Il problema del moto
• Conoscendo la legge oraria, ossia conoscendo la posizione
del punto materiale ad ogni istante di tempo:
– Con una prima derivazione possiamo determinare la funzione
velocità
– Con una seconda derivazione possiamo determinare la funzione
accelerazione
dv x (t)
d 2 x(t)
a x (t) 
a x (t) 
dt
dt 2
• Il problema che ora ci poniamo è il seguente:
– Se conosciamo l’accelerazione ad ogni istante di tempo nell’intervallo di
osservazione del moto, conosciamo cioè la funzione a(t),
– siamo in grado di determinare la legge oraria?
– determinare come varia la posizione in funzione del tempo, la funzione x(t)?
Si tratta di risolvere la seguente
equazione:
d 2x(t)
 a x (t)
2
dt
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L’equazione differenziale
d 2x(t)
 a x (t)
2
dt
• L’equazione precedente è un’equazione differenziale
– Contiene le derivate
– È del secondo ordine (contiene la derivata seconda)
• Cosa vuol dire risolvere una equazione differenziale come
quella precedente?
– Occorre ricercare tra tutte le possibili funzioni del tempo, quelle la
cui derivata seconda rispetto al tempo coincide con la funzione nota
dell’accelerazione a(t).
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Soluzioni dell’equazione differenziale
• Supponiamo di aver trovato una soluzione dell’equazione
differenziale,
– di aver trovato cioè una funzione x1(t) la cui derivata seconda è
proprio uguale alla funzione nota a(t).
d 2x1 (t)
 a x (t)
2
dt
• La funzione x(t)=k1+k2t+x1(t), con k1 e k2 due costanti
reali qualsiasi, è anch’essa soluzione della stessa equazione
differenziale.
dx(t) dk1  k 2 t  x1 (t)
dx1 (t)

 k2 
dt
dt
dt
d 2x(t) d dx(t) d 
dx1 (t)  d dx1 (t) d 2 x1(t)
 
 k 2 


 a x (t)
2
2


dt
dt dt
dt
dt
dt dt
dt
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Soluzione formale dell’equazione
differenziale
• Cominciamo con il risolvere un’equazione più semplice:
– Supporremo si conoscere la funzione velocità vx(t)
– e di voler determinare la legge oraria x(t)
– L’equazione differenziale in questo caso è del primo ordine.
dx(t)
 v x (t)
dt
• Fissato un generico istante di
tempo t*
v (m/s)
24
20
– si calcola lo spostamento
subito dal punto materiale tra
t=0 e t*
16
• Si ripete il calcolo per tutti gli
istanti di tempo
8
– si ottiene così la legge oraria
12
4
t*
0
0
2
4
6
8
10
12
14 t (s)
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Soluzione formale dell’equazione
differenziale
• Se conoscessimo la velocità media tra t=0 e t*, lo
spostamento varrebbe:
x(t*)  xo  v mx (t * 0)  vmx t *
• Purtroppo conosciamo
la velocità in tutti gli
istanti di tempo ma non
quella media
• Possiamo fare delle
ipotesi:
– La velocità media è
uguale a quella a t=0
– a quella a t*/2
v (m/s)
24
20
16
12
8
4
t*
t
0
0
2
4
6
8
10
12
14 t (s)
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Risoluzione formale dell’equazione
differenziale
• Possiamo immaginare di suddividere l’intervallo tra 0 e t*
t*
in n intervalli più piccoli di ampiezza
Dt 
n
• Siano
•
•
•
•
•
•
•
to = 0
t1 = to + Dt
t2 = to + 2Dt
…
ti = to + iDt
…
tn = to+ nDt = t*
v (m/s)
gli istanti intermedi.
Lo spostamento in ciascun Dt
Dx i = vxm,i Dt
24
20
16
12
8
4
t*
t
0
0
2
4
6
8
10
12
14 t (s)
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Risoluzione formale dell’equazione
differenziale
• Lo spostamento complessivo invece
n
x(t*)  xo 
n
 Dx  v
i
i1
x m, i Dt
i1
• Noi però non conosciamo la velocità media vxm,i in ciascuno
degli n intervalli di tempo,
– sappiamo solo che essa è compresa tra il valore minimo e quello
massimo assunti dalla funzione vx(t) nell'intervallo tra ti-1 e ti
• Per fare una stima dello spostamento supporremo che la
velocità media nell’i-esimo intervallo coincida con la velocità
all’inizio dell’intervallo stesso:
n
x(t*)  xo 
n
 Dx  v (t
i
i1
x
i1)Dt
i1
La stima dello spostamento nel grafico corrisponde all’area totale dei
rettangoli di base Dt e altezza vx(ti-1).
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Risoluzione formale dell’equazione
differenziale
• L’approssimazione vxm,i=vx(ti-1) è tanto migliore quanto più piccola è
l’ampiezza degli intervalli Dt.
– Infatti al diminuire di Dt diminuisce la differenza tra il valore massimo e
quello minimo della velocità in Dt.
• Otterremo una stima sempre più precisa dello spostamento man mano
che Dt tende a zero, o, equivalentemente, man mano che n, il numero
delle suddivisioni, tende all’infinito.
(m/s)
v (m/s)
24
24
20
20
16
16
12
12
8
8
4
4
t*
0
0
2
4
6
8
10
12
0
14 0 t (s)
t*
2
G.M. - Informatica
4
6
8 B-Automazione
10
12 2002/03
14 t
Risoluzione formale dell’equazione
differenziale
• Diremo quindi che lo spostamento tra t=0 e t* del punto materiale è
uguale a:
n
x(t*)  xo  lim n 
 v (t
x
i1 )Dt
i1
• Questo limite si chiama integrale della funzione vx(t) tra t=0 e t, e si
indica:

t*
x(t*)  xo  v x (t)dt
o
• Si tratta di un integrale definito, in quanto sono specificati gli estremi di
integrazione (t=0 e t*)
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Risoluzione formale dell’equazione
differenziale n

t*
x(t*)  xo  v x (t)dt  lim n 
o
 v (t
x
i1 )Dt
i1
• L’integrale definito corrisponde all’area sotto la curva tra t=0 e t*.
– Attenzione l’area deve essere presa con il segno
• Positiva nei tratti in cui la funzione è positiva
• Negativa nei tratti in cui la funzione è negativa
v (m/s)

t*
x(t*)  xo  v x (t)dt
o
Calcolando l’integrale per ogni
istante t* si ottiene la legge oraria
x(t)  x o 

t
vx (t)dt
o
24
20
16
12
8
4
t*
0
0
2
4
6
8
10
12
14 t (s)
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La velocità media
• Siamo ora in grado di valutare la
velocità media nell’intervallo tra
t=0s e t*.
• Applicando la definizione:
Da cui si ottiene:
v m Dt 

x(t*)  xo  v x (t)dt
o
Dx x(t*)  x o
vm 


Dt
Dt

t*
v x (t)dt
o
Dt
v (m/s)
t*
o

t*
vx (t)dt
L’area del rettangolo di base Dt e
altezza vm ha un’ area uguale a
quella delimitata dal grafico della
curva, l’asse delle ascisse e gli
estremi dell’intervallo t=0s e t*
24
20
16
12
8
4
t*
0
0
2
4
6
8
10
12
14 t (s)
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L’integrale definito
t*
n
lim
n 
 v (t
x
i1 )Dt
i1

 v (t)dt
x
0
• Elementi dell’integrale definito
Limite superiore
di integrazione
v (m/s)
24
Il significato
20
Integrale
definito
16
12
8
f(t)
4
t t+dt
0
0
2
4
6
10
12
i
f(t) dt
Limite inferiore
di integrazione
t*
8

f
Variabile di
integrazione
Funzione
Integranda
14 t (s)
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Come si risolve l’integrale definito
f
• L’integrale è l’operazione inversa della derivata
• Per calcolare l'integrale definito della funzione f(t),
 f(t)dt
i
– occorre ricercare una qualsiasi funzione della variabile di integrazione, F(t)
• tale che la sua derivata, fatta rispetto alla variabile di integrazione, sia
proprio uguale alla funzione integranda:
dF( t )
 f ( t)
dt
• La funzione F(t) si chiama “primitiva” della funzione f(t)
• Il valore dell’integrale si ottiene calcolando la differenza tra i valori
assunti dalla funzione nell’estremo superiore e nell’estremo inferiore.
• In simboli:
f

f(t)dt  F(t)i  F(t f )  F(t i )
f
i
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Esempio
• Dalla definizione di velocità sappiamo che:
v x (t) 
dx
dt
 dx  v(t)dt
•
•
v(t) è la velocità all’istante t
dt è un intervallo di tempo infinitesimo
che comincia all’istante t
dx è lo spostamento infinitesimo subito dal
punto nell’intervallo infinitesimo dt
questa uguaglianza vale in tutti
•
gli infiniti intervalli infinitesimi
in cui ho suddiviso l’intervallo di
osservazione del moto
f
f
L’uguaglianza continuerà a valere
dx  v(t)dt
se sommo, membro a membro, su
i
i
tutti gli infiniti intervalli di
tempo:
• variabile di integrazione x
5=3+2
• funzione integranda f(x)=1
7=5+2
• primitiva F(x)=x
Totale
12=12
f
• usualmente
f
dx  x i  x(t f )  x(t i )  x(t f )  x o
• ti=0s
i
• x(0s)=xo


Valutiamo
f
 dx
i

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Proprietà degli integrali
• L’integrale altro non è che una somma, con l’unica particolarità che è
fatta su infiniti termini.
• Siccome in una somma il risultato non cambia cambiando l’ordine con
cui vengono sommati i vari termini, allora ne deduciamo che
– l’integrale di una somma di funzioni è uguale alla somma degli integrali
f
f
f
f
i
i
i
i
 f(t)  g(t)dt   f(t)dt  g(t)dt   f(t)dt   g(t)dt
• Inoltre, così come in una somma, se tutti i termini hanno un fattore
comune, questo può essere messo in evidenza, così nell’integrale,
eventuali costanti che moltiplicano i vari elementi infinitesimi da
sommare, possono essere portate fuori del segni di integrale.
f
f
i
i
 kf(t)dt  k f(t)dt
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Moto uniforme
f
f
i
i
 dx   v(t)dt
• Valutiamo ora il secondo membro:
– È necessario specificare la funzione vx(t).
– Supponiamo che vx(t) sia costante, moto uniforme, e pari a vxo
x(t f )  x o 

tf
tf
v
x odt
0
•
•
•
variabile di integrazione t
funzione integranda f(t)=vxo
primitiva F(t)= vxot
v x odt  v x ot 0f  vx ot f  v x o0  vx ot f
t
0
Si ricava
x(t f )  x o  vx ot f
Questa relazione è valida comunque noi scegliamo l’istante tf in cui
vogliamo smettere l’osservazione del moto.
Si può sopprimere l’indice f
Si ottiene così la legge oraria del moto uniforme:
x(t)  x o  vx ot
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Considerazioni
• La legge oraria trovata è soluzione dell’equazione differenziale:
x(t)  x o  vx ot
dx
 v xo
dt
con v xo costante reale
• è come ce l’aspettavamo, la posizione varia linearmente con il tempo :
1,20
• Osserviamo che per qualunque valore di xo, la funzione
precedente è soluzione dell’equazione differenziale.
1,00
x (m)
0,80
– Ci sono infinito alla uno soluzioni dell’eq. diff.
– Infatti l’equazione differenziale è del primo ordine.
0,60
tanq=vxo
0,40
• L’equazione differenziale non determina la costante xo, essa
viene determinata dalle condizioni iniziali (nel nostro caso
xo è proprio la posizione iniziale, a t=0s).
• L’analisi ci dice che esiste una ed una sola soluzione
dell’equazione differenziale che soddisfa anche le
condizioni iniziali
xo
0,20
0,00
0,00
5,00
10,00
15,
– Il numero delle condizioni iniziali pari al grado dell’eq. diff.
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Moto uniformemente accelerato
• Consideriamo ora il caso in cui l’accelerazione sia costante (axo).
• Cominciamo col determinare la velocità in funzione del tempo
• Si tratta di risolvere la seguente equazione differenziale:
dv x
 a xo
dt
con a x o costante reale
• Nello studio del moto uniforme noi abbiamo risolto la seguente
equazione
dx
 v xo
dt
con v xo costante reale
• Che ha esattamente la stessa struttura di quella che vogliamo risolvere
ora:
• Anche la soluzione avrà la stessa struttura della soluzione trovata in
precedenza
soluzione precedente
x(t)  xo  v x ot
soluzione attuale
v x (t)  vx o  a x ot
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Legge oraria del moto uniformemente
accelerato
• Abbiamo trovato come varia nel tempo la velocità nel caso in cui
l’accelerazione è costante:
v x (t)  v xo  a xo t
• Per arrivare alla legge oraria dobbiamo risolvere la seguente eq. diff.
dx
 v xo + a xo t
dt
con vx o e a xo costanti reali
x(t)  x o 
• Sappiamo che la soluzione di tale eq. diff. è data da:

t
x(t)  x o  (vx o  a x ot)dt  x o 
0

t

t
t
v
0
x odt
 x o  vx o dt  a x o tdt  x o  vx ot  
0
0
t
0

t
 v (t)dt
o
x
t
 a x otdt 
0
 
1 2 t
a xo 2 t 0
 x o  vx ot  12 a x ot 2
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La legge oraria del moto uniformemente
accelerato
x(t)  x o  vxo t  12 a xo t 2 È la soluzione
della eq. diff.
v x (t)  v xo  a xo t
d 2x
2  ax o
dt
con a x o costante reale
• Come già osservato in precedenza, la legge oraria precedente, per
qualunque valore delle costanti xo e vxo è soluzione dell’eq. diff.
– L’equazione differenziale non determina tali costanti:
• Esse vanno determinate utilizzando le condizioni iniziali:
– La posizione xo all’istante iniziale t=0
– La velocità vox all’istante iniziale t=0
• L’analisi ci dice che esiste una ed una sola soluzione dell’eq.
diff. che soddisfa anche al problema delle condizioni inziali.
• Le due equazioni in testa alla pagina vanno interpretate come l’integrale
generale dell’equazione differenziale del moto uniformemente
accelerato e vanno poi adattate al problema specifico inserendo le
corrette condizioni iniziali.
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Grafico orario del moto uniformemente
accelerato
x(t)  x o  vxo t  12 a xo t 2
v x (t)  v xo  a xo t
• Il grafico orario del moto
uniformemente accelerato è
un arco di parabola.
• xo è la posizione all’istante
t=0s (l’intercetta con l’asse
delle ordinate).
• vxo è la velocità iniziale,
ossia la pendenza del
grafico all’istante iniziale.
• L’andamento della velocità
in funzione del tempo è
lineare.
Grafico Orario
x (m)
25
20
15
tan q  v xo
10
q
xo
5
0
0
1
2
3
4
t (s ) 5
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Moto uniforme ed uniformemente
accelerato
• Il moto uniformemente accelerato, contiene , come caso
particolare il moto uniforme, quando cioè l’accelerazione
axo è uguale a zero.
moto uniformemente accelerato
x(t)  x o  vxo t  12 a xo t 2
v x (t)  v xo  a xo t
moto uniforme
x(t)  x o  vx ot
v x (t)  v x o
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Moto di caduta dei gravi
• Galilei ha determinato che
– in vicinanza della superficie terrestre,
– in assenza di aria
• Tutti i corpi cadono verso il basso con accelerazione g
– g non dipende dalla natura dei corpi (ferro, alluminio, legno, etc)
– g, all’interno di un volume limitato (il laboratorio), non dipende
dalla posizione del corpo.
– g, è quindi anche indipendente dal tempo (costante).
– Se il volume non è limitato
• g dipende dalla quota
• g dipende dalla latitudine, è più grande ai poli, ed è più piccola
all’equatore
• Alle nostre latitudini g vale circa g=9.81 m/s2
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Moto di caduta dei gravi
• Il moto di caduta dei gravi si studia considerando un
sistema di riferimento con l’asse y orientato verso l’alto.
• La componente lungo l’asse y dell’accelerazione di gravità
è negativa (-g=-9.81m/s2).
• Le leggi del moto di caduta dei gravi sono:
moto di caduta dei gravi
y(t)  y o  vy ot  12 gt
v y (t)  v y o  gt
2
g=9.81 m/s2
• Le costanti yo e vyo vanno determinate sulla base delle
condizioni iniziali
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Appli
cazio
ne
Nel momento in cui il semaforo volge al verde , un’auto parte con
accelerazione costante a=2.2 m/s2. Nello stesso istante un autocarro che
sopravviene alla velocità costante di 9.5 m/s sorpassa l’auto.
a) A quale distanza oltre al semaforo l’auto risorpasserà il camion?
b) Quale sarà la velocità dell’auto in quel momento?
a) A quale distanza oltre al semaforo l’auto risorpasserà il camion?
Iniziamo a contare il tempo a partire dal momento in cui il semaforo diventa
verde (t=0s).
Introduciamo un asse di riferimento lungo la strada rettilinea. Fissiamo
l’origine nel punto in cui è ferma l’automobile in attesa del verde.
Orientiamo l’asse nel verso del moto del camion e dell’automobile.
Con queste scelte le condizioni iniziali sono:
Auto
xAo=0 m
vAox=0 m/s
aAox=2.2 m/s2
Camion
xCo=0 m
vCox=9.5 m/s
aCox=0 m/s2
A
C
O
x
Le rispettive leggi orarie
diventano:
x A (t)  12 a A xot 2
v Ax (t)  a Axo t
x C (t)  v Cx ot
v Cx (t)  v Cx o
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Ci sarà il risorpasso dell’auto quando le posizioni dell’auto e del camion
saranno nuovamente uguali.
x A (t)  xC (t) 
1
2
a Ax ot 2  vCx ot
Appli
cazio
ne
Calcoliamo l’istante di tempo quando questa situazione si verifica:
1
2
a Axo t 2  vCxo t 
1
2
a Axo t 2  vCxo t  0
2
1
a
t
2 Axo
 vCxo t  0
 t12 a A t  vC  0
xo
xo

2vC xo
t1  0 t 2 
a A xo
t1 corrisponde all’istante in cui il camion sorpassa l’auto ferma, anche in quel
caso infatti le posizioni dei due veicoli coincidevano.
L’istante del risorpasso sarà t2.
2  9.5 m s
t2 
La velocità dell’auto in
quell’istante sarà:
2.2 m
 8.64s
s2
v Ax (t)  aAxot  2.2 ms2  8.64s  19.01ms
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La posizione in cui avviene il risorpasso, la possiamo calcolare con una delle
due leggi orarie:
x A (t)  12 a A x ot 2x C (t)
xC (t)  12 2.2 m s2 8.64 2 s2  82.1m
x C (t)  v C x ot
x C (t)  9.5 m s 8.64s  82.1m
La velocità dell’auto in
quell’istante sarà:
v Ax (t)  aAxot  2.2 ms2  8.64s  19.01ms
Appli
cazio
ne
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