoro ed energia cinetica: introduzione
• Consideriamo un punto materiale che si muove di moto rettilineo sotto
l’azione di una forza costante parallela alla traiettoria (per esempio
moto di caduta di un grave)
O
x
F
F  ma  F  ma x
ax 
x  x o  vx ot  12 a xt 2
v x  vx o  a x t
vx  v x o
ax
Moto uniformemente
accelerato
2vxo vx  2vxo vxo  v 2x  v2xo  2vxo vx v 2x  v2xo
x  xo 

2a x
2a x
Eliminando il tempo:
t
F
 cos tan te
m
2
v  v x o 1 
v  vx o 

x  x o  vx o x
 2 a x  x
ax
 a x 
v 2x v2x o

 a x x  x o 
2
2
1
1
2
2
mv x  mv x o  ma x x  x o 
G.M.
2
2 - Informatica B-Automazione 2002/03
Lavoro ed energia cinetica: introduzione
1
1
2
2
mv x  mv x o  ma x x  x o 
2
2
1
1
2
mv x  mv 2xo  Fx  xo 
2
2
• Si definisce
• Energia cinetica della particella
1
1
2
K  mv x  mv 2
2
2
• Lavoro effettuato dalla forza costante sul percorso tra xo e x
W  Fx  xo 
Le dimensioni
W  F L
2
K  M v
Nel SI: Nm=kgm2s-2=J (joule)
Nel SI: kgm2s-2=J (joule)
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Generalizzazione della definizione di
lavoro
• Nello studio del moto rettilineo uniformemente accelerato abbiamo
ottenuto:
– La variazione dell’energia cinetica subita dal punto materiale
quando si sposta tra xo e x risulta uguale al lavoro compiuto dalla
forza lungo il percorso tra xo e x
– Teorema delle forze vive.
• Vediamo se è possibile generalizzare questo risultato al caso generale.
– Se la traiettoria non è rettilinea o se la forza non è parallela allo
spostamento, solo la componente tangenziale della forza è responsabile
della variazione del modulo della velocità:
dv
Ft
 at 
dt
m
Occorre fare in modo, nella definizione di
lavoro di una forza, che esso dipenda solo
dalla componente tangenziale della forza.
F
Ft  Fcos
r
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Il prodotto scalare tra vettori
• Dati vettori F e r, si definisce prodotto scalare
F
Il risultato di un prodotto
F  r  Fr cos  scalare è uno scalare

F  r  r  F Commutativo
r
• Modulo del primo vettore per modulo del secondo vettore per il coseno
dell’angolo compreso
• Che può anche essere interpretato come
– Il modulo del primo vettore per la proiezione del secondo vettore
lungo il primo
F  r  Fr cos 
F
r cos

r
– Il modulo del secondo vettore per la proiezione del primo sul
secondo
F
F cos
F  r  rF cos 

r
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Alcune proprietà del prodotto scalare
• Vettori paralleli
– Positivo Fr
• Vettori antiparalleli
– Negativo - Fr
• Vettori ortogonali
F
r
F
r
F
r
– Uguale a zero
i i 1
j j 1
k k  1
i  j  i  k  j k  0
F  Fx i  Fy j  Fzk
r  xi  yj  zk
Il prodotto scalare di un
vettore per sé stesso
a  a  a2
F  r  Fx x  Fy y  Fzz
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Generalizzazione della definizione di
lavoro
• Lavoro fatto da una forza costante su un percorso rettilineo
F

W  F  r  Frcos 
r
Il lavoro è una grandezza scalare
• Se la forza non è costante e/o il percorso non è rettilineo, possiamo
sempre
– dividere il percorso in tratti così piccoli (infinitesimi) da poter considerare
• il tratto rettilineo e
• la forza costante su quel tratto,
– Calcolare il lavoro su ciascuno dei tratti
– Sommare tutti i lavori calcolati sui singoli tratti
W
dW  F dr
f
 F  dr
i,

f
i
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Generalizzazione della definizione di
lavoro
• Calcolo del lavoro utilizzando le componenti cartesiane
F  Fx i  Fy j  Fz k
dr  dxi  dyj  dzk
W
f
f
 F  dr   F dx  F dy  F dz
x
i, 
i,
y
z
• Calcolo del lavoro utilizzando i moduli della forza e dello spostamento
dr  ds modulo di dr
W
f
f
i,
i, 
 F  dr   Fdscos
• I lavoro della risultante

n
R
F

i

WR  R dr 
i, 
f
i
i1
f
F
n
n
n
 F  dr    F  dr   W
f
i,
i
i1
i1
f
i,
i
i
i1
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• Una donna tira, a velocità costante, una slitta carica di massa m= 75 kg su
una superficie orizzontale. Il coefficiente di attrito dinamico tra i pattini e
Applicazi
la neve è md=0.10, e l’angolo f è di 42°.
one
• Calcolare il lavoro effettuato per spostare la slitta di 10 m.
La forza applicata dalla donna è uguale alla
tensione T (possiamo calcolare il lavoro della
tensione T).
Il lavoro effettuato dalla donna sarà:
T
f
r
W  T  r  Trcos f
Forza costante
Spostamento rettilineo
Bisogna calcolare il modulo di T.
N  Fg  T  fk  ma
x : T cos f  fk  ma x  0
y : N  T sen f  mg  ma y  0
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x : T cosf  md N  0
y : N  T sen f  mg  0
T cos f  m d (mg  T sen f)  0
T cos f  m d senf   m d mg
N  mg  Tsenf
T
Applicazi
one
m dmg
 90.8 N
cos f  m d sen f
costante
N  mg  T senf  75kg 9.81
m
 91N sen 42  675 N
s2
fk  m d N  0.10  675 N  67.5 N
Il lavoro effettuato dalla donna (dalla tensione):
WT  Trcos f 
md mg
r cos f  90.8 N *10m * cos 42  675 J
cos f  m d sen f
Wfk  fk rcos  67.510  1  675J
WN  Nr cos   675 10  0   0J
WFg  Fg r cos   735.710  0  0J
WR  WFg  WN  WT  Wfk  0  0  675  675  0J
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Potenza
• Data un forza esegue un lavoro W in un intervallo di tempo t
• si definisce potenza media nell’intervallo t il rapporto :
W
Pmedia 
t
• La Potenza sviluppata dalla forza all’istante t (potenza istantanea), si
ottiene facendo il limite per t che tende a zero:
dW  F dr  F  vdt
dW
P
dt
dW F  dr
dr
P

 F
 Fv
dt
dt
dt
Le dimensioni [P] = [ML2T-2][T-1] = [ML2T-3]
Nel SI si misura in watt (W)
Altre unità cavallo vapore (Cv)
Kilovattora come unità di
misura del lavoro
1kwattora=3.6MJ
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Generalizzazione del
teorema delle forze vive
• Consideriamo il generico intervallo di tempo dt
– La variazione dell’energia cinetica


F
f
i
 
1
1 2  1
2
dK  d mv  m d v  m dv v  
2
 2
2
1
1
 m dv  v  v  dv  m2v  dv  mv  adt  vdt ma  dr  ma 
2
2
 dr  ma  dr  R  dWR
• La relazione vale per tutti gli intervalli infinitesimi: quindi anche
quando si somma su tutti gli intervalli. K  W
R
• La variazione di energia cinetica è uguale al lavoro della risultante
(la somma dei lavori fatto da tutte le forze agenti sul punto materiale)
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• Un sollevatore di pesi solleva un manubrio di massa complessiva
m=260kg per un dislivello di 2 m
Applicazi
• Determinare il lavoro fatto dalla forza peso durante il sollevamento
one
• Determinare il lavoro fatto dal sollevatore di peso.
Fs
• Se il sollevatore abbandona l’attrezzo mentre è in alto (h=2m) determinare
la velocità con cui arriva sul pavimento.
 
WP  P  r  mgh cos 180  260kg9.81ms 2 2m 1  5101.2 J
P
Osserviamo che l’energia cinetica iniziale è nulla, ma anche quella finale.
La variazione di energia cinetica è nulla.
K  K f  Ki  0
Utilizzando il teorema delle forze vive:
K  WR  WP  WFs  0
WFs  WP  5101.2 J
Per quanto riguarda l’ultima domanda: osserviamo che il moto avviene
sotto l’azione della sola forza peso.
Il lavoro
 fatto dalla forza peso in questo caso:

WP  P  r  mgh cos 0  260kg9.81ms 2 2m1  5101.2 J
K  K f  Ki  WR  WP
vf 
2WP

m
2mgh
m
 2gh  6.26
m
s
K f  K i  WP
1
m v2
f
2
0J
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L’energia
• È una grandezza che caratterizza il punto materiale
– Dipende dal suo stato (posizione, velocità, temperatura, etc)
– Esistono varia forme di energia
– Per es. l’energia cinetica dipende dallo stato di moto del corpo
• I corpi possono scambiarsi l’energia:
– Il lavoro rappresenta un modo attraverso cui i corpi si scambiano energia.
– Se la risultante delle forze esterne compie un lavoro positivo (forza
motrice, concorde con il moto), allora l’energia cinetica del punto
materiale aumenta.
• Si dice che l’ambiente esterno ha compiuto un lavoro sul punto materiale
• il punto materiale ha acquisito energia cinetica dall’ambiente esterno.
– Se la risultante delle forze esterne compie un lavoro negativo (forza
resistente, opposta al moto), allora la sua energia cinetica diminuisce.
• si dice che il punto materiale ha effettuato del lavoro sull’ambiente esterno
• a spese della sua energia cinetica
• L’energia cinetica rappresenta la capacità di un corpo a compiere del
lavoro
– Trasferire cioè il movimento ad altri corpi.
• La corrente del fiume che fa muovere le macine di un mulino
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L’energia cinetica
e i sistemi di riferimento
• Il valore dell’energia cinetica, come quella di altre
grandezze dipende dal sistema di riferimento usato.
• Anche le distanze percorse dipendono dal sistema di
riferimento usato
y'
y
r
O
• Ma anche se i valori numerici cambiano, la eguaglianza
tra il lavoro fatto dalla risultante e la variazione
dell’energia cinetica risulta valida in tutti i sistemi di
riferimento inerziali.
z
z
r'
O'
xx'
z'
x  x'  vx O' t
y  y'
z  z'
v x  v' x' vx O'
v y  v' y'
v z  v' z'
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• Un oggetto di massa m=10 kg viene portato in un treno dalla velocità
nulla alla velocità di 2 m/s percorrendo (sul treno) un tratto di 5 m. Il
treno si muove con una velocità di 20 m/s rispetto al marciapiede della
stazione. Verificare il teorema delle forze vive rispetto al treno e rispetto
al marciapiede.
2
2
y'
y
v'
v'
4
m
f
i
a' 

 0.4 2
v' 2f v' 2i  2a' (x' f  x' i )
2(x' f x' i ) 2  5
s
m
R  ma '  10kg 0.4 2  4.0N t  v' f v' i  2  5s
s
a'
0.4
1
1
1
m2
2
2
K' f K' i  mv' f  mv' i  10kg  4 2  20J
2
2
2
s
r
O
z
z
W'  Rx'  4.0N 5m  20J

1
1
1
K f  Ki  mv 2f  mv 2i  m v' f  vo
2
2
2
1
1
2
K f  Ki  1022  10202  420J
2
2

2

1
 m v' i  vo
2
Applic
azione

2
z'
r'
O'
xx'
x  x'  vx O' t
y  y'
z  z'
v x  v' x' vx O'
v y  v' y'
v z  v' z'
W  Rx  Rxf  x i   Rx' f vo t  x' i   Rx' f x' i vo t  
W  Rx' f x' i vo t   4(5  20  5)  4 105  420J
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